TEORIA LICZB

Etapy rozwoju wg J. Piageta:

- okres rozwoju inteligencji sensoryczno- motoryczny do 18 miesiąca (2 lata)

- okres myślenia przedoperacyjnego (wyobrażeń przedoperacyjnych) do 7 roku życia

- operacyjnego na konkretach do 12 r. ż.

- operacji formalnych

Operacja - czynność umysłowa wewnętrzna umożliwiająca łączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość

Czynność wewnętrzna - wykonywana jest w umyśle (w przeciwieństwie do zewnętrznej, która jest działaniem praktycznym na konkretach, a znaczenie nadaje jej spostrzeganie)

Odwracalność - cecha operacji polegająca na łączeniu w umyśle czynności odwrotnych w jedną całość. Powiązanie w umyśle na przykład czynności zsuwania kształtów i ich rozsuwania, jako jednej operacji, przejawiające się w umiejętności myślowego (w wyobraźni) przekształcenia w jedną i w drugą stronę.

Etapy rozwoju umiejętności klasyfikacji:

• Łączenie w pary (jabłko z koszyczkiem, wazonik z kwiatkiem). Dziecko w wieku przedoperacyjnym jest w stanie pogrupować przedmioty, łącząc je najczęściej w pary „jabłko z koszyczkiem, bo często zbiera się jabłka do koszyka”. Brak jest klasyfikacji myśli przewodniej, obejmującej swoim zasięgiem klasę przedmiotów.

• Tworzenie ciągu logicznego ze zmieniającym się kryterium doboru. Na wyższym poziomie dziecko potrafi dobrać przedmioty grupując je wg tworzonego przez siebie ciągu logicznego, przy czym charakterystyczne jest, iż zmienia się kryterium doboru.

• Tworzenie kolekcji np. lalka i jej ubranka. W toku dalszego rozwoju dziecko stara się objąć jak najszerszą grupę przedmiotów za pomocą jednego kryterium. Dzieci na poziomie przedoperacyjnym mają jeszcze trudności w rozumieniu, że np. te same żetony, guziki, itp. można raz rozdzielić wg kształtu a następnie rozdzielić wg barw czy też wielkości.

• Tworzenie zbioru wg jednego kryterium. Natomiast na poziomie operacji konkretnych dzieci widzą od razu kilka możliwości grupowania i niejednokrotnie pytają „jakie składać razem?”. Gdy decydują się na jedno z możliwych kryteriów, nie przerzucają się w toku klasyfikacji na inne.

Wskaźniki charakteryzujące zdolność do operacyjnego rozumowania:

• Operacyjne rozumowanie w obrębie ustalania stałości wielkości (ilości) nieciągłych. Chodzi tu o umiejętność dostrzeżenia przez dziecko, iż ilość elementów danego zbioru nie zmieniła się, choć został on przesunięty w przestrzeni (dziecko uważa, że ilość kształtów w koszyku jest taka sama, chociaż przełożyliśmy je do mniejszego koszyka i wypełniają go obecnie bardziej niż poprzedni koszyk. Ułożenie przedmiotów w 2 szeregi i jeśli przedmioty z 1 z nich rozsuniemy to dziecko powie, że więcej jest w tym rozsuniętym, bo zajmuje więcej miejsca). Zdarza się, że dziecko w klasie 4 powie, że ¼ jabłka to mniej niż ¼ tortu.

• Operacyjne porządkowanie elementów w zbiorze przy wyznaczeniu konsekwentnych serii. Jest to ten rodzaj kompetencji pozwalającej na klasyfikowanie przedmiotów na zbiory tak, aby każdy zbiór był utworzony z elementów charakteryzujących się wspólną cechą. Umiejętność uszeregowania patyczków wg długości.

• Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania stałości masy. Chodzi o zrozumienie, iż tworzywo ma stałą masę nawet wtedy, gdy ulega przekształceniu. Ta umiejętność jest podstawą do radzenia sobie z pojęciem miar i czynnością mierzenia

• Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania długości przy obserwowanych doświadczeniach. Umożliwienie zrozumienia pojęć geometrycznych i opanowanie umiejętności mierzenia długości.

• Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalenia stałej objętości cieczy, przy transformacjach zmieniających jej wygląd. Zrozumienie pomiaru objętości.

Wskaźniki niezbędne do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych:

1. Dziecięce liczenie:

• Sprawne liczenie i rozróżnianie błędnego liczenia od poprawnego;

• Umiejętność wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania w zakresie 10 „w pamięci” lub na palcach.

2. Operacyjne rozumowanie na poziomie na poziomie konkretnym w zakresie:

• Uznawanie stałości ilości nieciągłych (zdolność do wnioskowania o równości mimo obserwowanych zmian w układzie elementów porównywanych zbiorów);

• Wyznaczania konsekwentnych serii (zdolność do ujmowania każdego z porządkowanych elementów jako mniejszego od nieuporządkowanych i jednocześnie jako największego w zbiorze już uporządkowanym).

3. Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwania się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie:

• Pojęć liczbowych (aspekt językowo- symboliczny);

• Działań arytmetycznych (formuła arytmetyczna i jej przekształcenia);

• Schematu graficznego (grafy strzałkowe, drzewka, tabele i inne uproszczone rysunki).

4. Dojrzałość emocjonalna wyrażająca się w:

• Pozytywnym nastawieniu do samodzielnego rozwiązywania zadań;

• Odporności emocjonalnej na sytuacje trudne intelektualnie (zdolność do kierowania swym zachowaniem w sposób racjonalny mimo przeżywanych napięć).

5. Zdolność do syntezowania oraz integrowania funkcji percepcyjno-motorycznych, która wyraża się w sprawnym odwzorowywaniu złożonych kształtów, rysowaniu i konstruowaniu.

LICZBA - ilość określona w umyśle

CYFRA - służy do zapisywania liczb

DZIAŁANIA NA LICZBACH

Reprezentacje poznawcze

Reprezentacja jest to zbiór reguł, w kategoriach, których jednostka tworzy sobie pojęcia stałości zdarzeń, z jakimi się zetknęła.

Reprezentacje zdarzeń (szeroko rozumianych) możemy budować w umyśle dzięki:

• Działaniom, których owe zdarzenia wymagają - reprezentacja enaktywna;

• Wyobrażenia zdarzeń - reprezentacja ikoniczna;

• Słów lub innych symboli - reprezentacja symboliczna.

Reprezentacje tworzą się w umyśle na podstawie doświadczeń en aktywnych, ikonicznych i symbolicznych. Problem polega na tym, że pamięć wykorzystywana, jako wiedza nie przechowuje samych doświadczeń, ale to, co z nich wynika, czyli dostrzeżenie prawidłowości. Inaczej mówiąc, jeśli nie widzimy reguły, jak coś działa - nie zapamiętamy tego, jako wiedzy użytecznej. Zdaniem J. Brunera istotne jest również, aby prawidłowości były dostrzegane dzięki samodzielnym procesom odkrywania.

Reprezentacje działań dodawania i odejmowania tworzą się łatwiej, ponieważ:

• Dzieci mają najwięcej doświadczeń en aktywnych tego typu

• Język potoczny pozwala na konstruowanie reprezentacji tych działań

Zero, jako liczba naturalna jest trudniejsza do opanowania, ponieważ:

• Jest używana stosunkowo od niedawna

• Początkowe reprezentacje dziecięce nie wspomagają powstawania postaci symbolicznej

• Zbyt mało ćwiczeń zwraca uwagę na jej znaczenie

Rozumienie mnożenia w sensie „skróconego” dodawania nie jest możliwe do przyswojenia w postaci reprezentacji ikonicznej (można jedynie przedstawić dodawanie). Warto, więc aby dzieci poznawały pojęcie mnożenia również, jako powierzchni prostokąta. Nie chodzi tu o wprowadzenie symbolicznego wzoru, ale o badanie zależności kratek np. na goplanie i sposób ich szybkiego obliczania.

