7146, Politechnika Wrocławska, W11 - PPT


Metody probabilistyczne i statystyka

  1. Stochastyka - rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka.

  2. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy parę 0x01 graphic
    , gdzie:

    1. jest dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym oraz skończonym albo nieskończonym, ale przeliczalnym,

    2. p jest funkcją ze zbioru w zbiór liczb rzeczywistych 0x01 graphic
      i jest rozkładem prawdopodobieństwa na tym zbiorze .

  3. Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

  4. Funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze wtedy, gdy:

    1. 0x01 graphic
      , gdzie 0x01 graphic
      ,

    2. 0x01 graphic
      .

  5. Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa jest konstruowanie i badanie przestrzeni probabilistycznych.

  6. Klasyczną funkcją probabilistyczną nazywamy taką funkcje p, że:
    0x01 graphic
    , dla każdego 0x01 graphic
    .
    Wtedy 0x01 graphic
    nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną.

  7. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, eksperyment, zjawisko (realne lub pomyślane), o przebiegu i wyniku którego decyduje przypadek, przy czym:

    1. jest co najwyżej przeliczalny,

    2. dla każdego wyniku da się określić prawdopodobieństwo, z jakim to doświadczenie może się z tym wynikiem zakończyć, gdy będzie wykonane w przyszłości (za chwilę, jutro, za miesiąc...).

  8. Parę 0x01 graphic
    nazywamy modelem probabilistycznym zdarzenia losowego. Model probabilistyczny zdarzenia losowego zawsze jest przestrzenią probabilistyczną.

  9. Przyrząd losujący - przedmiot, za pomocą którego wykonujemy doświadczenie losowe.

  10. Jeżeli doświadczenie losowe przebiega etapami to jego wynik przedstawiamy jako ciąg wyników kolejnych etapów.

  11. Rozkład dwumianowy:
    0x01 graphic
    .

  12. Rozkład geometryczny:
    0x01 graphic
    .

  13. Dwumian Newtona:
    0x01 graphic
    .

  14. Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie, w którym są dwa możliwe wyniki, sukces i porażka:
    0x01 graphic

    0x01 graphic

    0 - porażka
    1 - sukces

  15. Powtarzanie n razy (n>1) próby Bernoullego nazywamy schematem Bernoullego o n próbach. Każdy wynik schematu Bernoullego jest k-wyrazowym ciągiem o wyrazach ze zbioru dwuelementowego0x01 graphic
    .
    0x01 graphic
    - zbiór wszystkich wyników schematu Bernoullego o n próbach
    0x01 graphic
    , gdzie k jest liczbą jedynek w ciągu ω, oraz 0x01 graphic
    .

  16. Populacją nazywamy każdy zbiór, którego elementy interesują nas ze względu na pewną cechę.

  17. Bijekcja zbioru:
    0x01 graphic

    Funkcję f nazywamy bijekcją jeśli jest to funkcja różnowartościowa oraz 0x01 graphic
    .

  18. Zdarzenie jest to zbiór pewnych wyników doświadczenia:

    1. zbiór A jest zdarzeniem w danej przestrzeni 0x01 graphic
      , gdy 0x01 graphic
      ,

    2. 0x01 graphic
      - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω,

    3. 0x01 graphic
      - zdarzenie niemożliwe
      0x01 graphic
      - zdarzenie pewne
      Pozostałe to zdarzenia prawdopodobne.

  19. Jeśli 0x01 graphic
    jest przestrzenią probabilistyczną i jeśli 0x01 graphic
    to:
    0x01 graphic

    P - prawdopodobieństwo
    0x01 graphic
    , gdzie 0x01 graphic
    .

  20. Twierdzenie Laplace'a (klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzeń):
    Jeżeli przestrzeń probabilistyczna 0x01 graphic
    jest klasyczna i A jest zdarzeniem tej przestrzeni, to P(A) jest ilorazem mocy zbioru A i mocy zbioru Ω.
    0x01 graphic

  21. W losowaniu zapałkami każdy ma równe szanse, natomiast w losowaniu metodą marynarza szanse nie są równe.

  22. Zmienna losowa - jest to funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia (przebiegającego etapami lub nie) przypisuje liczbę (np. wyrzuconych reszek, sumę liczb oczek, liczbę sukcesów schematu Bernoullego, itp.).
    0x01 graphic
    - przestrzeń probabilistyczna
    0x01 graphic
    - zmienna losowa

  23. Jeśli doświadczenie przebiega etapami, to kolejne etapy są przeprowadzane w kolejnych jednostkach czasu.

  24. Niech X będzie zmienną losową w dowolnej przestrzeni 0x01 graphic
    .
    X - zbiór wszystkich wartości zmiennej X

    Przykład:
    0x01 graphic
    lub 0x01 graphic

    0x01 graphic


    0x01 graphic
    - prawdopodobieństwo z jakim zmienna losowa X przyjmie wartość xj

    Na zbiorze X określimy funkcję pX:
    0x01 graphic

    0x01 graphic


    Funkcja pX jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze X wartości zmiennej losowej X.

  25. Obszar krytyczny (Λα) - zbiór wartości, których wystąpienie przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej (H0), jest na tyle mało prawdopodobne, żeby realizacja zmiennej losowej w tym obszarze pozwalała na odrzucenie hipotezy zerowej.

  26. Niech 0x01 graphic
    będzie przestrzenią probabilistyczną, a A i B są zdarzeniami w tej przestrzeni. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę 0x01 graphic
    i oznaczamy ją 0x01 graphic
    .

  27. Twierdzenie Poissona.
    0x01 graphic
    - Sn jest zmienną losową oznaczającą liczbę sukcesów w schemacie Bernoullego o n próbach.

    0x01 graphic
    ,0x01 graphic


    Dla dostatecznie dużych n, lim nun jest bliskie λ.

    0x01 graphic
    , dla 0x01 graphic

    Przybliżenie Poissona.
    Z twierdzenia Poissona wynika następujące przybliżenie:
    0x01 graphic
    , dla 0x01 graphic
    , gdzie n jest duże, u jest małe oraz 0x01 graphic

  28. Rozkład Poissona.
    0x01 graphic
    , dla 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic

    0x01 graphic


    Ta funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na liczbach całkowitych nieujemnych.

  29. Nadzieja matematyczna (wartość oczekiwana zmiennej losowej, E(X)) - jest to wartość jakiej spodziewamy się jako wyniku doświadczenia losowego.

    1. załóżmy, że X jest zmienną losową w 0x01 graphic
      , zbiór X jest skończony 0x01 graphic
      , wtedy:
      0x01 graphic
      ,

    2. wartość oczekiwana liczby sukcesów w schemacie Bernoullego:
      0x01 graphic

      0x01 graphic
      , dla 0x01 graphic

      0x01 graphic
      .

  30. Twierdzenia o wartości oczekiwanej:

    1. jeżeli X jest zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej 0x01 graphic
      , a zbiór wartości X jest skończony 0x01 graphic
      , wówczas:
      0x01 graphic
      , gdzie 0x01 graphic
      ,

    2. jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi w tej samej przestrzeni i każda ma skończony zbiór wartości to:
      0x01 graphic
      .

1



Wyszukiwarka