Pomiarem nazywamy czynności związane z ustaleniem wartości liczbowej miary danej wielkości fizycznej. Pomiary wykonujemy za pomocą narzędzi pomiarowych, na które składają się wzorce miar (odważniki, przymiar, pojemniki itp.) oraz przyrządy pomiarowe (waga, mierniki elektryczne itp.). Przyrządy pomiarowe podzielić możemy na: bezpośrednie, pozwalające odczytać bezpośrednio miarę wielkości fizycznej (np. suwmiarka, sekundomierz, omomierz itp.) oraz pośrednie (np. cyrkiel, opornik wzorcowy itp.), które nie dają wprawdzie bezpośrednio miary wielkości fizycznej, lecz pomiar umożliwiają. Ze względu na sposób pomiaru, wielkości fizyczne podzielić możemy na: proste i złożone. Miarę wielkości prostej otrzymujemy w wyniku bezpośredniego pomiaru wykonanego za pomocą jednego przyrządu pomiarowego. Celem uzyskania wielkości złożonej musimy wykonać równoczesny pomiar kilku wielkości prostych, stosując nieraz bardzo złożoną aparaturę. Samą miarą wielkości złożonej obliczamy wtedy z wzoru fizycznego.

Otrzymana w wyniku pomiaru miarą wielkości fizycznej x różni się od prawdziwej miary x₀. Różnicę x - x₀ = δ nazywamy rzeczywistym błędem bezwzględnym wielkości mierzonej. Ze względu na źródła, błędy podzielić możemy na błędy przyrządu pomiarowego, błędy metody pomiarowej (wynikającej np. z przybliżonego charakteru wzoru), błędy powodowane niedokładnością zmysłów lub wreszcie statystycznym charakterem zjawiska. Ze względu na sposób w jaki błędy wpływają na wynik pomiaru dzielimy je na trzy następujące grupy: systematyczne, przypadkowe i grube.

1. Błędy systematyczne zawsze w ten sam sposób wpływają na wynik pomiarów wykonanych za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej. Przy zmianie warunków pomiaru według określonej prawidłowości, błąd systematyczny zachowuje stałą wartość lub zmienia się w sposób prawidłowy. Wiele różnorodnych przyczyn może spowodować powstanie błędu systematycznego. Minimalna wartość błędu systematycznego jest określona dokładnością stosowanego przyrządu (lub jego klasą w przypadku mierników elektrycznych). Przyrządy skonstruowane są w ten sposób, by wynik prawidłowo wykonanych pomiarów różnił się od wartości prawdziwej x₀ nie więcej niż o wartość najmniejszej działki skali lub ułamek określony klasą przyrządu. Wartość najmniejszej działki, czyli odległość między sąsiednimi kreskami na skali przyrządu lub ułamek tej odległości określony klasą przyrządu nazywać będziemy dokładnością odczytu i oznaczać symbolem Δx. Wartość prawdziwa x₀ może być większa albo mniejsza od wartości odczytanej x, stąd dokładność odczytu może być dodatnia lub ujemna ±Δx. Innym źródłem błędu systematycznego jest błąd skali przyrządu, spowodowany trwałym jego uszkodzeniem lub wadliwym wykonaniem. Do tej grupy zaliczamy również błędy wynikające z niewłaściwego sposobu wykorzystania przyrządów, np. złego ustawienia, niewłaściwej temperatury otoczenia, wilgotności itp. Celem wyeliminowania błędów tego typu należy przyrządy wykorzystywać w sposób zgodny z instrukcją i co pewien czas skontrolować, to znaczy porównywać ich wskazania ze wskazaniami wzorców pewniejszych. Przyczyną błędu systematycznego może być zła metoda pomiaru. Jeżeli np. mierząc wydłużenie drutu, odczytujemy położenie obciążonego końca przyjmując, że drugi, zamocowany koniec nie zmienia swego położenia , to wynik pomiaru, poza właściwym wydłużeniem , zawiera przyczynek pochodzący od ugięcia. Błąd taki można wyeliminować przez ulepszenie sposobu pomiaru. Pewna grupa błędów systematycznych wynika z przybliżonego charakteru wzorów stosowanych do obliczania wielkości złożonej. Tego typu błąd popełniamy
   obliczając przyspieszenie ziemskie z wzoru: wtedy gdy pomiar okresu wykonaliśmy przy dużej amplitudzie wahań (wzór na okres jest wyprowadzony przy założeniu małych kątów wychylenia). Błąd systematyczny może być wprowadzony przez samego eksperymentatora (np. błąd paralaksy ). Ostatnio ten rodzaj błędów coraz częściej eliminuje się przez zastosowanie automatycznego zapisu wyników za pomocą przyrządów rejestrujących np. pisaków itp. Błąd systematyczny można zmniejszać nieograniczenie udoskonalając metodę pomiaru lub stosowane przyrządy, przez zastosowanie doskonalszych wzorów, lub wreszcie przez wyeliminowanie błędów popełnianych przez eksperymentatora.