Dzielenie przez mieszczenie

Mam 12 pączków. Dam kolegom po 3 pączki. Dla ilu kolegów starczy.

12:3=4

Dzielenie przez podział

Mam 12 pączków. Rozłożę je na 3 talerze. Po ile pączków będzie na każdym talerzu?

12:3=4

Reprezentacje budowane są przez doświadczenia. Oba rodzaje dzielenia mają na celu ułatwić dzieciom zrozumienie, że dzielenie jest wówczas, gdy mówimy: „podziel na” oraz wówczas gdy mówimy „podziel po”. Reprezentacja symboliczna nie dokonuje już takiego rozróżnienia, ponieważ wynik dzielenia nie zależy od sposobu wyobrażenia sobie. Ważne, żeby oba sposoby funkcjonowały w reprezentacji ikonicznej.

Ogólnie mówiąc: jeśli mamy a:b=c

Jeżeli a≠0, to iloraz a:0 nie istnieje, ponieważ żadna liczba c nie spełnia warunku c*0= a≠0

Jeżeli a=0 to iloraz a:0, czyli 0:0 nie istnieje, gdyż każda liczba c spełnia warunek c*0=0 (brak jednoznaczności takiego działania)

Zad. Jacek ma 12 kolorowych kulek. Oddał młodszemu bratu 3 kulki, ale od taty dostał jeszcze 4. Ile ma tera kulek.

Pisemne dodawanie i odejmowanie jest bezpośrednim wynikiem rozumienia systemu dziesiętnego. Na zajęciach z dydaktyki i z edukacji matematycznej grupowano fasolki w torebki, żeby po doświadczeniach z omawianiem sytuacji, zadawaniem pytań i tworzeniu zagadek przejść do zapisu symbolicznego.

□	•

Zad. Proszę znaleźć sposoby obliczenia następujących przykładów:

54+38= 40+30+5+8=45+40-2=83

61-46= 50-40+11-6=10+5=15

61-40-6=21-6=15

61-50+4=15

60-45=15

Po wielu takich ćwiczeń większość dzieci ma świadomość najłatwiej jest pomnożyć, gdy „rozerwiemy” liczbę na dziesiątki i jedności.

Teraz już dużo łatwiej jest pomnożyć najpierw 4 razy 10 a potem 4 razy 3 i dodać wszystko.
13*4=10*4+3*4=40+12=52

Można zaproponować uczniom inny zapis, który jest krótszy.

13

4

-----

40

12

-----

52

Postrzegając zapis liczby 2-cyfrowej jako cyfra dziesiątek i cyfra jedności.

Dzielenie pisemne:

Najpierw przykłady typu 468:2 Później 536:4

METODY ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH:

Zadania:

• Proste - model matematyczny zawiera tylko 1 działanie arytmetyczne wiążące niewiadomą z 2 innymi liczbami.

• Typowe zad. Sadzonki truskawek posadzono w 7 rzędach po 8 sadzonek w każdym rzędzie. Ile sadzonek posadzono?

• Nietypowe zad. W rodzinie Kowalskich jest 4 synów. Każdy z nich ma siostrę. Ile dzieci jest w tej rodzinie?

• Złożone (wg S. Turnaua złożone łańcuchowo) - model matematyczny odpowiada kilku kolejnym działaniom arytmetycznym, które z kolei stanowią modele matematyczne, powstałe z otrzymania ciągu zadań prostych po rozłożeniu zadania wyjściowego.

• Typowe zad. Do sklepu przywieziono 56 skrzynek coca-coli. W każdej jest 6 butelek o jednakowej pojemności. Po pewnym czasie sprzedano 43 skrzynki. Ile butelek zostało w sklepie?

56-43=13 13*6=78

• Nietypowe zad. Suma 2 liczb wynosi 146 a ich różnica 46. Jakie to liczby?

