Ćwiczenie nr 11

BADANIE ZALEŻNOŚCI OKRESU DRGAŃ SPRĘŻYNY OD OBCIĄŻENIA

1. Cel ćwiczenia

Wyznaczenie okresu drgań swobodnych sprężyny od obciążenia. Wyznaczanie stałej sprężystości metodą dynamiczną.

2. Wprowadzenie

W ruchu harmonicznym prostym siła działająca na drgające ciało F jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi x i zwrócona w stronę położenia równowagi:

(11.1)

gdzie:

k - stała proporcjonalności

m- masa ciała.

Warunek ten spełnia sprężyna obciążoną masą m i dodatkowo wychylona od położenia równowagi. Korzystając z II zasady dynamiki można powyższe równanie przekształcić następująco:

	(11.2)
		(11.3)
		(11.4)

Rozwiązaniem równania różniczkowego:

(11.5)

jest funkcja periodyczna typu sinus lub cosinus:

(11.6)

gdzie:

x(t) - wychylenie z położenia równowagi po czasie t,

A - amplituda czyli maksymalne wychylenie,

ω_o - częstość kątowa drgań,

T - okres drgań,

φ_o - faza początkowa drgań.

Prędkość v i przyśpieszenie a w tym ruchu zmienia się również w sposób periodyczny:

	(11.7)
		(11.8)

gdzie:

k - dla sprężyny k oznacza stałą sprężystości

x - wychylenie z położenia równowagi (statyczne).

Okres takich drgań wyrażamy wzorem:

(11.9)

W dokładniejszych obliczeniach , zwłaszcza gdy masa sprężyny m_s jest porównywalna z masą obciążnika, uwzględniamy tak zwaną efektywną masę sprężyny m_ef =1/3m_s ,która również uczestniczy w drganiach harmonicznych. Wówczas okres takich drgań wyrażamy wzorem :

(11.10)

Ciała wykonujące drgania harmoniczne nazywamy oscylatorem harmonicznym.

3. Opis stanowiska laboratoryjnego

Stanowisko laboratoryjne zawiera: zestaw sprężyn, statyw z uchwytami do zawieszenia sprężyn, wskaźnik zawieszony na sprężynie do pomiaru wydłużenia, zestaw obciążników, haczyk do zawieszania ciężarów, linijkę ze statywem do pomiarów wydłużenia, elektroniczna waga laboratoryjna lub kuchenna z uchybem Δm= 1g lub lepszym, stoper

Rys. 11.1 Układ pomiarowy

4. Program ćwiczenia:

1. Zważyć sprężynę i zapisać jej masę m_s i jej niepewność pomiarową Δm_s .

2. Zawiesić sprężynę na stojaku i obciążyć sprężynę odważnikiem o masie m₁. Zapisać m₁ i jej niepewność pomiarową Δm₁.

3. Wprowadzić sprężynę w drgania o niewielkiej amplitudzie i zmierzyć czas 20 okresów (pełnych wahnięć) T₂₀ i określić czas jednego okresu T. Wprawić w sprężynę z ciężarkiem w ruch drgający tak, aby nie występował dodatkowo ruch wahadłowy. Określić niepewność pomiarową ΔT₂₀ i jednego okresu ΔT.

4. Powyższą czynność powtórzyć dla przynajmniej 8-u mas dodając do masy m₁ kolejne obciążniki ( zakres mas skonsultować z prowadzącym zajęcia). Wyniki zapisać w tabeli 11.1.

5. Wyznaczyć niepewności pomiarowe Δm_i.

Sprawdzić czy niepewność pomiarowa Δm_i zależy od sposobu pomiaru mas . (Masa bieżąca podawana jako suma mas pojedynczych obciążników lub masa zważonych razem obciążników).

Tabela 11.1

Δm_i= ΔT₂₀= ΔT= ΔT₂₀/20=

l.p.	mi [kg]	Σ mi [kg]	Σ mi [kg]	T20[s]	T[s]

5. Sprawozdanie

1. Korzystając z programu „regresja liniowa „ lub z arkusza kalkulacyjnego Excel sprawdzić liniowość wykresu T² = f(m) oraz zapisać wyliczone przez program współczynniki regresji a, b, Sa, Sb, r.

2. Na papierze milimetrowym wykonać wykres T² = f(m), nanieść punkty pomiarowe, zaznaczyć na wykresie prostokąty niepewności pomiarowych ΔT² i Δm_i i poprzez maksymalną ilość prostokątów poprowadzić prostą . Z wykresu wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej i podać jego sens fizyczny. Wyznaczyć także wyraz wolny równania prostej.

Uwaga: dla każdego obciążenia m_i niepewności ΔT² obliczyć ze wzoru :

ΔT^2=2TΔT

(11.11)

3. Korzystając z poniższych wzorów i danych uzyskanych w punkcie 1. lub 2. obliczyć współczynnik sprężystości k i masę sprężyny. Porównać wyliczone wielkości ze zmierzoną masą sprężyny m_s i współczynnikiem k wyliczonym metodą statyczną:

	(11.12)
		(11.13)
		(11.14)

4. Porównać wyznaczone doświadczalnie okresy drgań obciążonej sprężyny z teoretycznym wzorem uwzględniającym efektywną masę sprężyny. Obliczyć dla wszystkich obciążeń względną różnicę ze wzoru:

(11.15)

5. Obliczyć względną niepewność pomiaru okresu T metodą różniczki zupełnej ze wzoru:

(11.16)

Powyższą niepewność wyrazić również w procentach. Wartość niepewności bezwzględnej ΔT otrzymujemy mnożąc wyliczoną niepewność względną pomiaru ΔT/T przez otrzymaną doświadczalnie wartość T.

6. Powyższe czynności powtórzyć dla drugiej sprężyny o innych właściwościach.

7. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych wyników.

6) Pytania kontrolne

1. Drgania harmoniczne proste i tłumione.

2. Wykresy wychylenia, prędkości i przyspieszenia w ruchu harmonicznym.

3. Ciężar i masa.

4. Energia w ruchu harmonicznym.

5. Podaj przykłady układów spełniających warunek ruchu harmonicznego.

74




---