1) Dudnienie. Jest to złożenie 2 drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, jego efekt można przedstawić w postaci matematycznej. Powstałe drganie można traktowac jako drganie równe średniej artmetycznej dwóch drgań składowych, oraz powoli zmiennej amplitudzie, z czestością równą połowie różnicy częstości drgań składowych. Stosuje się w radarach.
2) Na czym polega analiza harmoniczna funkcji? Polega ona na rozwinięciu funkcji har x(t) o okresie T w szereg Fouriera: x(t)=a0/2+i=1∑∞(ancosnωt+ansinnωt) ω=2π/T an=(2π/T)*0∫T((x(t)cosnωt)dt n=1,2,3.. bn=(2π/T)*∫(0-T)((x(t)sinnωt)dt rys: fala symetryczna względem Ox a w środku coś typu sin.
3) Co to jest widmo drgań? Jest to zbiór częstości i kwadratów odpowiadających im amplitud a2n+b2n=A2 wykres: oś X to jest ω . rys. co jakiś czas ω1 ω2 ω3 itp. i od nich w góre idą pałeczki pionowe. na końcach odpowiednio A12, A22, A32 itd.
4) Kiedy harmoniczny, nieharmoniczny, nieokresowy. Har. ω1=ω2=ω3=..=ωn ; ukł.równ:x1(t)=a1sin(ωt+φ1);x2(t)=a2sin(ωt+φ2);..;x3(t)=a3sin(ωt+ φ3) cały układ =X(t)=asin(ωt+φ) przebieg okresowy o częstości ω.A=√((∑aisin φi)2+(∑aicos φi)) tg φi=∑aisinφi)/( ∑aicosφi). Niechramoniczny: gdy stosunek częstotliwości jest wprost proporcjonalny do mas: ω1/ ω2=m1/m2 ;ω=2Pi/T; suma drgan harmonicznych o częstościach współmiernych jest drganiem okresowym nieharmonicznym. rys: jak sygnał dyskretny pofalowany na górze i dole, zaznaczyć okres T. Nieokresowe:x1(t)=3sinω1 ; x2(t)=5cosω2 , wykres A|_t podobne do poprzedniego tylko mniej kwadratowe, pofalowane gówno.
6) Klasyfikacja drgań: 1. a) o jednym st. swobody, b) o skończonej liczbie st. swobody, c) drgania układów o masach nie złożonych w sposób ciągły 2. a) swobodne - gdy ukł. nie jest poddany sile wymuszającej b) wymuszone - gdy ukł. jest poddany sile wymusz. c) samowzbudne - gdy ukł. nie jest poddany jawnemu dział. siły zewn. ale istnieje doprow. en. stosow. przez sam układ. Ukł. autonomiczne - ukł. na które nie działają siły zewn. wyraźnie zależne od czasu (nieautonom. odwrotnie). 3. a) parametryczne - gdy masa, sztywność lub inne param. zależą od czasu b) liniowe - jeżeli opisane są równaniami różniczkowymi liniowymi (nieliniowe gdy nieliniowymi) 4.tłumione lub nietłumione - w zależności od tego czy wyst. opory ruchu
8) Układanie równań ruchu o wielu stopniach swobody-a)II prawo Newtona (raczej trudno zastosować do tego) mx”=p(t)−kx−cx' rys.: do sufitu linka, potem równolegle C[]K na dole doczepiona masa m i od niej strzałka w lewo i dół piszemy x. od masy m w dół i piszemy F(x), w prawo i w dół kolejny klocek. mx”=kzx gdze kz=k1+k2 ,. 2 rys to 2 sprężyny do sufitu o różnych k, doczepiona jedna masa m, strzałka w lewo iw dół to x. mx”=….
b) równ. Lagrange'a: - okr. liczbę st. swobody; - wybieramy wsp. uogólnione (tyle ile st. swobody); - wyzn. Ek, Ep i dysypację Rayghley'a; - wyzn. siły uogólnione. Otrz. równ. różn. (tyle ile st. swobody) zwyczajne, sprzężone, nieliniowe, niejednorodne. rys: korobowo-wodzikowy. przesunięcie wodzika od jego połowy w prawo to x.