46 (146-46):2=50

146-50 =96

100

Zasady:

• Zasada kontrastowania - uczniowie nie mogą rozwiązywać kolejno po sobie zadań o tych samych modelach matematycznych (tych samych sposobach rozwiązywania).

• Zasada różnicowania modeli matematycznych - uczniowie muszą poszukiwać modeli matematycznych, które będą odpowiadały zróżnicowanym typom zadań.

• Zasada regularnego wprowadzania zadań nietypowych - przeciwdziałanie konstruowaniu przez uczniów przekonania, że każde zadanie jest analogiczne do jednego z wcześniej przerobionych i zawsze można dobrać (przypomnieć sobie) „na co to jest zadanie”

Symulacja - obrazowanie sytuacji opisanej w zadaniu za pomocą przedmiotów pomocniczych. Ma ona na celu konstruowanie przez uczniów reprezentacji ikonicznych.

Matematyzacja - opis symulacji z zadania za pomocą symboli (pojęć) matematycznych. Ma ona na celu konstruowanie przez uczniów reprezentacji symbolicznych.

Metody rozwiązywania zadań tekstowych:

• Metoda analityczna

Zadanie z coca colą

- zaczynamy analizę od głównej niewiadomej.

Co wystarczy wiedzieć żeby znaleźć tę liczbę?

Wystarczy wiedzieć ile butelek sprzedano - 43*6=258. Żeby wiedzieć ile butelek zostało należy obliczyć, ile butelek kupiono - 56*6=336. Żeby obliczyć niewiadomą należy wykonać działanie - 336-258=78

• Metoda syntetyczna (dedukcyjna)

Zaczynamy od wyciągnięcia wniosków z tego co wiemy.

Wiemy, że przywieziono 56 skrzynek, a w każdej jest 6 butelek. 43 - liczba sprzedanych skrzynek.

Czego można się dowiedzieć na podstawie tych danych?

- ile butelek kupiono 56*6

- ile butelek sprzedano 43*6

- ile zostało skrzynek 56-43

Najłatwiej wykorzystać ostatnią informację - w sklepie zostało 13 skrzynek. Żeby dowiedzieć się, ile to butelek należy pomnożyć 13*6=78

• Metoda analityczno - syntetyczna

• Metoda kruszenia - polega na modyfikowaniu zadania bazowego przez dokładanie danych, zmniejszanie ich liczby, zmianę danych, przekształcanie zadania, wprowadzanie nowych związków między danymi, zmianę miejsca danych. Metoda kruszenia może być realizowana w 5 wersjach, przy czym nie wszystkie są najczęściej do zastosowania w klasach najmłodszych.

Zad. Janek zbudował z klocków 8 wież. Do zbudowania każdej z nich użył po 7 klocków. Hania postanowiła zbudować podobne, ale udało jej się zbudować tylko 5.

Generowanie pytań - układanie pytań do tekstu razem z dziećmi. Decyzja wspólnie z dziećmi czy da się odpowiedzieć na wszystkie pytania.

I wersja:

1. Uczniowie otrzymują do zapoznania się tekst, który nazywa się często zadaniem bazowym, treść powinna być interesująca i bliska dziecku.

2. Układanie pytań do tekstu

3. Następne należy uzgodnić z dziećmi, na które pytania można znaleźć odpowiedź w tekście. Do tych pytań uczniowie tworzą i zapisują działania.

4. W kolejnym etapie uczniowie wybierają jedno z pytań, i układają do niego zadanie o tej samej lubb podobnej tematyce.

5. Następnie uczniowie samodzielnie lub w grupach rozwiązują swoje zadnia

II wersja:

1. Zaczyna się również od prezentacji zadania bazowego j/w

2. Uczniowie układają do zadania jak najwięcej możliwych działań:

7*5= 7*8= 7*8+5*8=

3. Weryfikowanie działań i zostawiane jedynie tych, które mają sens związany z tym zadaniem. Układanie pytań, na które odpowiedzią byłyby działania na tablicy

4. Ułożenie zadań i pytań do samodzielnie wybranego działania

5. Samodzielne rozwiązanie ułożonego zadania

III wersja: polega na wymyślaniu zadań szczegółowych na podstawie zadania bazowego, a następnie na przestawieniu ukazanych w niech zależności za pomocą jakiegoś modelu.

