Opracowanie: Aleksander Pohl

Zagadnienia na egzamin

Wykład nr 0 (str.3):

• tw. o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego

• tw. o granicy ciągu (1+1/n)ⁿ

• tw. o trzech ciągach

• def. granicy Cauchy'ego i Heine'go

• tw. o zachowaniu znaku

• tw. o zbieżności ciągu rekurencyjnego

Wykład nr 1 (str.7):

• wk. istnienia ekstremum (l. 1.1)

• tw. Rolle'a (t. 1.1)

• tw. Cauchy'ego o ilorazie przyrostów funkcji (t. 1.2)

• tw. Lagrange'a o wartości średniej (t. 1.3) (wraz z postaciami)

• przybliżona wartość funkcji (w. 1.1)

• wzór Taylor'a dla funkcji jednej zmiennej (t. 1.4) (wraz z postaciami) DOWÓD

• tw. Maclaurina (t. 1.5) wraz z uwagą o reszcie (1)

• nieskończenie mała (d 1.1)

• rząd nieskończenie małej (d 1.2)

• wzór Maclaurina z resztą Peano (w 1.2)

• rozwinięcie funkcji sin x, cos x, (1+x)^α, ln(1+x)

• definicja symbolu Newtona o argumencie rzeczywistym

Wykład nr 2 (str 17):

• zbiór wypukły (d. 2.1)

• wypukłość wykresu funkcji (d. 2.2, w. 2.1, w. 2.2)

• ww. istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej (w. 2.3)

• punkt przegięcia (d. 2.3)

• wk. istnienia punktu przegięcia (w. 2.4)

• ww. istnienia punktu przegięcia (w. 2.5)

• twierdzenie del'Hospital'a o granicy ilorazu funkcji [0/0, ∞/∞] (t. 2.1) DOWÓD

• funkcja pierwotna (d. 2.4)

• całkowalność w sensie Newtona (d. 2.5)

• lemat o „równości” funkcji pierwotnych (l. 2.1)

• całka Newtona (d. 2.6)

• całka nieoznaczona (d. 2.7)

• tw. o całkowaniu sumy (t. 2.2)

• tw. o całkowaniu przez podstawianie (t. 2.3)

• tw. o całkowaniu przez części (t. 2.4)

• metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Wykład nr 3 (str. 37):

• iloczyn kartezjański (d. 3.1)

• rodzina podzbiorów (d. 3.2)

• połączenie i przecięcie zbiorów (d. 3.3)

Wykład nr 4 (str. 39):

• szeregi liczbowe (d. 4.1)

• zbieżność szeregu (d. 4.2)

• σ - algebra (d. 4.3)

• tw. o przecięciu σ - algebr (t. 4.1)

• najmniejsza σ - algebra (w. 4.1)

• σ - algebra generowana prze X (d. 4.4)

• własności σ - algebry (t. 4.2)

• σ- algebra zbiorów borelowskich

• miara (d. 4.5) (zupełna, unormowana, prawdopodobieństwo)

• przestrzeń z miarą (d. 4.6)

• tw. o uzupełnianiu miary (t. 4.3)

• miara Lebesque'a (d. 4.7)

• tw. o jednoznaczności miary l (t. 4.4)

• tw. o ciągłości miary z dołu (t. 4.5)

• tw. o ciągłości miary z góry (t. 4.6) zastosowanie - przykłady

• przedział w Rⁿ (d. 4.8)

• tw. jednoznaczności miary l_n (t. 4.7)

Wykład nr 5 (str. 51):

• funkcja prosta (d. 5.1)

• funkcja charakterystyczna (d. 5.2)

• postać normalna funkcji prostej (w. 5.1)

• własności funkcji prostych (t. 5.1)

• funkcja prosta całkowalna (d. 5.3)

• całka z funkcji prostej (d. 5.4)

• twierdzenie o niezależności wartości całki od postaci funkcji prostej (t. 5.2)

• własności całki z funkcji prostej (t. 5.3)

• definicje ε⁺, ε₁⁺

• niezależność granicy od doboru funkcji prostych (t. 5.4)

• całka z funkcji nieujemnej (d. 5.5, w. 5.2)

• funkcja μ - całkowalna (d. 5.6)

• całka po zbiorze (d. 5.7)