2. Błędy przypadkowe. Gdy pomiar wykonujemy wielokrotnie za pomocą przyrządu o dużej dokładności, a więc błąd statystyczny jest mały. W takim przypadku może się zdarzyć, że różnice między kolejnymi pomiarami mogą przewyższać błąd systematyczny. Błąd, którym obarczony jest każdy z pomiarów, nazywamy błędem przypadkowym. Wiele różnorodnych przyczyn może spowodować powstanie błędu przypadkowego. Może on wynikać z własności przedmiotu mierzonego, np. przy pomiarze średnicy drutu wynikać może on wynikać z wahań średnicy. Innym jego źródłem są własności samego przyrządu pomiarowego, którego wskazania zależą od przypadkowych drgań budynku, ruchów powietrza, tarcia w łożyskach, docisku (np. mikromierza) itp. Błędy przypadkowe mogą mieć za przyczynę również podłoże fizjologiczne np. zjawisko spostrzeżenia chwili włączenia sekundomierza, określenia równości oświetlenia poszczególnych części pola widzenia lub usłyszenia ekstremum natężenia dźwięku itp. Błędów przypadkowych nie można wyeliminować, lecz ich wpływ na wynik ostateczny można ściśle określić.

3. Błędy grube lub pomyłki wynikające z niestaranności eksperymentatora. Celem wyeliminowania takich błędów należy powtórzyć pomiary.

Błędem średnim nazywamy odchylenie wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej wyrażone w takich jednostkach jak wielkość mierzona. Błąd bezwzględny nie oddaje sam pełni wartości wykonanego pomiaru. Jeżeli np. wiemy, że błąd bezwzględny wynosi Δl = ±1 cm, to wartość wykonanego pomiaru ocenić możemy tylko wtedy, gdy znamy bezpośredni odczyt l. Błąd Δl = ±1 cm jest bardzo duży, gdy l = 5cm, a bardzo mały, gdy l = 5 km. Stąd tez musimy zawsze obok wartości otrzymanej z pomiaru zapisać błąd: l ± Δl = (102 ± 1) cm. Tak zapisany rezultat nazywać będziemy wynikiem pomiaru. Podkreślić tu należy, że rezultat pomiaru bez oceny dokładności jest bezwartościowy.

Błędem względnym nazywamy stosunek błędu bezwzględnego do wielkości mierzonej │Δl / l │. Jest on wielkością niemianowaną. Błąd względny wyrażony w procentach nazywamy błędem procentowym B_p = │Δl / l │*100% . W ten sposób zdefiniowany błąd procentowy nie zawiera żadnych informacji na temat samego wyniku lub błędu bezwzględnego. Pełną informację o wartości wykonanego pomiaru daję łącznie : wynik pomiaru i błąd bezwzględny lub procentowy. Stąd podając bezpośrednio rezultaty pomiaru w pracowni, należy podać zarówno wynik pomiaru jak i błąd procentowy. Tak więc w wykorzystanym wyżej przykładzie należałoby zapisać: l = (102 ± 1)cm, B_p = 1 %

Jeżeli znamy prawdziwa wartość jakiejś wielkości i oznaczamy ja przez x, wyniki zaś przeprowadzonych n pomiarów oznaczamy przez a₁,a₂,a₃,...,a_n, to różnice między prawdziwą wartością a każdym pomiarem nazywamy błędem rzeczywistym i oznaczamy kolejno przez ε₁,ε₂,...,ε_n. Największa z wartości ε nazywamy największym błędem poszczególnego pomiaru. Wartość średnią błędu obliczamy ze wszystkich wartości ε. Wartości te mogą być dodatnie lub ujemne. Suma ich kwadratów nie jest jednak zależna od znaków poszczególnych wartości. Oznacza się ją przez:
. Po podzieleniu tej sumy przez liczbę pomiarów n otrzymamy średnią wartość kwadratu błędu ε. Średni błąd kwadratowy dla każdego pomiaru wynosi więc:
często nazywamy go w skrócie błędem średnim.

Jeżeli nie znamy prawdziwej wartości zadanej wielkości, a dysponujemy jedynie dokonanymi pomiarami to średni błąd pojedynczego pomiaru liczymy ze wzoru
, gdzie v to wartości uzyskane podczas przeprowadzania doświadczenia, a n to ilość dokonanych pomiarów. Natomiast średni błąd całkowitego pomiaru wynosi
.

