Ćwiczenie 10

Tomasz Zaborny , gr.8

Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta

Wprowadzenie

Jeśli na unieruchomione ciało sprężyste podziałamy siłą, to powstaną w tym ciele naprężenia, wywołujące jego odkształcenie. Naprężenie σ w pręcie o przekroju poprzecznym A, na który działa siła F ( prostopadła bądź styczna do A ) równe jest stosunkowi siły do pola powierzchni przekroju pręta :

σ = F / A

Naprężeniu stawiają opór siły międzycząsteczkowe wewnątrz materiału. Rozróżnia się zwykle trzy rodzaje naprężeń : rozciągające - wywołujące wydłużenie ciała, ściskające - powodujące kurczenie ciała i ścinające - deformujące postać.

Zmiana długości pręta spowodowana rozciąganiem lub ściskaniem jest proporcjonalna do jego długości. Jeśli na przykład pręt o długości l, rozciągany siłą F, zwiększa swoją długość o Δl, to miarą odkształcenia
jest względna zmiana długości :

=Δl / l

Gdy po usunięciu siły F ciało wraca do swych wymiarów, to odkształcenie nazywamy sprężystym. Dla małych odkształceń sprężystych
jest proporcjonalne do naprężenia σ :

,

gdzie E jest modułem sprężystości danego materiału ( nazywanym też modułem Younga ). Moduł Younga wyraża się, podobnie jak naprężenie czy ciśnienie, w paskalach: 1Pa = 1N/ m²

Liniowa zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem znana jako prawo Hooke'a.

Prawo Hooke'a stwierdza, że podczas rozciągania lub ściskania zmiana długości jest proporcjonalna do działającej siły

,

Najprostszy sposób wyznaczenia modułu Younga polega na pomiarze przyrostu długości Δl pręta o długości l i przekroju A, umocowanego jednym końcem i rozciąganego siła F. Jednak w przypadku grubszych prętów trudno jest uzyskać ich mierzalne wydłużenia, z uwagi na konieczność użycia bardzo dużych sił. Z tego względu wykorzystujemy odkształcenia złożone, do których należy zginanie pręta umocowanego z jednej strony lub podpartego na obu końcach.

Wykonanie zadania

Badany pręt kładziemy na specjalnych podporach umieszczonych na podstawie stojącej na stole. Strzemię T nakładamy na środek pręta i zawieszamy na nim szalkę. Do pomiaru strzałki ugięcia stosujemy śrubę mikrometryczną umocowaną w specjalnym statywie. Mikromierz ustawiamy nad strzemieniem tak, aby koniec śruby nie dotykał do strzemienia. Do zacisków, które znajdują się na strzemieniu i na statywie śruby mikrometrycznej, podłączamy szeregowo zasilacz 6V i odpowiednią żaróweczkę. Przez obracanie śruby mikromierza doprowadzamy ją do zetknięcia ze strzemieniem. Gdy żaróweczka rozbłyśnie, odczytujemy wskazanie mikromierza - s₀. Obciążamy szalkę - ugięcie pręta przerywa obwód i żrówka gaśnie. Ponownie obracamy śrubę, aż do momentu zaświecenia żarówki i odczytujemy wskazanie mikromierza - s₁. Różnica S₁ = s₁ - s₀ daje strzałkę ugięcia S₁. Pomiary strzałek ugięcia S_i przeprowadzamy dla kilku różnych obciążeń P_i , przy czym najpierw notujemy strzałki ugięcia przy obciążeniach rosnących, a następnie malejących. Z dwóch uzyskanych wyników dla danej wartości obciążenia obliczamy wartość średnią, którą przyjmujemy jako wartość średnią, którą przyjmujemy jako właściwą wartość strzałki ugięcia.

Na podstawie wyników uzyskanych dla różnych obciążeń obliczamy średnią wartość P / S. Jeśli wprowadzimy oznaczenie dla pojedynczego pomiaru :
oraz dla wartości średniej
, to możemy ją wyrazić następująco :

,

n - liczba różnych odłożeń pręta.

Pomiar rozmiarów pręta

Jako długość l przyjmujemy odległość pomiędzy krawędziami podpór, na których spoczywa pręt - mierzymy ja linijką. Następnie dodatkową śruba mikrometryczną mierzymy krawędzie przekroju poprzecznego pręta a_i i h_i - w wielu różnych miejscach pręta, poczym wyliczamy wartości średnie a i h. Otrzymane wartości pozwalają wyznaczyć stałą pręta C :

Rodz. Pręta	Dług. [m]	Szerokość ai [mm]			Sred. a	Grubość hi [mm]			Sred. h	C [m^-1]
Drewno	0,945	30,1	29,9	29,7	29,86	10,00	10,60	10,10	10,21	6,63 *10^6
				30,05		29,7	30,05				10,10	10,50	10,10
				29,55		30,00	29,7				9,9	10,10	10,50
		Metal	0,945	19,8		20,2	19,8	20,03			5,05	4,9	4,9	4,91	8,88 *10^7
				20,2		20,2	20,2				4,9	4,9	4,9
				19,8		19,9	20,2				4,9	4,9	4,85

Obliczanie modułu Younga

Iloczyn stałej pręta C i średniej wartości Y stosunku P do S daje wartość modułu Younga dla danego pręta o przekroju prostokątnym :

E=C*Y

Metal : E=C*Y=8,88*10⁷*2,22=19,71*10⁷

Drewno : E=C*Y=6,63*10⁶*2,38=15,7*10⁶

Rodzaj pręta	Masa ob.[kg]	Wskazania mikrom. [mm]przy obciążeniu		Śr.strz. Ugięcia Si [m]	Pi / Si [N / m]	Srednia Y=P/S	Moduł Younga E [Pa]
								rosnącym	Malejąc.
	Metal	0	24,74	24,74					2,22	19,71 *10^7
		0,10	24,28	24,30	0,45			2,27
		0,20	23,85	23,87	0,88			2,27
		0,30	23,40	23,43	1,32			2,27
		0,40	22,97	22,99	1,76			2,25
		0,50	22,52	22,55	2,20			2,23
		0,60	22,10	22,12	2,41			2,41
		0,70	21,66	21,70	3,06			2,27
		0,80	21,22	21,22	3,52			2,27
	Drewno	0	24,48	24,45					2,38	15,7 *10^6
		0,05	24,25	24,23	0,22			2,24
		0,10	24,05	24,03	0,42			2,31
		0,15	23,18	23,82	0,65			2,34
		0,20	23,60	23,67	0,83			2,42
		0,25	23,44	23,48	1,00			2,51
		0,30	23,23	23,27	1,21			2,43
		0,35	23,03	23,07	1,41			2,48
		0,40	22,87	22,87	1,51			2,61

Rachunek błędów

Dla metalu :

n(n-1)=72

Dla drewna :

n(n-1)=72

---