• własności całki (t. 5.5), wnioski

Wykład nr 6 (str. 61):

• tw. O wartości średniej (t. 6.1)

• całka Lebesque'a (d. 6.1)

• tw. o całkowalności funkcji ciągłej (t. 6.2)

• całka Riemman'a

• tw. o zbieżności szeregu funkcji prostych do całki (w. 6.1)

• tw. o wartości średniej dla całki Lebesque'a (t. 6.3)

• I zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego (t. 6.4) - funkcja górnej granicy całkowania DOWÓD

• Twierdzenie Newtona - Leibniza - o całce oznaczonej (t. 6.5) DOWÓD

• Całka niewłaściwa (d. 6.2)

Wykład nr 7 (str. 74):

• twierdzenie o zbieżności i rozbieżności całek z f ≤ g (t. 7.1)

• pola obszarów

• współrzędne biegunowe

• długość łuku krzywej

• krzywa prostowalna (d. 7.1)

• krzywa Jordano (d. 7.2)

• łuk regularny (d. 7.3)

• tw. o prostowalniści łuku regularnego (t. 7.2)

• objętość bryły obrotowej

• pole powierzchni bryły obrotowej

Wykład nr 8 (str. 87):

• metryka (d. 8.1) (półmetryka, przestrzeń metryczna)

• odległość euklidesowa, taksówkowa, maksimum

• metryka w iloczynie kartezjańskim dwóch przestrzeni metrycznych (p. 8.2)

• kula otwarta (d. 8.2)

• zbiór ograniczony (d. 8.3)

• zbiór otwarty (d.8.4)

• własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej - topologia (t. 8.1)

• otwartość kuli otwartej (t.8.2)

• wnętrze zbioru (d. 8.5, w 8.1)

• otoczenie punktu (d. 8.6)

• zbiory domknięte (d. 8.7)

• własności zbiorów domkniętych (t. 8.3)

• domknięcie zbioru (d. 8.8)

• brzeg zbioru (d. 8.9)

• granica ciągu (d. 8.10)

• punkt skupienia (d. 8.11)

Wykład nr 9 (str. 99):

• ciąg Cauchy'ego (d. 9.1)

• tw. o zbieżności ciągu (t. 9.1)

• przestrzeń zupełna (d. 9.2)

• zbiór zwarty (d. 9.3)

• twierdzenie o zbiorze zwartym (t. 9.2)

• obraz i przeciwobraz zbioru (d. 9.4)

• granica funkcji (d. 9.5)

• ciągłość funkcji (d. 9.6)

• twierdzenie o złożeniu odwzorowań ciągłych (t. 9.3)

• odwzorowanie ograniczone (d. 9.7)

• tw. o zwartości zbioru zwartego (t. 9.4)

• tw. Weierstrassa o kresach funkcji (w. 9.1)

• przestrzeń niespójna (d. 9.8)

• przestrzeń spójna (d. 9.9)

• własności odwzorowań ciągłych na zbiorach spójnych (t. 9.5) jedną z własności DOWÓD

• własność Darboux (w. 9.2)

• tw. o zerowaniu się funkcji (w. 9.3)

• tw. ospójności obrazu zbioru spójnego (t. 9.6)

• zbieżność punktowa (d. 9.10)

• zbieżność jednostajna (d. 9.11)

Wykład nr 10 (str. 111):

• przestrzeń z metryką Czebyszewa (t. 10.1, s. 10.1, s. 10.2) bez stwierdzeń

• tw. o granicy funkcji ciągłej (w. 10.2)

• tw. o zbieżności jednostajnej (w. 10.1)

• tw. o zbieżności punktowej (w. 10.3)

• tw. o zbieżności pochodnej granicy (t. 10.2)

• tw. o zbieżności całki z granicy (t. 10.3)

• norma (d. 10.1)

• przestrzeń unormowana

• tw. o metryce w przestrzeni unormowanej (t. 10.4)

• tw. o metryce w przestrzeni z metryką Czebyszewa (w. 10.4)

• przestrzeń Banacha (d. 10.2)

• iloczyn skalarny (d. 10.3)

• własności iloczynu skalarnego (t. 10.5)

• funkcje całkowalne z kwadratem (p. 10.8)

• nierówność Schwarza (t. 10.6)

• nierówność Cauchy'ego (w. 10.5) b.d.

