§ 16. Mierniki oceny inwestycji finansowych

Inwestycja finansowa - nakład dający inwestorowi możliwości uzyskania w przyszłości dodatnich przepływów finansowych

Def. 1. Stopą zwrotu z inwestycji (stopa zysku) nazywamy liczbę:

(29) R= (K-K₀)/ K₀, gdzie K₀ - kapitał początkowy, K - kapitał końcowy

Przekształcając ostani wzór otrzymujemy

(30) K = K₀ (1+R)

Uwaga1. Jeżeli kapitał końcowy K otrzymamy w postaci αK, to stopa zwrotu z takiej inwestycji wynosi (α-1).

Przykład 1. Inwestycja polega na zdeponowaniu kwoty K₀ na lokacie bankowej o rocznej stopie r, na n lat, przy rocznej kapitalizacji odsetek.

Kapitał końcowy K dany jest wzorem K = K₀ (1+r)ⁿ, zatem na mocy uwagi stopa zwrotu z inwestycji wynosi R = (1+r)ⁿ-1. Stopa r jest roczną stopą zwrotu, mamy zatem związek:

(31) R + 1= (1+r)ⁿ

Ciąg inwestycji zamkniętych

Def. 2. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji zamkniętych, jeżeli kapitał końcowy jednej inwestycji staje się kapitałem początkowym następnej

Twierdzenie.1. Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji zamkniętych, o stopach zwrotu odpowiednio: r_1, r_2, r_3,... r_n. Zakładamy, że zawsze 1 + r_i > 0. Wtedy stopa zwrotu tego ciągu inwestycji wynosi

(32) R = Πⁿ_i=1(1+ r_i) - 1

Zaś średnia roczna stopę zwrotu r_s wynosi

(33) r_s = ( Πⁿ_i=1(1+ r_i) )^1/n -1

(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji)

Dowód. Rzeczywiście

K₁ = K₀ (1+ r₁)

K₂ = K₁ (1+ r₂) = K₀ (1+ r₁) (1+ r₂)

K₃ = K₂ (1+ r₃) = K₀ (1+ r₁) (1+ r₂) (1+ r₃)

.............................................................................

K_n = K_n-1 (1+ r_n) = K₀ (1+ r₁) (1+ r₂) (1+ r₃)… (1+ r_n)

Stąd i z uwagi 1 otrzymujemy (32).

Aby średnia roczna stopa zwrotu r_s generowała stopę zwrotu R z całej inwestycji, musi zachodzić równość

(34) (1+ r_s)ⁿ = Πⁿ_i=1(1+ r_i) , stąd otrzymujemy (33).

Wzór (34) można przedstawić w postaci

(35) r_s = ( R + 1)^1/n -1, czyli

Ciąg inwestycji kompensowanych.

Def. 3. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji kompensowanych, jeżeli kolejna inwestycja ma taki sam kapitał początkowy jak poprzednia (kapitał jest uzupełniany w przypadku straty, odprowadzany - w przypadku zysku).

Twierdzenie 2. Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji kompensowanych, o stopach zwrotu odpowiednio: r_1, r_2, r_3,..., r_n. Wtedy stopa zwrotu R całego ciągu inwestycji wynosi

(36) R = ∑ⁿ_i=1 r_i

zaś średnia roczna stopa zwrotu r_sa wynosi

(37)

(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji).

Dowód. Niech K₀ oznacza kapitał początkowy.

Po roku dysponujemy kapitałem K₁ = K₀ (1+ r₁) , odprowadzamy K₀ r₁.

Po drugiej inwestycji - kapitałem K₂ = K₀ (1+ r₂) , odprowadzamy K₀ r₂, i.t.d.

Po n-tej inwestycji mamy K_n = K₀ (1+ r_n) , odprowadzamy K₀ r_n, pozostało K_0.

Kapitał końcowy to suma K₀ oraz wszystkich odprowadzonych kwot, początkowy to K_0.

R = ( K₀+ K₀ r₁+ K₀ r₂+...+ K₀ r_n - K₀ ) / K_0.

Stąd R = r₁ + r₂ + ...+ r_n

Ponieważ stopa zysku jest sumą stóp z poszczególnych inwestycji, więc średnia roczna stopa zwrotu musi czynić zadość równości:

r_sa+ r_sa + ...+ r_sa= n r_sa= R

czyli r_sa = R/n

lub inaczej
.

Def. 4 Średnią ze wzoru (33) nazywamy średnią geometryczną stopą zwrotu, zaś średnią ze wzoru (37) - średnią arytmetyczną stopą zwrotu.

Tw. 3. Dla tych samych rocznych stóp zwrotu: r_1, r_2, r_3,...,r_n , takich, że 1 + r_i > 0 dla dowolnego i, średnia geometryczna stopa zwrotu jest mniejsza lub równa średniej arytmetycznej stopie zwrotu.

