SZEREG LICZBOWY: Ciag {Sn},gdzie S_n=∑_k=1 ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem·liczbowym i oznaczamy symbolem ∑_n=1^ a_n WARUNEK KONIECZNY Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zbiezny,to·lim _n→ a_n=0 Kryteria zbieżności szeregów 1.Kryt. porownawcze: Jezeli wyrazy szregow∑_n=1^ a_n i ∑_n=1^ b_n sa nieujemne a ponadto istnieje liczba naturalna n₀ taka,ze dla kazdego n>n₀ a_n≤b_n to -ze zbieznosci szeregu ∑_n=1^ b_n wynika zbieznosc ∑_n=1^ a_n -z rozbieznosci ∑_n=1^ a_n wynika rozb ∑_n=1^ b_n ·2.Kryt.d'Alemberta·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie) lim _n→ a_n+1/a_n =g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach dodatnich jest zbiezny,gdy g<1,natomiast rozb. gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·3.Kryt.Cauch'ego·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie)·lim_n→ ⁿ√a_n=g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach nieujemnych: -jest zbiezny,gdy g<1 -rozbiezny gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·4.Kryt.calkowe. Niech f-cja f bedzie ciagla,malejaca,dodatnia dla dowoln. x≥n₀·Warunkiem konieczn. i dostatecznym zbiezn. szer. ∑_n=n0^ f(n) jest zbieznosc calki:·_n0*^+f(x) dx Kryterium Leibnitza·jezeli ciag {an} jest ciagiem nierosnacym /\ n a_n+1 ≤a_n oraz lim_n→ a_n=0,to szereg naprzemienny jest sz. zbieznym Szereg naprzemienny Szereg w postaci· ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n, a_n>0· dla n⊂N nazywamy szeregiem naprzemiennym Bezwzgledna zbiezność Szereg ∑_n=1^ a_n nazywamy szer.bezwzglednie zbieznym,jezeli zbiezny jest szereg ∑_n=1^ a_n ; Szereg, ktory jest zbiezny, lecz nie jest zbiezny bezwzgl. nazywamy warunkowo zbieznym. ♥Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zb.bezw. to jest zbiezny.Ponadto spelniony jest warunek·∑_n=1^ a_n ≤ ∑_n=1^ a_n

CALKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA Jezeli dla kazdego normalnego ciagu podzialow przedzialu <α,β> ciag sum S_n jest zbiezny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów podziału τ_k,to te granice nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po łuku AB i oznaczamy: _AB∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy TW. GREENA Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C¹ w obszarze normalnymD (względem OX lub OY) o brzegu k skierowanym dodatnio, to _k∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = _D∫∫(δQ/δx - δP/δy) dx dy WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY A - wyznacznik macierzy A-λE tzn. det(A-λE) WEKTOR WŁASNY : Niezerowe rozwiazanie równania AX=λX, gdzie X=[x₁,x₂,...,x_n]^T nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. ♠Wektory własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. ·Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg w postaci ∑_n=1^ 1/n^α ,α⊂R· dla α>1 zbiezny,·dla α≤1 rozb. RESZTA SZEREGU Jeżeli w szeregu sumę ∑_k=1^ a_k pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg który nazywamy n-tą resztą szeregu wyjściowego własności reszty sz.: Jeżeli w szeregu zbieżnym(rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę wyrazów początkowych to otrzymany szereg jest też szeregiem zbieżnym(rozbieżnym) czyli badanie zbieżności szeregu ∑_k=1^ a_k możemy zastąpić badaniem zbieżności jego reszty. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg w postaci: ∑_n=1^ a*q ^(n-1)· ♥a=0 sz.g.jest zbiezny,suma S=0·2. ♥q<1 - sz. zb. S=a/(1-q) ♥q≥1 - sz.rozb.