c) metoda sił (Grzesiek mówi ze tego nie było na wykłądzie i jest chyba źle) rys: |''''' na końcu masa m. drga to w dół. zaznaczamy jako odl. y, i przesuwa się masa \ i odl. _ jako x. układ równań {x=δ11F1+δ12F2 { y= δ21F1+ δ22F2 w tym przypadku: F1=−mx1” ; F2=−mx2” w tej metodzie zakładamy, że suma prac sił wirtualnych=0
9. Co to jest lograrytmiczny dekrement tłumienia? Służy on do oceny tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku bezwzględnych wartości kolejnych amplitud (max wychyleń). S=ln(|xn|/|xn+1|)=ln(|x(tn)|/|x(tn+1)|)=hT/2=h π/ λ W tym przypadku dekrement jest wielk. stałą i niezależną od czasu i ampl. Daje on wyobrażenie o wpływie tłumienia na drgania. Przy drganiach nieliniowych nie jest stały. rys.: x(t), oj ujemnej wartości na osi X łukiem do zera dąży e−ht, wykres typu „gasnąca sin” startuje z wartosci +Xn. po 1 okresie Tn osiaga wys.chyba =Xn+ φ, ?
10. Drgania swobodne - raz pobudzone. Drg. zachowawcze - cały czas pobudzane. Drg. liniowe - brak tłumienia. Drg. nieliniowe - z tłumieniem.
12)Izokliną nazywamy miejsce geometryczne punktów płaszczyzny fazowej o tej właściwości,że trajektorie w tych punktach mają ten sam kąt nachylenia stycznej. Izokliny nie mogą przecinać się w punktach regularnych płaszczyzny fazowej. Mając przebiegi Izoklin możemy z dowolną dokładnością szkicować trajektorie fazową (bez korzystania z obliczeń) zaczynając z pewnego punktu początkowego. rys: jeden łuk z dupy z lewa z dołu na prawo do góry. a te izokliny z lewa z góry, na prawo na dół, narys. 3 równoległe (oba wypukłe do góry)
13)Stateczność punktów osobliwych płaszcz. fazowej ze względu na zachowanie się trajektori fazowych w otoczeniu punktow osobliwych, punkty te można podzielić na stateczne (trajektorie w dowolnym sąsiedztwie takich punktów nie oddalają się od nich w sposób trawały) i niestateczne (trajektorie oddalają się wraz z upływem czasu). Stateczność punktu osobliwego warunkują pierwiastki równania charakterystycznego układu zlinearyzowanego wokół tego punktu. Jeśli części rzeczywiste dla tych pierwiastków są ujemne to punkt osobliwy jest asymptotycznie stateczny. Jeśli są równe zero to stateczność warunkują wyrazy nieliniowe funkcji. W przypadku dodatnich części rzecz. punkt osobliwy jest niestateczny. Stateczne „U” z punkt na dnie, a drugie to „n” z punktem na górze.
Określenie stateczności wg. Dinitchlet wskazuje na badanie energii potencjalnej: d2Ep/dx2|Xk*=dF/dx|Xk*>0 ukl.stateczny d2Ep/dx2|Xk*<0nie stateczny
14. Podać przykład równania o jednym stopniu swobody, dla którego punktem osobliwym jest węzeł niestateczny. Przykłady: x”−3x'+x=0, x”−5x'+2x=0 Dla niestatecznych Δ>0 czyli α2−4β>0 , α<0, β>0,
Wykres: to „U” coś typu _\|/_ , robimy do niej strzałkę i nazywamy Δ=α2−4β>0 , oś Ox to α a Oy to β. to co jest pod osią α po dodatniej i ujemnej stronie piszemy nie odnosząc do niczego „siodła”. Nad osią α ale pod wykresem po dodatniej stronie „węzły stateczne i Δ>0. Wewnątrz wykresu po dodatniej stronie: ogniska stateczności. podobnie po ujemnej stronie, tylko „niestateczności”. i to wszystko jest dla równania x”+αx'+βx=0
15. Jaki punkt osobliwy posiada ukł. opisany równ.: x”−2x'+5x=0 , α=−2, β=5, Δ=α2−4β=4−20=−16 Punktem osobliwym jest ognisko niestateczne: wykres: spirala startująca blisko środka, ale z x na minusie a y na plusie. i odwija się w prawo zgodnie ze wskazówkami.
16) co to jest SEPARATYSA i w jakich warunkach występuje na płaszczyźnie fazowej?
Obszary fazowe z krzywymi separującymi są charakterystyczne dla nieliniowych układów nieharmonicznych (RYS Symetria względem osi pionowej U(x), opis prawej połówki: na osi X ok. 2cm w prawo od 0;0 punkt, wokół tego punktu małe kółko. potem większe, i największe przechodzące jednym bokiem przez 0,0 a następne nie jest już zamknięte, tworzy „pośladki” ( | ) i to jest ten separator. nad tymi kółkami jakieś 5cm. od punktu środkowego najniższy punkt wykresy podobnego do x2) Rys. przedstawia przebiegi energii potencjalnej układu odniesionej do jednostki masy oraz trajektorii fazowych dla różnych energii całkowitych wprowadzonych poprzez warunki początkowe. Trajektoria S to krzywa separująca. Oddziela ona obszary płaszczyzny fazowej, w których trajektorie mają odmienne właściwości.
