Statystyka matematyczna - zadania

1. Rozkład płac pracowników w firmie A jest normalny z wartością oczekiwaną m = 2 tys. zł. Wybrano losowo 16 pracowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest większa od 1,8 tys. zł jeśli wariancja płacy jest równa σ ² = 1,44.

2. W księgarni uczelnianej przeprowadzono losowe badanie wydatków na książki 48 studentów i otrzymano następujące wyniki ( w zł):

14,0 14,8 15,0 15,6 16,1 16,5 16,6 17,0 17,0 17,3 18,1 18,4

18,7 19,1 19,1 19,5 19,6 19,9 20,0 20,1 20,7 20,8 20,8 21,0

21,0 21,1 21,4 21,6 21,8 21,8 22,0 22,1 22,4 22,4 22,5 23,3

23,6 23,6 23,9 24,1 24,8 25,0 25,3 25,7 26,1 26,9 27,8 28,7.

Narysować histogram wydatków na książki, grupując dane w sześciu klasach jednakowej szerokości. Obliczyć średnią arytmetyczną dla danych nie pogrupowanych i pogrupowanych oraz wariancję empiryczną.

3. Waga (w gramach) wyprodukowanych jednostek towaru przedstawia się następująco:

a) Pogrupować powyższe dane w szereg rozdzielczy o rozpiętości przedziałów równej 10

i wykreślić histogram uzyskanego rozkładu. b) Wyznaczyć parametry rozkładu.

4. Tablica przedstawia procentową zawartość skrobi w każdym z 80 ziemniaków wylosowanych z partii ziemniaków. Obliczyć i zinterpretować parametry tego rozkładu.

% skrobi	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19	19-21	21-23	23-25
Liczba ziemniaków	1	2	7	20	30	16	3	1

5. Przeprowadzono 20 pomiarów wytrzymałości pewnego materiału budowlanego i otrzymano następujące wyniki ( w kG/cm²): 109 107 110 105 106 104 113 108 112 109 109 111 104 106 108 112 109 107 112 110. Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny N(m, 1), zbudować przedział ufności dla m na poziomie ufności

1-α =0,99.

6. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów leczonych na pewną chorobę. Zmierzono u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów czas snu i otrzymano następujące wyniki (w minutach): 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Oszacować metodą przedziałową średni czas trwania snu pacjentów przyjmując, że czas snu ma rozkład N(m, σ), przy czym a) σ jest nieznane, b) σ = 70 min. Przyjąć współczynnik ufności 1 - α = 0.99.

7. W urnie są kule białe i czarne. Losując ze zwracaniem 50 razy po jednej kuli otrzymano 22 razy kulę czarną i 28 razy kulę białą. Wyznaczyć przedział ufności dla rzeczywistej liczby czarnych kul w urnie. Przyjąć poziom ufności 0,95. ( ( 34% , 62% ) )

8. Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0,9 dla wariancji pomiarów wysokości

wewnętrznych pierścieni panewek, jeżeli wiadomo, że rozkład wysokości jest normalny i wyniki 20 pomiarów dały
oraz
.

9. W celu wyznaczenia dokładności przyrządu pomiarowego dokonano 7 niezależnych

pomiarów pewnej stałej wielkości, uzyskując rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179.

Wyznaczyć ocenę wariancji błędów tego przyrządu, jeśli: a) wartość mierzonej wielkości jest

znana i równa 176, b) wartość mierzonej wielkości jest nieznana. Przyjąć poziom istotności

1-α = 0.90.

10. W urnie jest 7 kul, w tym Q białych i pozostałe czarne. W celu zweryfikowania hipotezy H₀: Q = 3 wobec H₁: Q = 5 losuje się bez zwracania 2 kule i odrzuca się H₀, jeśli obydwie są białe. Obliczyć prawdopodobieństwo popełnienia błędów I i II rodzaju.

11. Cecha X ma rozkład wykładniczy o gęstości
dla x ≥ 0. Na podstawie jednoelementowej próby weryfikujemy hipotezę H₀: Q = 1 przeciwko

H₁: Q = 10. Hipotezę H₀ odrzucamy, gdy wartość cechy w próbie jest większa od 2. Obliczyć prawdopodobieństwa popełnienia błędów I i II rodzaju. Podać interpretację graficzną obliczonych prawdopodobieństw.

12. Producent twierdzi, że produkowane przez niego elementy konstrukcyjne odznaczają się wytrzymałością 40 kG/cm². Próba 25 - elementowa dała wynik
. Z poprzednich doświadczeń wiadomo, że dyspersja pomiarów wytrzymałości wynosi 2.

a) Czy badana partia elementów powinna być odrzucona, gdy przyjmujemy α = 0,1 ?

b) Wyznaczyć funkcję mocy użytego testu.

c) Odczytać moc przy alternatywach m = 39 i m = 38.