Dowód.

skorzystaliśmy z nierówności

Tw 4. Dla tych samych dodatnich rocznych stóp zwrotu: r_1, r_2, r_3,...,r_n stopa zwrotu z ciągu inwestycji zamkniętych jest większa od stopy zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Dowód. Dowód przeprowadzimy dla n = 4. Dla pozostałych n rozumowanie przebiega analogicznie.

Niech R - stopa zwrotu z ciągu inwestycji zamkniętych. Wtedy

Przez R_a oznaczyliśmy stopę zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Uwaga 2. Średnia geometryczna stopa zwrotu może mieć inny znak niż średnia arytmetyczna stopa zwrotu. Podobnie różne znaki mogą mieć stopy zwrotu z całych inwestycji. Rozważmy dwie inwestycje roczne o stopach zwrotu +24 %, -21%. Wtedy r_s = - 1,025 %, R = - 2,04 %, zaś r_sa = 1,5 %, R_a = 3 %.

Efektywna roczna stopa zwrotu

Def. 5. Efektywną roczną stopą zwrotu nazywamy liczbę (K₁-K₀)/ K₀, gdzie K₁ oznacza kapitał po roku, K₀ - kapitał początkowy.

Przykład. Niech r oznacza nominalną roczną stopę zwrotu oferowaną przez pewien bank, w którym w ciągu roku dokonuje się n - kapitalizacji . Wtedy efektywna roczna stopa zwrotu wynosi

Realna roczna stopa zwrotu

Def. 6. Realną roczną stopą zwrotu nazywamy liczbę mierzącą przyrost wartości nabywczej pieniądza w okresie jednego roku.

Niech K oznacza początkowy koszt standardowego koszyka dóbr, f - roczną stopę inflacji, r_e - efektywną roczną stopę zwrotu zaś r_r - realną roczną stopą zwrotu. Koszt koszyka po roku wynosi więc K(1+f) . Kwota K po rocznej inwestycji wzrosła do K(1+ r_e). Zatem po roku można nabyć K(1+ r_e)/ K(1+f) koszyków. Ponieważ przed rokiem mogliśmy nabyć 1 koszyk więc przyrost wartości nabywczej r_r wynosi

(38)

Po dodaniu 1 do obu stron równania otrzymujemy tzw. wzór Fischera:

(39)

Stopa zwrotu ponad zysk wolny od ryzyka.

Przykład 2. Niech roczna stopa zysku wolnego od ryzyka wynosi 8%. Inwestor giełdowy osiągnął w ciągu roku zysk 12 %. O ile procent więcej zarobił inwestor giełdowy od inwestora nie podejmującego ryzyka ?

Zakładając kwotę początkową K dla obu inwestycji, odpowiedź na pytanie daje liczba

Zatem jest to sytuacja analogiczna do tej, przy stopie realnej (porównanie z wzorem (38)).

Mamy zatem wzór na stopę zwrotu ponad zysk wolny od ryzyka - r*

(40)
gdzie r stopa zwrotu z inwestycji, r_w- stopa zysku wolnego od ryzyka

§17. WARTOŚĆ BIEŻĄCA NETTO (NPV), WEWNĘTRZNA STOPA ZWROTU (IRR)

Wartość bieżąca netto (NPV)

Inwestycję finansową traktujemy jako ciąg nakładów i dochodów (przepływów finansowych), znanych co do wielkości i momentów wystąpienia.

Def. Wartość bieżąca netto inwestycji to suma zdyskontowanych nakładów i dochodów z inwestycji przy ustalonej stopie dyskontowej.

Przy założeniu, że aktualizacja jest przeprowadzona w oparciu o model oprocentowania wykładniczego (a nie ciągłego) wartość tego wskaźnika można obliczyć ze wzoru:

(41)

gdzie C_i - i-ty przepływ finansowy, t_i - czas od przepływu zerowego do i - tego, mierzony w liczbie okresów bazowych, r - stopa dyskontowa w okresie bazowym. Okres bazowy może być rokiem, kwartałem, miesiącem, itp.

Dodatnie C_i oznaczają dochód, ujemne - wydatek. Kolejność wydatków i dochodów jest dowolna. Na ogół przepływ C₀ jest ujemny (wydatek). Przy jedynym nakładzie dokonanym na początku wzór na NPV przyjmuje postać

(42)

gdzie I oznacza wielkość początkowego nakładu, C_i są w tym przypadku dodatnie.

Uwaga 1. Jeżeli wartość wskaźnika NPV jest dodatnia, to oznacza, że inwestycja jest opłacalna. Przy ujemnej wartości tego wskaźnika inwestycją uważamy za nieopłacalną.

Uwaga 2. Jeżeli dane są dwie inwestycje o tym samym NPV, to korzystniejsza jest ta, która angażuje mniejszy kapitał.

Przykład 1. Czy warto zainwestować 1500 $ w przedsięwzięcie, które przyniesie za rok 100 $, po dwóch latach 200 $, po trzech 300 $, po czterech 400 $ i po pięciu 500 $, jeżeli roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi w tym okresie 6 % ?