18) Dla układu x”+2hx'+ωo2x=qsinVt. Wyznaczyć rozwiąznia spełaniajace warunki poczatkowe x(0)=0 i x'(0)=Vo zakłądam ze h<ωo , xogn(t)=xogj(t)+xszn(t) , przewiduje rozwiaznie szczególe xszn(t)=acosVt+bsinVt , −aV2cosVt−bωo2sinVt−2haVsinVt+2hbVcosVt+ωo2acosVt+ωo2bsinVt≡qsinVt ; cosVt: −aV2−2hbV+ωo2a=0 , sinVt: −bV2−2haV+ωo2b=q ; a(ωo2−V2)+b2hV=0 , b(ωo2−V2)−a2hV=q ; −a(ωo2−V2)2/2hV−a2hV=q , b=−a(ωo2−V2)/2hV ; a=−q/[(ωo2−V2)2/2hV+2hV]=−q2hV/[(ωo2−V2)2+4h2V2] , b=[q2hV/(ωo2−V2)2+4h2V2]·[(ωo2−V2)/2hV]=q(ωo2−V2)/[(ωo2−V2)2+4h2V2] ; A=√a2+b2'=√q2·[(ωo2−V2)2+4h2V2]/[(ωo2−V2)2+4h2V2]2'=q/√[(ωo2−V2)2+4h2V2]' , rozwiązanie równania ruchu: xog(t)=e−ht(C1cosωt+C2sinωt)+Asin(Vt+δ) ; x(0)=xo , x'(0)=Vo ; xo=C1+asinδ ; x'=−he−ht(C1cosωt+C2sinωt)+e−ht(−C1cosωt+C2sinωt)+AVcos(Vt+δ) ; xo=C1+asinδ , Vo=−hC1+ωC2+AVcosδ ; C2=(Vo+hxo)/ω−A(Vcosδ+hsinδ)/ω ; x(t)=e−ht(xocost+(Vo+hxo)sinωt/ω+e−ht(−Asinδcosωt−Asinωt·(Vcosδ+hsinδ)/ω+Asin(γt+δ)
x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t) ; x1(t) - drgania swobodne spełniające warunki początkowe, x2(t) - drgania swobodne wywołane przez wymuszenie, x3(t) - drgania wymuszone ustalone.
19) Opisać zjawisko wymuszenia kinematycznego + ch-ka. Układ na rys. → AB|_| (po prawej od sufitu przyczepiony tłumik „c”, po lewej zaczepiona na górze w punkcie A sprężyna k, w jej połowie strzałka do dołu ζ . Do belki poziomej, na jej środku w punkcie C doczepiona masa m, od połowy wys. klocka m jest strzałka do dołu x ) jest liniowy o 1st. swobody. Punkt zamocowania wykonuje ruch okresowy, a tłumienie układu jest wiskotyczne i zależy od prędkości bezwzględnej. Siła sprężysta S=−k(x−ζ), Punkt zamocowania sprężyny porusza się ruchem harmonicznym prostym ζ=Hsin(vt+δ) zatem S=−kx+kHsin(vt+δ) Równanie ruchu mx”+cx'+kx=kHsin(vt+δ) lub x”+2hx'+ω2x=qsin(vt+δ). gdzie 2h=c/m , ω2=k/m , q=kH/m zatem wymuszenie kinematyczne jest szczególnym przypadkiem wymuszenia harmonicznego.
20) zasada dzialania mikrometru sejsmicznego . jego zasada polega na umieszczeniu dodatkowego ukladu drgajacego na obiecie badanym i pomiaryu drgan dodatkowego ciala wzgledem jego obudowy zwiazanej z obiektem badanym. W urzadzeniu tym stosuje sie pomiar amplitudy drgan badz ciagly zapis. Wychylenia sa malymi wielkosciami, wiec sygnal podawany na czujnik musi byc wzmocniony. Pomiar wzmocnienia i rejestracja mog byc dokonane w sposob mechaniaczny, optyczny, elektromagneyczny. Cialo dodatkowe w czujniku poddane jest dzialaniom wymuszenia kinematycznego. Ruch bezwzgledny tego ciala opisuje rownanie mx''+c(x'-s)+k(x-s)=0, y=x-s, gdzie s- przemieszczenie podstawy, y-wzgledne przemieszczenie ciala i podstawy. Ruwnanie ruchu wzglednego my''+ms''+cy'+ky=0, jezeli s jest znana funkcj czasu y''+2hy'+ ω2y=-s''(t) , jezeli cialo porusza sie ruchem harmonicznym s=Hsinvt, ruwnanie ruch ma postac y''+2hy'+ ω2y=Hv2sinvt, . drgania wymuszone maja postac y(t)=BaHsin(vt+ δ)=Bas(t+tau) Ba-wspolczynnik czulosci mikrometru.