13. Winda zabrała 10 - ciu pasażerów o łącznej wadze 750 kg. Zakładając, że waga pasażerów ma rozkład normalny o nieznanej średniej i wariancji 10 kg² zweryfikować hipotezę, że średnia jest równa 80 kg przy alternatywie, iż jest mniejsza niż 80 kg. Przyjąć poziom istotności α = 0,01.

14. W fabryce produkującej nakrętki wylosowano 90 nakrętek i zmierzono ich grubość. Otrzymano
i s² = 0,064 mm². Czy na podstawie tych wyników można uznać, że maszyna produkuje nakrętki o rozmiarze nominalnym 12 mm ? Przyjąć α = 0,05.

15. Szczegółowa kontrola weryfikuje produkcję o wadliwości 1%. Sprawdzono 300 detali do wykrycia pierwszego braku. Na poziomie istotności α = 0,01 zweryfikować powyższą hipotezę o wadliwości przeciwko alternatywie, iż wadliwość jest mniejsza niż 1%.

16. Błąd pomiaru odległości za pomocą radaru ma rozkład normalny. Przeprowadzono 10 pomiarów tej samej, znanej odległości i otrzymano następujące wartości błędów ( w km ): 0,115 -0,250 0,180 -0,060 -0,120 0,010 -0,050 0,075 -0,150 -0,250. Przyjmując poziom istotności α = 0,02, zweryfikować hipotezę H₀: σ² ≤ 0,0125.

17. W celu sprawdzenia, czy po dokonaniu usprawnienia w silniku samochodowym zmalało zużycie paliwa, przeprowadzono jazdy próbne i otrzymano następujące wyniki:

przed usprawnieniem: 5,7 6,5 6,1 5,5 5,0 6,1 6,2 5,9 [ l/100km];

po usprawnieniu: 4,9 5,0 4,7 5,0 5,0 4,7 [l/100km].

Załóżmy, że zużycia paliwa są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych o równych wariancjach. Na poziomie istotności α = 0,1 zweryfikować hipotezę o jednakowym średnim zużyciu paliwa przed i po zmianie, przeciwko hipotezie mówiącej o mniejszym zużyciu paliwa po przeróbkach.

18. Badano zawartość nikotyny w dwóch gatunkach papierosów. W próbie liczącej 50 papierosów gatunku A zaobserwowano średnią arytmetyczną zawartości nikotyny
mg przy odchyleniu standardowym s₁ = 1,2 mg. W próbie liczącej 40 papierosów gatunku B zaobserwowano:
mg, s₂= 1,4 mg.

Czy można uważać, na poziomie istotności 0,05, że przeciętna zawartość nikotyny w papierosach gatunku A jest niższa niż w papierosach gatunku B?

19. W sklepie elektronicznym zanotowano następujące kwoty zakupów: 976,9 978,2 978,5 977,6 979,9 980,4 980,2 980,6. a) Na poziomie istotności 0,02 zweryfikować hipotezę, że przeciętna kwota zakupu wynosi 980 zł, przy założeniu, że kwota ta ma rozkład N(m, σ).

b) Czy można uważać, że odch. standardowe kwoty zakupu jest większe od 3 zł?

20. Rozkład liczby niezrealizowanych zamówień w 260 oddziałach pewnej firmy podano w następującej tabeli:

l. niezr. zamówień	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
liczba oddziałów	9	18	36	53	54	41	27	14	5	3

Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby niezrealizowanych zamówień jest rozkładem Poissona.

21. Do egzaminu przystąpiło 150 osób. Otrzymano następujące wyniki ( maksymalnie można było dostać 100 punktów ):

punkty	<50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
Liczba prac	34	33	41	27	9	6

Czy wyniki te są zgodne z rozkładem N( 62; 15 ).

22. Pewien produkt można wytwarzać trzema metodami produkcji. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji nie zależy od metody produkcji. Wylosowano niezależnie próbę 270 sztuk wyrobu. Otrzymane wyniki badania jakości dla poszczególnych metod podano w następującej tabeli:

Jakość	Metoda I	Metoda II	Metoda III
dobra	40	80	60
zła	10	60	20

Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę o niezależności jakości produkcji od metod produkcji.

23. W poniższej tabeli zawarto dane dotyczące poziomu cholesterolu (x) oraz stosunku wzrostu do wagi (y) 10 mężczyzn:

x	254	240	279	284	315	250	298	384	310	337
y	2,71	2,96	2,62	2,19	2,68	2,64	2,37	2,61	2,12	1,94

Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że poziom cholesterolu nie jest skorelowany ze stosunkiem wagi do wzrostu.

24. Analityk kosztów usług szpitalnych chce oszacować liniowy związek między liczbą dni hospitalizacji pacjenta i całkowitym kosztem pobytu pacjenta w szpitalu. Wybrano następującą losową próbę 10 przypadków:

Wstępna ocena długości pobytu (dni)	5	6	2	7	1	4	8	3	2	5
Całkowity koszt pobytu	1138	1212	1027	1315	930	1186	1504	1032	1108	1279

Oblicz i sprawdź istotność współczynnika korelacji przy α = 0,01. Podaj równanie linii regresji.

2

---