Korzystając ze wzoru (42) otrzymujemy

NPV=

Oceniając inwestycję na podstawie NPV, stwierdzamy, że jest ona nieopłacalna.

Z wyżej otrzymanych równości mamy także

Otrzymaną równość, w aspekcie wzoru (10) interpretujemy następująco: kwota 1214,69 $ powinna wygenerować dany ciąg wpływów przy rocznej stopie w wys. 6 %. Jest to bowiem kwota kredytu, która przynosi bankierowi od dłużnika wymienione dochody w odpowiednich latach zgodnie z zasadą równoważności długu i spłat. (pożyczka udzielona przez bankiera jest zwykłą inwestycją). Inwestując 1500 $ przepłacamy zatem 285,31 $. Jest to wielkość straty, którą ujawnia NPV. Gdyby te same dochody można było uzyskać inwestując tylko 1000 $, wtedy inwestycja miałaby NPV równy 214,69 $. To oznacza „zysk” 214,69 $, gdyż dopiero kwota 1214,69 $ powinna wygenerować ten ciąg dochodów.

Wniosek 1. Jeżeli NPV=0, to inwestycja jest tak samo opłacalna jak lokata bankowa o oprocentowaniu rocznym równym stopie dyskontowej użytej do obliczenia NPV przy rocznej kapitalizacji odsetek. Jeżeli NPV > 0, to inwestycja jest bardziej opłacalna niż bankowa, zaś przy NPV < 0 - mniej opłacalna.

Zalety wskaźnika:

• łatwość w obliczeniu

• jednoznaczność (przy ustalonej stopie dyskontowej)

• mianowanie w użytych jednostkach monetarnych

Wady

• zależność od skali inwestycji (nakłady i dochody pomnożone przez liczbę skutkują pomnożeniem NPV przez tę liczbę)

• zależność od wyboru stopy dyskontowej (nietrafny wybór stopy może zmienić znak wskaźnika)

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR).

Def. 2. Wewnętrzną stopą zwrotu ciągu przepływów finansowych C₁ , C₂ ,...,Cn jest taka stopa procentowa przy której wartość bieżąca netto tej inwestycji jest równa zeru, czyli takie r, że

(43)

Wzór (43) jest równaniem względem r, stopnia t_n. Niektóre C_i są dodatnie, niektóre ujemne. Muszą wystąpić przepływy różnych znaków.

Przykład 2. Bankier udzielił pożyczki w kwocie 800 zł. Dłużnik spłaci po roku 100 zł, po dwóch latach 120, po trzech 200 zł, po czterech 250 zł, po pięciu 300 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji bankiera ?

Szukana stopa jest rozwiązaniem równania

Jest to równanie 5 - tego stopnia. Jedynym jego pierwiastkiem jest liczba 6,69 % (z dokł. do setnej).

Przykład 3.Zerokuponowa obligacja dziesięcioletnia o wartości nominalnej 100 zł jest sprzedawana po 60 zł. Jaką wewnętrzną stopę zwrotu ma inwestycja w tą obligację?

Rozwiązaniem równania

Stopa IRR jest w tym przypadku również średnią roczną stopą zwrotu z tej inwestycji (wzór (33))

Przykład 3. Obligacja kuponowa o cenie sprzedaży 1000 zł generuje 11 co miesięcznych wypłat po 20 zł oraz dwunastą w wys. 1020 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu z tej inwestycji w ujęciu miesięcznym?

Należy rozwiązać równanie 12 - tego stopnia

Okazuje się, że 2% jest jego rozwiązaniem. Jest to zarazem stopa rentowności obligacji

Uwaga 3 . Z dwóch inwestycji lepsza jest ta, która ma wyższy IRR

Uwaga 4. Równanie może mieć kilka rozwiązań.

Przykład 4. Dany jest przepływ kapitałów: - 1000 $, +3600 $ , - 4310 $, + 1716 $ w rocznych odstępach czasowych. Można sprawdzić, że liczby 10%, 20 %, 30 % spełniają równanie (43) dla tego przepływu kapitału.

Uwaga 5. Jeżeli występuje tylko jeden początkowy nakład, to IRR jest wyznaczona jednoznacznie.

Uwaga 6. Inwestycja jest opłacalna, jeżeli jej IRR przewyższa stopę procentową wolną od ryzyka (np. oprocentowania lokat bankowych), jeżeli zaś jest od niej mniejszy, to inwestycja jest nieopłacalna.

Zalety

• brak wrażliwości na skalę inwestycji

• porównywalność z innymi miernikami efektywności inwestycji (stopa efektywna, stopa rentowności obligacji)

• pełnienie roli okresowej efektywnej stopy zwrotu

Wady

• wskaźnik IRR (w wielu przypadkach) możliwy do obliczenia tylko metodami numerycznymi

• niejednoznaczność (równanie (43) może posiadać więcej niż jedno rozwiązanie)

---