SZEREG LICZBOWY: Ciag {Sn},gdzie S_n=∑_k=1 ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem·liczbowym i oznaczamy symbolem ∑_n=1^ a_n WARUNEK KONIECZNY Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zbiezny,to·lim _n→ a_n=0 Kryteria zbieżności szeregów 1.Kryt. porownawcze: Jezeli wyrazy szregow∑_n=1^ a_n i ∑_n=1^ b_n sa nieujemne a ponadto istnieje liczba naturalna n₀ taka,ze dla kazdego n>n₀ a_n≤b_n to -ze zbieznosci szeregu ∑_n=1^ b_n wynika zbieznosc ∑_n=1^ a_n -z rozbieznosci ∑_n=1^ a_n wynika rozb ∑_n=1^ b_n ·2.Kryt.d'Alemberta·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie) lim _n→ a_n+1/a_n =g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach dodatnich jest zbiezny,gdy g<1,natomiast rozb. gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·3.Kryt.Cauch'ego·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie)·lim_n→ ⁿ√a_n=g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach nieujemnych: -jest zbiezny,gdy g<1 -rozbiezny gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·4.Kryt.calkowe. Niech f-cja f bedzie ciagla,malejaca,dodatnia dla dowoln. x≥n₀·Warunkiem konieczn. i dostatecznym zbiezn. szer. ∑_n=n0^ f(n) jest zbieznosc calki:·_n0*^+f(x) dx Kryterium Leibnitza·jezeli ciag {an} jest ciagiem nierosnacym /\ n a_n+1 ≤a_n oraz lim_n→ a_n=0,to szereg naprzemienny jest sz. zbieznym Szereg naprzemienny Szereg w postaci· ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n, a_n>0· dla n⊂N nazywamy szeregiem naprzemiennym Bezwzgledna zbiezność Szereg ∑_n=1^ a_n nazywamy szer.bezwzglednie zbieznym,jezeli zbiezny jest szereg ∑_n=1^ a_n ; Szereg, ktory jest zbiezny, lecz nie jest zbiezny bezwzgl. nazywamy warunkowo zbieznym. ♥Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zb.bezw. to jest zbiezny.Ponadto spelniony jest warunek·∑_n=1^ a_n ≤ ∑_n=1^ a_n

CALKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA Jezeli dla kazdego normalnego ciagu podzialow przedzialu <α,β> ciag sum S_n jest zbiezny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów podziału τ_k,to te granice nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po łuku AB i oznaczamy: _AB∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy TW. GREENA Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C¹ w obszarze normalnymD (względem OX lub OY) o brzegu k skierowanym dodatnio, to _k∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = _D∫∫(δQ/δx - δP/δy) dx dy WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY A - wyznacznik macierzy A-λE tzn. det(A-λE) WEKTOR WŁASNY : Niezerowe rozwiazanie równania AX=λX, gdzie X=[x₁,x₂,...,x_n]^T nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. ♠Wektory własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. ·Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg w postaci ∑_n=1^ 1/n^α ,α⊂R· dla α>1 zbiezny,·dla α≤1 rozb. RESZTA SZEREGU Jeżeli w szeregu sumę ∑_k=1^ a_k pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg który nazywamy n-tą resztą szeregu wyjściowego własności reszty sz.: Jeżeli w szeregu zbieżnym(rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę wyrazów początkowych to otrzymany szereg jest też szeregiem zbieżnym(rozbieżnym) czyli badanie zbieżności szeregu ∑_k=1^ a_k możemy zastąpić badaniem zbieżności jego reszty. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg w postaci: ∑_n=1^ a*q ^(n-1)· ♥a=0 sz.g.jest zbiezny,suma S=0·2. ♥q<1 - sz. zb. S=a/(1-q) ♥q≥1 - sz.rozb.

SZEREG LICZBOWY: Ciag {Sn},gdzie S_n=∑_k=1 ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem·liczbowym i oznaczamy symbolem ∑_n=1^ a_n WARUNEK KONIECZNY Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zbiezny,to·lim _n→ a_n=0 Kryteria zbieżności szeregów 1.Kryt. porownawcze: Jezeli wyrazy szregow∑_n=1^ a_n i ∑_n=1^ b_n sa nieujemne a ponadto istnieje liczba naturalna n₀ taka,ze dla kazdego n>n₀ a_n≤b_n to -ze zbieznosci szeregu ∑_n=1^ b_n wynika zbieznosc ∑_n=1^ a_n -z rozbieznosci ∑_n=1^ a_n wynika rozb ∑_n=1^ b_n ·2.Kryt.d'Alemberta·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie) lim _n→ a_n+1/a_n =g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach dodatnich jest zbiezny,gdy g<1,natomiast rozb. gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·3.Kryt.Cauch'ego·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie)·lim_n→ ⁿ√a_n=g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach nieujemnych: -jest zbiezny,gdy g<1 -rozbiezny gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·4.Kryt.calkowe. Niech f-cja f bedzie ciagla,malejaca,dodatnia dla dowoln. x≥n₀·Warunkiem konieczn. i dostatecznym zbiezn. szer. ∑_n=n0^ f(n) jest zbieznosc calki:·_n0*^+f(x) dx Kryterium Leibnitza·jezeli ciag {an} jest ciagiem nierosnacym /\ n a_n+1 ≤a_n oraz lim_n→ a_n=0,to szereg naprzemienny jest sz. zbieznym Szereg naprzemienny Szereg w postaci· ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n, a_n>0· dla n⊂N nazywamy szeregiem naprzemiennym Bezwzgledna zbiezność Szereg ∑_n=1^ a_n nazywamy szer.bezwzglednie zbieznym,jezeli zbiezny jest szereg ∑_n=1^ a_n ; Szereg, ktory jest zbiezny, lecz nie jest zbiezny bezwzgl. nazywamy warunkowo zbieznym. ♥Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zb.bezw. to jest zbiezny.Ponadto spelniony jest warunek·∑_n=1^ a_n ≤ ∑_n=1^ a_n

CALKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA Jezeli dla kazdego normalnego ciagu podzialow przedzialu <α,β> ciag sum S_n jest zbiezny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów podziału τ_k,to te granice nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po łuku AB i oznaczamy: _AB∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy TW. GREENA Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C¹ w obszarze normalnymD (względem OX lub OY) o brzegu k skierowanym dodatnio, to _k∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = _D∫∫(δQ/δx - δP/δy) dx dy WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY A - wyznacznik macierzy A-λE tzn. det(A-λE) WEKTOR WŁASNY : Niezerowe rozwiazanie równania AX=λX, gdzie X=[x₁,x₂,...,x_n]^T nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. ♠Wektory własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. ·Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg w postaci ∑_n=1^ 1/n^α ,α⊂R· dla α>1 zbiezny,·dla α≤1 rozb. RESZTA SZEREGU Jeżeli w szeregu sumę ∑_k=1^ a_k pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg który nazywamy n-tą resztą szeregu wyjściowego własności reszty sz.: Jeżeli w szeregu zbieżnym(rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę wyrazów początkowych to otrzymany szereg jest też szeregiem zbieżnym(rozbieżnym) czyli badanie zbieżności szeregu ∑_k=1^ a_k możemy zastąpić badaniem zbieżności jego reszty. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg w postaci: ∑_n=1^ a*q ^(n-1)· ♥a=0 sz.g.jest zbiezny,suma S=0·2. ♥q<1 - sz. zb. S=a/(1-q) ♥q≥1 - sz.rozb.

SZEREG LICZBOWY: Ciag {Sn},gdzie S_n=∑_k=1 ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem·liczbowym i oznaczamy symbolem ∑_n=1^ a_n WARUNEK KONIECZNY Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zbiezny,to·lim _n→ a_n=0 Kryteria zbieżności szeregów 1.Kryt. porownawcze: Jezeli wyrazy szregow∑_n=1^ a_n i ∑_n=1^ b_n sa nieujemne a ponadto istnieje liczba naturalna n₀ taka,ze dla kazdego n>n₀ a_n≤b_n to -ze zbieznosci szeregu ∑_n=1^ b_n wynika zbieznosc ∑_n=1^ a_n -z rozbieznosci ∑_n=1^ a_n wynika rozb ∑_n=1^ b_n ·2.Kryt.d'Alemberta·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie) lim _n→ a_n+1/a_n =g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach dodatnich jest zbiezny,gdy g<1,natomiast rozb. gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·3.Kryt.Cauch'ego·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie)·lim_n→ ⁿ√a_n=g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach nieujemnych: -jest zbiezny,gdy g<1 -rozbiezny gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·4.Kryt.calkowe. Niech f-cja f bedzie ciagla,malejaca,dodatnia dla dowoln. x≥n₀·Warunkiem konieczn. i dostatecznym zbiezn. szer. ∑_n=n0^ f(n) jest zbieznosc calki:·_n0*^+f(x) dx Kryterium Leibnitza·jezeli ciag {an} jest ciagiem nierosnacym /\ n a_n+1 ≤a_n oraz lim_n→ a_n=0,to szereg naprzemienny jest sz. zbieznym Szereg naprzemienny Szereg w postaci· ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n, a_n>0· dla n⊂N nazywamy szeregiem naprzemiennym Bezwzgledna zbiezność Szereg ∑_n=1^ a_n nazywamy szer.bezwzglednie zbieznym,jezeli zbiezny jest szereg ∑_n=1^ a_n ; Szereg, ktory jest zbiezny, lecz nie jest zbiezny bezwzgl. nazywamy warunkowo zbieznym. ♥Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zb.bezw. to jest zbiezny.Ponadto spelniony jest warunek·∑_n=1^ a_n ≤ ∑_n=1^ a_n

CALKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA Jezeli dla kazdego normalnego ciagu podzialow przedzialu <α,β> ciag sum S_n jest zbiezny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów podziału τ_k,to te granice nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po łuku AB i oznaczamy: _AB∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy TW. GREENA Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C¹ w obszarze normalnymD (względem OX lub OY) o brzegu k skierowanym dodatnio, to _k∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = _D∫∫(δQ/δx - δP/δy) dx dy WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY A - wyznacznik macierzy A-λE tzn. det(A-λE) WEKTOR WŁASNY : Niezerowe rozwiazanie równania AX=λX, gdzie X=[x₁,x₂,...,x_n]^T nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. ♠Wektory własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. ·Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg w postaci ∑_n=1^ 1/n^α ,α⊂R· dla α>1 zbiezny,·dla α≤1 rozb. RESZTA SZEREGU Jeżeli w szeregu sumę ∑_k=1^ a_k pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg który nazywamy n-tą resztą szeregu wyjściowego własności reszty sz.: Jeżeli w szeregu zbieżnym(rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę wyrazów początkowych to otrzymany szereg jest też szeregiem zbieżnym(rozbieżnym) czyli badanie zbieżności szeregu ∑_k=1^ a_k możemy zastąpić badaniem zbieżności jego reszty. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg w postaci: ∑_n=1^ a*q ^(n-1)· ♥a=0 sz.g.jest zbiezny,suma S=0·2. ♥q<1 - sz. zb. S=a/(1-q) ♥q≥1 - sz.rozb.

SZEREG LICZBOWY: Ciag {Sn},gdzie S_n=∑_k=1 ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem·liczbowym i oznaczamy symbolem ∑_n=1^ a_n WARUNEK KONIECZNY Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zbiezny,to·lim _n→ a_n=0 Kryteria zbieżności szeregów 1.Kryt. porownawcze: Jezeli wyrazy szregow∑_n=1^ a_n i ∑_n=1^ b_n sa nieujemne a ponadto istnieje liczba naturalna n₀ taka,ze dla kazdego n>n₀ a_n≤b_n to -ze zbieznosci szeregu ∑_n=1^ b_n wynika zbieznosc ∑_n=1^ a_n -z rozbieznosci ∑_n=1^ a_n wynika rozb ∑_n=1^ b_n ·2.Kryt.d'Alemberta·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie) lim _n→ a_n+1/a_n =g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach dodatnich jest zbiezny,gdy g<1,natomiast rozb. gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·3.Kryt.Cauch'ego·Jezeli istnieje granica (wlasciwa lub nie)·lim_n→ ⁿ√a_n=g·to szereg ∑_n=1^ a_n o wyrazach nieujemnych: -jest zbiezny,gdy g<1 -rozbiezny gdy g>1·(przy g=1 kryt.nie rozstrzyga)·4.Kryt.calkowe. Niech f-cja f bedzie ciagla,malejaca,dodatnia dla dowoln. x≥n₀·Warunkiem konieczn. i dostatecznym zbiezn. szer. ∑_n=n0^ f(n) jest zbieznosc calki:·_n0*^+f(x) dx Kryterium Leibnitza·jezeli ciag {an} jest ciagiem nierosnacym /\ n a_n+1 ≤a_n oraz lim_n→ a_n=0,to szereg naprzemienny jest sz. zbieznym Szereg naprzemienny Szereg w postaci· ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ⁺¹ a_n, a_n>0· dla n⊂N nazywamy szeregiem naprzemiennym Bezwzgledna zbiezność Szereg ∑_n=1^ a_n nazywamy szer.bezwzglednie zbieznym,jezeli zbiezny jest szereg ∑_n=1^ a_n ; Szereg, ktory jest zbiezny, lecz nie jest zbiezny bezwzgl. nazywamy warunkowo zbieznym. ♥Jezeli szereg ∑_n=1^ a_n jest zb.bezw. to jest zbiezny.Ponadto spelniony jest warunek·∑_n=1^ a_n ≤ ∑_n=1^ a_n

CALKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA Jezeli dla kazdego normalnego ciagu podzialow przedzialu <α,β> ciag sum S_n jest zbiezny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów podziału τ_k,to te granice nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po łuku AB i oznaczamy: _AB∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy TW. GREENA Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C¹ w obszarze normalnymD (względem OX lub OY) o brzegu k skierowanym dodatnio, to _k∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = _D∫∫(δQ/δx - δP/δy) dx dy WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY A - wyznacznik macierzy A-λE tzn. det(A-λE) WEKTOR WŁASNY : Niezerowe rozwiazanie równania AX=λX, gdzie X=[x₁,x₂,...,x_n]^T nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. ♠Wektory własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. ·Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg w postaci ∑_n=1^ 1/n^α ,α⊂R· dla α>1 zbiezny,·dla α≤1 rozb. RESZTA SZEREGU Jeżeli w szeregu sumę ∑_k=1^ a_k pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg który nazywamy n-tą resztą szeregu wyjściowego własności reszty sz.: Jeżeli w szeregu zbieżnym(rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę wyrazów początkowych to otrzymany szereg jest też szeregiem zbieżnym(rozbieżnym) czyli badanie zbieżności szeregu ∑_k=1^ a_k możemy zastąpić badaniem zbieżności jego reszty. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg w postaci: ∑_n=1^ a*q ^(n-1)· ♥a=0 sz.g.jest zbiezny,suma S=0·2. ♥q<1 - sz. zb. S=a/(1-q) ♥q≥1 - sz.rozb.

---