21)analiza drgan ukladu kinematycznego o 1 stopniu swobodnym przy wymuszeniu sila okresowa nie harmoniczna. Funkcja okresowa f(t) o okresie T mozemy rozlozyc w szereg Fouriera: f(t)=1/2a0+1∑oo(ancosn2π/Tt+bnsinn2πt/T), gdzie an=2/T·0∫Tf(t)cosn2πt/T·dt, n=0,1,2,... , bn=2/T·0∫Tf(t)sinn2πt/T·dt n=1,2,3.., rozwiniecie funkcji wymuszajacej f(t)=g0/2+∑gnsin (n2πt/T+δn) gdzie gn=\/(an2+bn2) , tg δn=an/bn, obciazenie nieharmoniczne moze miec postac obciaenia zlozonego z wielu funkcji harmonicznych o czestosciach nie wspolmiernych. Okreslic je mozemy za pomoca szeregu f(t)=g0/2 +∑gnsin(Vnt+ δn) n=1,2.. , V=2π/T,
24) rejestracja drgan podczas badan staramy się uzyskac zapis przebiegu drgan w czasie, ich podstawowe parametry (częstość, amplitude, wartość przyspieszen i sil powstających w wyniku drgan) badanie drgan pozwala określić źródła ich powstawania ocenic ich szkodliwość dla danego urzadzenia i przewidzieć sposoby ich zmniejszenia bądź usuniecia. Sa dwie metody badania drgan 1)pomiar drgan obiektu względem nieruchomego punktu odniesienia (zadko stosujemy ze względu na trudosci z utrzymaniem stalego układu położenia), 2)umieszczenie dokładnego elementu drgającego na elemencie badanym i pomiar drgan dodatkowego ciala względem jego obudowy związanej z obiektem badanym.
25) amortyzacja drgan -celem jest ochrona otoczenia przed skutkami drgan maszyny i odwrotnie- ochrona maszyny przed skutkami drgania otoczenia. I przypadek sila przenoszona na podloze row ruchu mx''+cx'+kx=HsinVt, rozw x=Asin(Vt+ γ), A=xst/( \/((1−V2/ ω2)2 +4h2 V2/ ω4) sila dzialajaca na podloze sklada sie z sil przenoszonych przez sprezyny i tlumik. Sila sprezysta; s=kx=kAsin(Vt+ γ). Sila tlumiku R=cx'=cAvcos(Vt+ δ) MAksymalna wartosc sily. Pmax=\/((kA)2+(cVA)2)=kA\/(1+(cv/k)2), zatem Pmax=(kxST*\/(1+4h2V2/ ω4))/ (\/((1-V2/ ω2)2+4h2V2/ ω4)) =kxst* ε, gdie ε to wspolczynnik przemiaszczeni rowny stosunkowi maksymalnej sily przenoszonej na podloze w czasie drgan do sily statycznej. W drugim przypadku zasady amortyzacji sa taki same. Rys. Tlok w cylindrze i od dolu sprezyna i tlumik,
30) zasada dzialania dynamicznego eliminatora drgan; dynamicznym eliminatorem drgan jest cialo o masie m (duzo mniejszej od masy M) zawieszona na sprężynie o sztywności k. eliminator wykonuje takie drgania w kotnych sila pochodzaca od jego sprężyny w każdej chwili jest rowna, przeciwnie skierowana do sily wymuszającej P(t). Żeby drgania były wyeliminowane należy tak dobrac częstość dgran wlasnych eliminatora aby byluy rone częstości drgan wlasnych układy. Rys. sufit>sprezyna>M>sprezyna>m, K/M=ω012 (ukladu), K/m= ω022, (eliminatora), K/M=k/m > K/k=M/m, Eliminator moze by z tlumieniem lub bez. Jezeli jest bez tlumienia to drgania mozemy wyelminowac calkowiecie ale tylko przy jednej czestosci. Jezeli mamy z tlumieniem mozemy zmniejszyc drgnia jednak nie jestesmy w stanie zmniejszyc ich do 0. Jednak zmniejszymy drgania w calym zakresie czestosci