Nigdy wartości mierzonej ani błędu nie znamy dokładnie. Celem rachunku błędów jest ustalenie przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem zawarta jest wartość rzeczywista. Z uwagi na przedział ufności, który dla odchyleń standardowych wynosi 68%, jak z uwagi na sam charakter prawdopodobieństwa, sens fizyczny posiada tylko pierwsze miejsce znaczące wyniku. W pewnych przypadkach podaje się jeszcze również i drugie miejsce znaczące; natomiast miejsce trzecie i następne są cyframi, które wynikły z rachunku i nie posiadają żadnego sensu fizycznego. Zatem każdy błąd należy zaokrąglić do jednego, lub co najwyżej do dwóch miejsc znaczących. Błąd obliczamy do drugiego miejsca znaczącego, a następnie zaokrąglamy (zawsze w górę) do pierwszego miejsca w przypadku gdy na skutek zaokrąglania zwiększy się o 10%. Jeżeli w wyniku zaokrąglania błąd zwiększył by się więcej niż o 10%, podajemy błąd z dokładnością do dwóch miejsc znaczących. W żadnym przypadku nie podajemy trzeciego miejsca. Błędów nie można zaokrąglać w dół, gdyż w żadnym przypadku nie można obniżać wyniku uzyskanego z obliczeń. Wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, po czym zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego wyznaczono błąd. Dalszych miejsc pisać nie wolno, ponieważ nie posiadają one żadnego sensu fizycznego. W przypadku, gdy z obliczeń otrzymuje się wynik składający się z jednej cyfry znaczącej i zer, np. d=0,5000 mA, a odchylenie standardowe wynosi S_d=0,0002 mA, to wynik pomiaru należy zapisać: d=(0,5000±0,0002) mA. Pominięcie w wyniku zer po przecinku, znaczących w tym przypadku, byłoby błędem. Zaleca się wyniki końcowe pisać w takiej potędze, by błędem obarczone były miejsca dziesiętne i setne.

Gdy interesująca nas wielkość z=f(x,y) jest funkcją złożoną dwóch wielkości prostych x oraz y, które mierzyliśmy wielokrotnie uzyskując w wyniku końcowym wartości x_i gdzie i=1,2,3,...,n, oraz y_k gdzie k=1,2,3,...,m. Wielkości te w wyniku końcowym dają wartości średnie
oraz
. Znamy odchylenia od wartości średniej ε_i=x_i-
oraz
, jak również odchylenia standardowe S_x i S_y. Wielkość złożoną z_ik obliczyć możemy odchylenie dla każdej pary wielkości prostych x_i oraz y_i : z_ik=f(x_i,y_k). Korzystając z definicji odchyleń możemy napisać
rozwijając powyższe wyrażenie w szereg Taylora i ograniczając do pierwszych dwóch wyrazów otrzymujemy:
Zgodnie z definicją średniej z możemy napisać
Wynika stąd, że podstawiając do wzoru na wielkość złożoną wartości średnie wielkości prostych, w wyniku końcowym otrzymamy średnią arytmetyczną wielkości złożonej.

Graficzną metodę przedstawiania wyników stosujemy wtedy, gdy mierzymy równocześnie dwie wielkości x i y współzależne od siebie. Wykonujemy pomiary dla zadanych z góry wartości jednej z wielkości np. x mierzymy wielkość drugą. Wykres jest graficznym obrazem badanej zależności.

Metodę graficzną posługujemy się w następujących przypadkach:

1. Gdy chcemy udowodnić, że badane wielkości spełniają założony uprzednio związek funkcyjny. Na przykład celem sprawdzenia czy ciało porusza się ruchem jednostajnym, wystarczy zbadać i wykreślić zależność drogi od czasu. Te dwie wielkości spełniają związek s=v*t. Jeżeli obrazem graficznym jest linia prosta, to jest spełnione równanie liniowe, a tym samym ruch jest jednostajny.

2. Gdy chcemy dowiedzieć się jaki typ zależności funkcyjnej spełniają mierzone wielkości. Jeżeli na przykład wykres przedstawia w liniowym układzie linię prostą, to mamy do czynienia z zależnością liniową typu y=a*x, jeżeli parabolę to występuje zależność kwadratowa typu y=ax², itp.

3. Gdy badania zależność nie da się przedstawić za pomocą prostych związków matematycznych. Jako przykład możemy podać zależność gęstości wody od temperatury itp.

---