Matematyczne Podstawy Kartografii, opracowanie zagadnień do egzaminu:

Szerokość geograficzna (φ) - jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy lokalną osią pionu a płaszczyzną równika. Wartości szerokości geograficznej rozciągają się między 0° na równiku i 90° na biegunach. Szerokość geograficzna może być północna (N; zobacz: półkula północna) lub południowa (S; zobacz: półkula południowa).

Długość geograficzna (λ) - jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt dwuścienny zawarty między półpłaszczyzną południka 0 (południka przechodzącego przez obserwatorium astronomiczne w Greenwich), a półpłaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt na powierzchni Ziemi.

Współrzędne izometryczne - Jeżeli elementarny łuk ds na powierzchni
da się przedstawić w postaci

gdzie σ(u,v) jest dowolną funkcją rzeczywistą parametrów u,v, to wówczas współrzędne u,v są współrzędnymi izometrycznymi. Ponieważ kwadrat elementarnego łuku na danej powierzchni określa wzór:

stąd widać, że współrzędne u,v są współrzędnymi izometrycznymi wówczas gdy F=0 oraz E=G.

kierunki główne - cztery główne kierunki wyznaczone na powierzchni kuli ziemskiej. Ich określanie związane jest z właściwościami ruchu obrotowego Ziemi. Punkty przecięcia osi ziemskiej z powierzchnią Ziemi to bieguny geograficzne: północny i południowy. Kierunek wzdłuż południka o zwrocie do północnego bieguna geograficznego to kierunek północny, zaś do południowego bieguna geograficznego - południowy. Natomiast punkty, gdzie pojawia się albo znika Słońce za horyzontem w dniu równonocy, wyznaczają kierunki: wschodni i zachodni.

Linia geodezyjna- krzywa w przestrzeni metrycznej zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiźnie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Twierdzenia Tissota - twierdzenia teroii zniekształceń odwzorowawczych sformułowane przez francuskiego kartografa Nicolas Auguste Tissot'a.

Twierdzenie I (dot. siatek ortogonalnych) - w dowolnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna (jeśli jest to powierzchnia regularna) albo tylko jedna (jeśli jest to powierzchnia nieregularna) siatka ortogonalna (kiedy południki z równoleżnikami tworzą kąty proste) na powierzchni oryginału (kuli zmiemskiej), której obraz na powierzchni drugiej (mapie) jest również siatką ortogonalną.

Twierdzenie II (dot. elipsy zniekształceń) - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą zniekształcenia odwzorowawcze długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu można przedstawić w postaci elipsy, której półosie odzwierciedlają maksymalne zniekształcenia w kierunkach głównych (tzn. siatki krzywych głównych)

Odwzorowanie Gaussa-Krugera - Równokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę. W odwzorowaniu tym obszar Ziemi został podzielony na pasy południkowe. Powierzchnia elipsoidy obrotowej została podzielona na 60 pasów południkowych po 6° każdy lub 120 pasów po 3° każdy. Każdy z pasów jest odwzorowywany oddzielnie i stanowi oddzielny układ współrzędnych prostokątnych płaskich. Szerokości pasów zostały tak dobrane, aby można je było odwzorować na płaszczyźnie z jak najmniejszymi zniekształceniami. Południk środkowy każdego pasa nazywany jest południkiem osiowym i odwzorowuje się bez zniekształceń. Pasy odwzorowywane są na poczną powierzchnie walca w taki sposób, aby zachowana została równość odpowiednich kątów na elipsoidzie i na płaszczyźnie.

Układ współrzędnych płaskich prostokątnych "1942" - Układ ten jest określany przez następujące dane:

- za powierzchnię odniesienia przyjęto elipsoidę Krasowskiego z punktem przyłożenia do geoidy w Pułkowie

- zastosowano odwzorowanie Gaussa-Krugera w dwóch wariantach:

odwzorowanie w pasach południkowych o szerokości 6°, stosowane dla map w skalach mniejszych niż 1:5 000. Na terenie Polski znajdują się dwie strefy odwzorowawcze z południkami osiowymi 15° (1942/15) i 21° (1942/21);

odwzorowanie w pasach południkowych o szerokości 3°. Na terenie Polski znajdują się cztery strefy odwzorowawcze z południkami osiowymi 15° (1942/15), 18° (1942/18), 21° (1942/21) i 24° (1942/24);

- mapy topograficzne sporządzone w układzie współrzędnych płaskich prostokątnych "1942" posiadają siatkę kartograficzną i siatkę kilometrową

- w układzie współrzędnych płaskich prostokątnych "1942" opracowane zostały mapy topograficzne w skalach 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1:500 000

- arkusze map topograficznych są sporządzane w podziale na sekcje trapezowo-elipsoidalne, przy czym linie podziału pokrywają się z obrazami równoleżników i południków; formaty arkuszy wynoszą odpowiednio:

dla mapy w skali 1:25 000: Δγ= 5` ; Dλ = 7,5`

dla mapy w skali 1:50 000: Δγ = 10` ; Dλ = 15`

dla mapy w skali 1:100 000: Δγ= 20` ; Dλ = 30`

dla mapy w skali 1:200 000: Δγ= 40` ; Dλ= 1°

dla mapy w skali 1:500 000: Δγ= 2° ; Dλ= 3°.

