WYKRESY

Wykres wykonywany w ramach sprawozdania z ćwiczenia laboratoryjnego jest integralną częścią tego sprawozdania i nie powinien być traktowany jako dodatek do niego, czy też jako ilustracja. Zamieszczony w sprawozdaniu wykres powinien być podporządkowany temu samemu celowi co całe sprawozdanie i całe ćwiczenie: musi służyć realizacji pewnego zadania. Zadanie może być różne: może nim być wyznaczenie pewnej stałej fizycznej lub jakiejś wielkości charakteryzującej badany materiał, może też być wyznaczanie określonej zależności lub sprawdzanie prawa; w każdym z tych przypadków wykres ma być pomocny w realizacji zadania. Szczególnie użyteczne w tym względzie są wykresy liniowe i one będą przedmiotem dalszych rozważań.

Linia prosta jest wykresem funkcji liniowej y (stąd jej nazwa) pewnego argumentu x, którą można zapisać w postaci

y = Ax + B

gdzie A i B są stałymi. Określenie funkcji sprowadza się do określenia tych stałych. Jeżeli znamy pewne pary wartości x i y (są to wyniki pomiarów), to na ich podstawie wykonujemy wykres, który następnie stanowi przedmiot opracowania.

Sposób wykonywania wykresów

Wykresy wykonujemy ręcznie na papierze milimetrowym stosując układ kartezjański (XY). Nie ma konieczności rysowania wykresów ołówkiem, natomiast muszą one być wykonane dokładnie i czytelnie.

Zaczynamy od tworzenia skali. Na osi poziomej (osi X) określamy skalę zmiennej niezależnej (argumentu funkcji), a na osi pionowej (Y) skalę wartości funkcji. Skale powinny być tak dobrane, aby obejmowały pełen zakres zmierzonych wartości. Każda oś musi być opisana przez podanie, jaką wielkość przedstawia i w jaki jest ona jednostkach. Pod osią dolną (X) i z lewej strony osi pionowej (Y) określamy wartości znaczników osi (uwaga: nie określamy na osiach współrzędnych punktów pomiarowych, a jedynie definiujemy znaczniki).

Mając tak przygotowaną powierzchnię w odpowiednich miejscach wyraźnie zaznaczamy punkty pomiarowe i kilka z nich otaczamy prostokątami niepewności. Następnie - o ile to możliwe - rysujemy linię prostą w taki sposób, aby przechodziła ona przez prostokąty niepewności wszystkich punktów pomiarowych i zarazem tak, aby wszystkie punkty były od tej prostej możliwie jak najmniej oddalone.

Tak wykonany wykres może stanowić wystarczającą podstawę do wyciągania wniosków odnoszących się do sprawdzania praw bądź zależności. W szeregu innych przypadków stanowi on punkt wyjścia do dalszych działań.

Określanie zależności

Wyznaczenie funkcji wymaga określenia współczynników A i B prostej. Współczynnik B możemy odczytać bezpośrednio z wykresu określając wartość funkcji y dla argumentu x = 0. Bardzo często współczynnik B przyjmuje wartość 0.

Na ogół bardziej interesujący jest współczynnik A, gdyż zawiera on w sobie poszukiwaną wielkość. Parametr ten, zwany współczynnikiem kierunkowym prostej, określamy w następujący sposób. Bierzemy dwa dowolne punkty P₁ i P₂ leżące na prostej (najlepiej aby jeden był z początku, a drugi z końca badanego przedziału) i określamy współrzędne (x₁, y₁) oraz (x₂, y₂) tych punktów (patrz rysunek)Ponieważ dla każdej pary współrzędnych jest spełnione równanie prostej, czyli:

y₁ = Ax₁ + B
y₂ = Ax₂ + B

stąd mamy

Uwagi:

1) P₁ i P₂ są dowolnymi punktami leżącymi na wykreślonej linii. W żadnym wypadku nie mogą to być punkty pomiarowe znajdujące się obok wykreślonej prostej.

2) Współczynnik kierunkowy A bywa też nazywany nachyleniem prostej. Współczynnik ten nie jest tangensem kąta i nie powinien być tak nazywany. Tangens jest funkcją, której wartościami są bezwymiarowe liczby rzeczywiste. Współczynnik kierunkowy z reguły ma określony wymiar (jednostkę) i ma też określony sens fizyczny.

Przykład 1. Wyznaczanie oporu elektrycznego.

Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu elektrycznego I płynącego przez element o oporze R jest proporcjonalne do różnicy potencjałów U, co można zapisać w następującej postaci:

.

Natężenie prądu jest więc liniową funkcją napięcia, a współczynnik proporcjonalności będący zarazem współczynnikiem kierunkowym jest odwrotnością szukanego oporu. W celu jego wyznaczenia wykonano pomiary napięcia i natężenia prądu, które dały następujące wyniki.

U [V]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I [mA]	0	1	1,5	2	3	3,5	4,5	5	6	6,5	7,5

Dokładności pomiarów napięcia i natężenia wynoszą kolejno: ΔU = 0,1 V i ΔI = 0,5 mA.

Wyniki te umożliwiają sporządzenie wykresu liniowego.

Wnioskujemy z wykresu, że badany element spełnia prawo Ohma, czyli że jego opór jest stały w granicach niepewności pomiarowych. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy A prostej:

Odwrotnością tego współczynnika jest opór, który wynosi 1,32 kΩ.

