Wykres funkcji kwadratowej

 

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji
dla kilku kolejnych argumentów.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y = x^2	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji  

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y = − x^2	-16	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9	-16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji  y = x² , symetrycznie względem osi OX.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

 

Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:

• gdzie:  
  ,  natomiast  
  ,

• wartości  p i q  nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli  
  ,  czyli  Xw = p,  Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje  f(x) = 2x² − 4x + 7  i  f(x) = 2(x − 1)² + 5  są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.

Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykes y = ax²  przesunąć o wektor
.

Dowód (informacje dodatkowe)

Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:

ax² + bx + c = a(x − p)² + q

ax² + bx + c = a(x² − 2xp + p²) + q

ax² + bx + c = ax² − 2apx + ap² + q

Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x² nie występuje), B = − 2ap (czyli wyraz przy x), C = ap² + q (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:

Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:

• znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q

• obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)

• największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.

---