IV wersja: zabawa „co by było gdyby?” z zadaniem bazowym (zmiany danych)

V wersja: polega na dokładaniu danych. Dzieci po zapoznaniu się z zadaniem bazowym mogą dodać inne informacje do zadania:

1. W przedszkolu było 150 klocków

2. Wandzia budowała swoje wieże tylko z 5 klocków

Uczniowie stawiają teraz pytania do nowej sytuacji. W sytuacji „b)” można postawić np. pytanie: O ile mniej klocków potrzebowała Hania?

• Metody naturalne

Jaś karmił w sklepie zoologicznym psy i koty. Każdy pies dostał 6 kawałków mięsa, a każdy kot 4 kawałki. Ile było psów, a ile kotów, jeśli łącznie było ich 21, a Jaś dał im 108 kawałków mięsa?

21*4=84 108-84=24

24:2=12 - liczba psów

21-12=9 - liczba kotów

• Metoda prób i poprawek

Pierwszą naturalną strategią dziecka jest „odgadnąć”, zatem spróbujmy odgadnąć.

Może było 10 psów, czyli 11 kotów. 60+44 = 104, itd.

• Tabele

Liczba psów	Mięso dla psów	Liczba kotów	Mięso dla kotów	Kawałki mięsa razem
21	126	0	0	126
20	120	1	4	124
19	114	2	8	122

126-108=18 - liczba brakujących kawałków

18:2=9 - bo liczba zmienia się o 2

9 - liczba potrzebnych zmian a więc liczna kotów

Zad. Za 6 filiżanek i 6 talerzyków zapłacono 42 zł. Następnego dnia mama dokupiła jeszcze 2 filiżanki i 6 talerzyków z tego samego zestawu. Tym razem zapłaciła 26 zł ile kosztowała filiżanka ile talerzyk.

6-2=4 42-26= 16 16:4=4 zł - filiżanka

4*6=24 42-24=18 18:6=3 zł - talerzyk

Zad. W czasie konkursu uczestnik odpowiada na 10 pytań za dobrą odpowiedź uzyskuje 5 punktów, a za każdą złą traci 4 punkty. Na ile pytań uczestnik konkursu odpowiedział dobrze, a na ile źle, jeśli łącznie zdobył 23 punkty.

50 - liczba możliwych punktów

50-23=27 - stracił

27:9=3 - liczba pytań na które źle odpowiedział (za każdą złą odpowiedź tracił 9 punktów nie dostawał 5 i odejmowano mu jeszcze dodatkowo 4)

Pytania dobrze		Pytania źle		Punkty razem
10	50	0	0	50
9	45	1	4	41
8	40	2	8	32

Różnica wynosi 9 - tyle tracił przy złej odpowiedzi.




Inna klasyfikacja metod rozwiązywania zadania tekstowego:

• Metoda naturalna - wykorzystanie realnych przedmiotów w celu przedstawienia sytuacji z zadania.

• Metoda symulacji - wykorzystanie innych przedmiotów, którymi dzieci zastępują rzeczywiste.

• Metoda rysunku - powyższe 2 metody pozwalają na konstruowanie przez uczniów reprezentacji ikonicznych, które z kolei umożliwiają wykonanie rysunku.

• Metoda matematyzacji - znalezienie rozwiązania symbolicznego (M. Dąbrowski).

Zad. Wanna napełnia się zimną wodą w czasie 20 min, zaś gorącą płynącą z drugiego kranu w ciągu 30 min. Ile czasu potrzeba na napełnienie tej wanny gdy woda leci z 2 kranów?

1 min - 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60

5/60*12min=1

Woda naleci w ciągu 12 min.

1

---