Linearyzacja funkcji

Pomimo że zależności występujące w fizyce na ogół nie mają postaci funkcji liniowych, można do ich analizy wykorzystać wykresy prostych. W tym celu przekształca się funkcje do takiej postaci, aby można ją zapisać w formie zależności:

y = Ax + B.

Proces ten nazywamy linearyzacją.

Przykład 2. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego.

Zależność okresu T ruchu wahadła matematycznego od jego długości L jest następująca:

;

g oznacza tu przyspieszenie ziemskie. Powyższą zależność można zapisać w następującej formie:

. Wyraźnie widać, że nie okres jest tu liniowo zależny od długości, ale kwadrat okresu. Możemy zatem oczekiwać, że wykonując wykres kwadratu okresu ruchu wahadła od jego długości otrzymamy linię prostą, której współczynnik kierunkowy pozwoli na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego.

Odczytany z wykresu współczynnik A ma wartość 4 s²/m. Stąd mamy g = 9,86 m/s².

Przykład 3. Wyznaczanie zależności lepkości cieczy od temperatury.

W przypadku wielu cieczy charakteryzujące je dynamiczny współczynnik lepkości η jest następującą funkcją temperatury T:

gdzie k jest stałą Boltzmanna, natomiast K i E są parametrami charakteryzującymi daną ciecz. Wyznaczenie temperaturowej zależności polega właśnie na określeniu tych dwu parametrów, z których szczególnie istotna jest molekularna energia aktywacji E. W przypadku badania danej cieczy istotna sprawą jest weryfikacja powyższej zależności, czyli sprawdzenie, czy rzeczywiście funkcja wykładnicza opisuje badane zjawisko. Wykonanie wykresu opartego bezpośrednio na wynikach pomiarów nie mówi nic więcej ponad to, co daje lektura tych wyników zamieszczonych w tabeli. Jest to tylko rysunek, z którego nie sposób odgadnąć postaci funkcji wyjściowej, nie mówiąc już o jej parametrach.

T [K]	η [Pas]
273	9,1
275	8,66
276	8,61
278	7,4
280	6,62
282	5,87
283	5,84
285	5,44
288	4,88
289,2	4,7
291	4,4
293	4,09
298	3,44
303	2,96
308	2,39
313	1,98

Logarytmując założoną funkcję otrzymujemy następującą zależność:

. Taka forma zapisu zależności uwidacznia jej liniowy charakter: logarytm naturalny współczynnika lepkości jest proporcjonalny do odwrotności temperatury. y = lnη B = lnK.

Z wykresu odczytujemy współczynnik A:

= 3200 K,

a następnie obliczamy energię aktywacji:

E = kA = 1,38·10^-23 J/K · 3200 K = 4,4·10^-20 J.

Należy w tym miejscu zwrócić uwagę, że logarytm z jakiejkolwiek wielkości fizycznej nie ma żadnego sensu. Argumentem logarytmu, podobnie jak funkcji wykładniczej czy którejkolwiek z funkcji trygonometrycznych, może być tylko liczba bezwymiarowa. Tutaj wszakże nie chodzi o wyznaczenie logarytmu ze współczynnika lepkości; obliczenia te są potrzebne jedynie po to, aby wykonać wykres, a ten dopiero służy realizacji zasadniczego celu. W tym wypadku wykres spełnia dwa zasadnicze zadania: pierwszym jest wykazanie, że funkcja wykładnicza poprawnie opisuje zależność lepkości od temperatury, a zadaniem drugim jest parametryzacja tej funkcji. Energię aktywacji E wyznaczamy wykorzystując współczynnik kierunkowy, który obliczamy biorąc dwa dowolne punkty leżące na wykreślonej prostej. Współrzędne (x, y) tych punktów są następujące: (1/T₁, lnη₁) i (1/T₂, lnη₂), a współczynnik A dany jest zależnością:

Wyznaczając współczynnik A korzystamy faktycznie z zależności, w której występuje logarytm z ilorazu dwu tych samych wielkości będącego liczbą bezwymiarową.

Znając energię aktywacji można wyznaczyć stałą K już bez konieczności uciekania się do logarytmu:

Podstawiając wartości współczynnika lepkości i temperatury opisującego dowolny punkt leżący na prostej: np wiedząc, że w temperaturze 288 K η = 4,88 Pa·s, otrzymujemy K = 7,6·10^-5 Pa·s.

Przykład 4. Wyznaczanie ogniskowej soczewki

Ogniskową f soczewki można wyznaczyć z pomiarów odległości obrazu od soczewki b dokonanych przy różnych odległościach a pomiędzy przedmiotem a soczewką. Odległości te są ze sobą związane w następujący sposób:

. Zależność tą można zapisać następująco: Jest to także zależność liniowa - odwrotność odległości soczewki od obrazu jest proporcjonalna do odwrotności jej odległości od przedmiotu: W tym przypadku interesujący jest nie współczynnik A będący liczbą, a współczynnik B.

Odpowiada on sytuacji, kiedy przedmiot jest nieskończenie oddalony od soczewki i biegnące od niego równolegle do osi promienie skupiają się w ognisku. Współczynnik B jest odwrotnością ogniskowej, a jego wartość (5 m^-1) jest widoczna na wykresie jako punkt przecięcia prostej z osią y. Stąd mamy wynik: f = 20 cm.

---