• tw. o normie w przestrzeni unitarnej (t. 10.7)

• przestrzeń Hilberta (d. 10.8)

Wykład 11 (str. 123):

• granic funkcji dwóch zmiennych

• granice iterowane

• obszar (d. 11.1)

• pochodna kierunkowa (d. 11.2)

• pochodna cząstkowa (d. 11.3)

• różniczkowalność, różniczka (d. 11.4)

• tw. o jednoznaczności różniczki (t. 11.1)

• własności różniczki (t. 11.2)

• związek różniczki z pochodnymi w kierunku wektora (t. 11.3)

• związek różniczki z pochodnymi cząstkowymi (w. 11.1)

• twierdzenie o różniczkowalności funkcji, której pochodne cząstkowe są ciągłe (t. 11.4)

Wykład nr 12 (str. 133):

• różniczka złożenia dwóch odwzorowań (t. 12.1)

• tw. o postaci różniczki funkcji Rⁿ R^k (w. 12.1)

• różniczka zupełna

• macierz Jakobiego (d. 12.1)

• jakobian (d. 12.2)

• macierz jakobiego złożenia dwóch odwzorowań (w. 12.2)

• pochodne cząstkowe wyższych rzędów (d. 12.3)

• różniczki wyższych rzędów (d. 12.4)

• tw. o równości pochodnych mieszanych (t. 12.2)

• tw. Sylwestera - Jakobiego (t. 12.3)

Wykład nr 13 (str. 143):

• twierdzenie o równości pochodnych mieszanych ( w. 13. 1)

• odcinek (d. 13.1)

• zbiór wypukły (d. 13.2)

• wzór Taylora w Rⁿ (t. 13.1)

• ekstremum lokalne (d. 13.3)

• wk. istnienia ekstremum (t. 13.3, w. 13.2) bez wniosku

• ww. istnienia ekstremum (t. 13.4, w. 13.3, w. 13.4) bez wniosków

• tw. o postaci pochodnej funkcji uwikłanej (t. 13.5)

Wykład nr 14 (str. 153):

• własności funkcji uwikłanej (t. 14.1, w. 14.1)

• metoda mnożników Lagrange'a

• wk. istnienia ekstremum warunkowego (t. 14.2)

• ww. istnienia ekstremum warunkowego (t. 14.3, w. 14.2)

• hesjan obrzeżony (d. 14.1, t. 14.4)

Wykład nr 15 (str. 163):

• szereg (d. 15.1)

• zbieżność szeregu (d. 15.2)

• wk. zbieżności szeregu (t. 15.1)

• zbieżność bezwzględna (d. 15.3)

• tw. o zbieżności szeregu bezwzględnie zbieżnego (t. 15.2)

• I kryterium porównawcze (t. 15.3)

• II kryterium porównawcze (t. 15.4)

Wykład nr 16 (str. 172):

• kryterium d'Alamberta (t. 16.1) DOWÓD

• kryterium Cauchy'ego (t. 16.2) DOWÓD

• kryterium całkowe (t. 16.3) DOWÓD

• szereg znakozmienny (d. 16.1)

• szereg naprzemienny (d. 16.2)

• kr. Leibniza (t. 16.4) DOWÓD

Wykład nr 17 (str. 181):

• tw. o grupowaniu wyrazów ciągu (t. 17.1)

• tw. o zamianie wyrazów ciągu (t. 17.2)

• iloczyn Cauchy'ego (d. 17.1)

• tw. o zbieżności iloczynu (t. 17.3)

• zbieżność punktowa, bezwzględna, jednostajna (d. 17.2)

• tw. o zbieżności szeregu zbieżnego bezwzględnie lub jednostajnie (w. 17.1)

• wk. zbieżności szeregu funkcyjnego (w. 17.2)

• kryterium Weierstrassa (t. 17.4) DOWÓD

• tw. o różniczkowaniu szeregu (t. 17.5)

• tw. o całkowaniu szeregu (t. 17.6)

Wykład nr 18 (str. 191):

• szereg potęgowy (d. 18.1)

• promień zbieżności szeregu potęgowego (d. 18.2)

• tw. o promieniu zbieżności szeregu potęgowego (t. 18.1)

• własności szeregu potęgowego (t. 18.2)

• własności sumy szeregu potęgowego (w. 18.1)

