Ćwiczenie 2. Równia pochyła

Wstęp teoretyczny

Równia pochyła - płaska powierzchnia nachylona do poziomu pod pewnym kątem. Przeanalizujemy siły, działające na ciało o masie m zsuwające się z równi o kącie nachylenia α.

Na zsuwające się ciało działają trzy siły: skierowana pionowo siła grawitacji
, skierowana równolegle do powierzchni równi i przeciwnie do kierunku ruchu siła tarcia
oraz skierowana prostopadle do powierzchni równi siła reakcji
. Wypadkowa siła jest oczywiście sumą wektorów wszystkich tych sił:

. (1)

Siłę grawitacji możemy przedstawić jako wektorową sumę dwóch prostopadłych względem siebie sił: skierowanej równolegle do powierzchni równi siły zsuwającej
oraz skierowanej prostopadle do powierzchni równi siły nacisku
.

Siły
i
równoważą się - ciało nie wykonuje ruchu w kierunku prostopadłym do powierzchni równi. Wypadkowa siła będzie więc co do wartości równa

.(2)

Wartość siły zsuwającej wynosi

, (3)

natomiast wartość siła tarcia co do wartości równa jest sile nacisku pomnożonej przez współczynnik tarcia f, mamy zatem

. (4)

Ze wzorów (2) - (4) wynika, że przyspieszenie ciała wynosi

. (5)

W sytuacji, gdy po równia porusza się kula lub walec, oprócz ruchu postępowego musimy uwzględnić ruch obrotowy.

Jedyną siłą, która będzie powodować ruch obrotowy, jest siła tarcia. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego, zapisujemy

, (6)

gdzie M - moment siły, I - moment bezwładności, a ε - przyspieszenie kątowe. Siła tarcia działa w punkcie, w którym staczające się ciało dotyka równi i jest ona w tym punkcie prostopadła do promienia r tego ciała, zatem

. (7)

Przyspieszenie kątowe ε wiąże się z przyspieszeniem z ruchu postępowego wzorem

. (8)

Podsumowując wzory (6) - (8), dostajemy wyrażenie na siłę tarcia

. (9)

Uwzględniając równania (3) i (9) we wzorze (2), otrzymujemy wyrażenie

, (10)

z którego wynika następujący wzór na przyspieszenie

. (11)

Zadania:

1. Wyznaczyć doświadczalnie momenty bezwładności wykorzystywanych w doświadczeniu rurek.

2. Wyznaczyć doświadczalnie przyspieszenie rurek na równi pochyłej w przypadku kilku różnych kątów nachylenia.

3. Na podstawie pomiarów w zad. 2 obliczyć teoretyczne wartości przyspieszenia.

4. Oszacować niepewności pomiarowe.

Przebieg pomiarów

1. Aby wyznaczyć moment bezwładności rurki, należy zmierzyć jej masę m, oraz średnicę wewnętrzną d₁ i zewnętrzną d₂. Średnice mierzymy suwmiarką, robimy to kilkukrotnie i obliczamy średnie wartości d₁ i d₂. Dzieląc d₁ i d₂ przez dwa dostajemy średnią wartość promienia wewnętrznego r₁ i zewnętrznego r₂. Moment bezwładności obliczamy wzorem

.

2. Kąt nachylenia ustala się przez ustawienie wysokości początku równi. Mierzymy drogę s, którą pokonuje ciało poruszając się po równi, oraz średni czas ruchu t (obliczony na podstawie co najmniej 10 pomiarów). Mierzymy również h - różnicę wysokości pomiędzy najwyższym na najniższym punktem toru ruchu. Przyspieszenie obliczamy ze wzoru wynikającego z równania na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym.

,

3. Korzystamy ze wzoru (11). Kąt obliczamy na podstawie wyników zad. 1 oraz pomiarów h i s w zad. 2. Jako r podstawiamy promień zewnętrzny.

4. Należy oszacować niepewności bezwzględne poszczególnych mierzonych wielkości, a dla wielkości obliczanych na podstawie podanych wzorów wyznaczyć niepewności względne.

α

F_T

F_g

F_N

F_T

F_Z

F_R

α

F_T

F_N

F_Z

F_R

r

---