- punktem wyjścia do podziału na arkusze map jest Międzynarodowa Mapa Świata w skali 1:1 000 000.

Układ współrzędnych płaskich prostokątnych "1965" - Układ ten nie jest układem jednolitym. Obszar Polski został tu podzielony na 5 stref odwzorowawczych, przy czym za podstawę podziału przyjęto uwczesny podział administracyjny. Strefy obejmowały następujące województwa:

strefa I - kieleckie, krakowskie, lubelskie, łódzkie i rzeszowskie

strefa II - białostockie, olsztyńskie i warszawskie

strefa III - bydgoskie, gdańskie, koszlińskie i szczecińskie

strefa IV - opolskie, poznańskie, wrocławskie i zielenogórskie

strefa V - katowickie

Dla strefy I, II, III i IV zastosowano odwzorowanie quasi-stereograficzne (odwzorowanie płaszczyznowe ukośne, wiernokątne), dla strefy V przyjęto odwzorowanie Gaussa-Krugera z 3-stopniowym pasem odwzorowawczym.

Układ ten słuzył do opracowywania mapy zasadniczej w skalach 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000 oraz map topograficznych w skalach 1:10000, 1:25000, 1:50000.

Parametry układu "1965"

Odwzorowanie: Quasi-stereograficzne, Skala w punkcie głównym:0.9998

Układ współrzędnych płaskich prostokątnych "2000" - Układ ten stosuje się w pracach geodezyjnych i kartograficznych związanych z opracowanem mapy zasadniczej w skali 1:5 000 i skalach większych. Wykorzystano tutaj elipsoidę GRS 80 oraz odwzorowanie Gaussa-Krugera, tworzące cztery układy współrzędnych płaskich prostokątnych, oznaczone: "2000/15", "2000/18", "2000/21" i "2000/24".

Współrzędne płaskie prostokątne x, y są obliczane w odwzorowaniu Gaussa-Krügera w pasach trzystopniowych o południkach osiowych:15º, 18º, 21º, 24º. Pasy ponumerowane są: 5, 6, 7, 8. Współczynnik zmiany skali na południku osiowym wynosi 0,999923 .

Początkiem układu współrzędnych w danym pasie odwzorowawczym jest punkt przecięcia się obrazu południka osiowego z obrazem równika. Przy określaniu współrzędnych - współrzędna x pozostaje nie zmieniona, a do współrzędnej y w zależności od południka osiowego dodaje się:

5 500 000 m przy południku Lo = 15º,

6 500 000 m przy południku Lo = 18º,

7 500 000 m przy południku Lo = 21º,

8 500 000 m przy południku Lo = 24º.

Pierwsza cyfra współrzędnej y oznacza numer pasa odwzorowania.

UTM - Uniwersalne poprzeczne odwzorowanie Merkatora UTM stosuje się przy opracowywaniu map topograficznych dla celów wojskowych. Jest to odwzorowanie Gaussa-Krugera w pasach 6-stopniowych, ze skalą na południku środkowym mo=0,9996 (zniekształcenie na tym południku wynosi -40 cm/km). Południki skrajne pokrywają się z południkami Międzynarodowej Mapy świata w skali 1:1 000 000. Pobocznica walca przecina powierzchnię elipsoidy (GRS-80/WGS-84) wzdłuż kół siecznych równoległych do południka środkowego strefy, odwzorowujących się wiernie.

Elementarna skala zniekształceń długości jest to stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału.

Redukcje odwzorowawcze geodezyjne - Różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiadającymi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowanej na powierzchni oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na powierzchni obrazu.

Klasyfikacje odwzorowań kartograficznych

Klasyfikując odwzorowania kartograficzne, najczęściej uwzględnia się kształt siatek kartograficznych oraz charakter zniekształceń odwzorowawczych. Za względu na kryterium kształtu siatek kartograficznych wyróżnia się następujące typy odwzorowań kartograficznych:

azymutalne, w których równoleżniki odwzorowują się na koncentryczne okręgi, a południki w postaci pęku prostych,

walcowe - równoleżniki odwzorowują się na odcinki linii prostych równoległych do osi y, południki na proste równoległe do osi x układu współrzędnych płaskich, rys. 4b,

stożkowe - równoleżniki odwzorowują się na łuki okręgów koncentrycznych, południki w postaci pęku prostych, rys. 4c,

pseudoazymutalne - równoleżniki odwzorowują się na koncentryczne okręgi, południki w postaci krzywych, rys. 4d,

pseudowalcowe - równoleżniki odwzorowują się na odcinki linii prostych równoległych do osi y, południki na łuki krzywych, rys. 4e,

pseudostożkowe - równoleżniki odwzorowują się na łuki okręgów koncentrycznych, południki na łuki krzywych, rys. 4f,

wielostożkowe - równoleżniki odwzorowują się na łuki okręgów ekscentrycznych, południki na łuki krzywych, rys. 4g.

Ze względu na kryterium zniekształceń odwzorowawczych wyróżnia się odwzorowania:

izometryczne - nie występują żadne zniekształcenia,

wiernokątne - kąty odwzorowują się bez zniekształceń,

wiernopolowe - pola powierzchni są zachowane bez zniekształceń,

wiernoodległościowe - długości w określonym kierunku zostają zachowane.

---