• tw. o promieniu zbieżności (t. 18.3, t. 18.4)

• własności szeregu potęgowego (t. 18.5)

• szereg Taylor'a (t. 18.6)

Wykład nr 19 (str. 199):

• funkcja analityczna (d. 19.1)

• eksponenta (d. 19.2)

• funkcja sinus (d. 19.3)

• funkcja cosinus (d. 19.4)

• własności funkcji exp, sin, cos (tw. 19.1)

Wykład nr 20 (str. 209):

• iloczyn skalarny w L²[a,b] (t. 20.1)

• własności iloczynu skalarnego (w. 20.1)

• ciąg ortogonalny (d. 20.1)

• szereg ortogonalny (d. 20.2)

• współczynniki Eulera - Fouriera (t. 20.2) DOWÓD

• funkcje rozwijalne w szereg Fourier'a (d. 20.3)

• nierówność Bessela (t. 20.3)

• tożsamość Parsevala (t. 20.4)

• ciąg zupełny (d. 20.4)

• tw. o postaci szeregu ortogonalnego (t. 20.5)

• zupełność ciągu o postaci jw. (t. 20.6)

• tw. o postaci szeregu trygonometrycznym Fourier'a (t. 20.7)

Wykład nr 21 (str. 219):

• funkcja przedziałami monotoniczna (d. 21.1)

• warunki Dirichleta (d. 21.2)

• tw. Dirichleta

• widmo amplitudowe (d. 21.3)

• widmo fazowe (d. 21.4)

Wykład nr 22 (str. 227):

• całkowalność funkcji ciągłej R²(t. 22.1)

• tw. o wartości średniej (t. 22.2)

• tw. Fubiniego (t. 22.3, w. 22.1)

• obszar normalny (d. 22.1)

• tw. o iteracji (t. 22.4)

• tw. o zamianie zmiennych w całce podwójnej (t. 22.5)

Wykład nr 23 (str. 235):

• współrzędne biegunowe (uogólnione)

• interpretacja geometryczna całki podwójnej

• obszar normalny w Rⁿ (d. 23.1)

• całkowalność funkcji w obszarze normalnym (w. 23.1)

Wykład nr 24 (str. 245):

• tw. o zamianie zmiennych w całce wielokrotnej (t. 24.1)

• współrzędne walcowe (uogólnione)

• współrzędne sferyczne (uogólnione)

Wykład nr 25:

• parametryzacja regularna (d. 25.1)

• parametryzacje równoważne (d. 25.2)

• tw. O parametryzacji równoważnej, jako relacji równoważności (t. 25.1)

• łuk regularny (d. 25.3)

• orientacja łuku (d. 25.4)

• ciągłość (różniczkowalność) funkcji na łuku (d. 25.5)

• całka krzywoliniowa zorientowana (d. 25.6)

• niezależność całki od parametryzacji (t. 25.2)

• zmiana orientacji (t. 25.4)

• krzywa regularna (d. 25.7)

• całka po krzywej regularnej (d. 25.8)

Wykład nr 26:

• tw. Greena (t. 26.1) DOWÓD

• całka krzywoliniowa nieskierowana (d. 26.1)

• całka nieskierowana po krzywej regularnej (d. 26.2)

Wykład nr 27:

• parametryzacja regularna (d. 27.1)

• tw. O wektorach prostopadłych (t. 27.1)

• równoważność parametryzacji regularnych (d. 27.2)

• równoważność parametryzacji regularnych jest relacją równoważności (t. 27.2)

• płat powierzchni (d. 27.3)

• orientacja płata (d. 27.4)

• określoność, ciągłość (różniczkowalność...) funkcji na płacie (d. 27.5)

• całka powierzchniowa nieskierowana (d. 27.6)

• powierzchnia regularna (d. 27.7)

• całka powierzchniowa zorientowana (d. 27.9)

Wykład nr 28:

• tw. Ostrogradskiego - Gaussa (t. 28.1)

• zgodność orientacji płata i jego brzegu (d. 28.1)

• tw. Stokesa (t. 28.2)

• pole wektorowe (d. 28.2)

• pole potencjalne (d. 28.3)

• rotacja pola wektorowego (d. 28.4)

• wniosek z tw. Stokesa (w. 28.1) (w. 28.2)

• divergencja (d. 28.5)

• gradient (d. 28.6)

---