Wyznaczanie modułu Younga
1.Teoria.
Jeśli na jakieś nieruchome ciało wywierana jest pewna siła, to znaczy jeśli doznaje ono pewnego ciśnienia p, to w ciele tym występują odkształcenia, czyli deformacje. Odkształcająca ciało siła zewnętrzna powoduje zmianę odległości międzycząsteczkowych. Tej zmianie przeciwstawiają się siły międzycząsteczkowe ciała, dzięki którym powstaje tzw. opór sprężysty albo siła sprężystości; siła ta jest skierowana przeciwnie względem siły odkształcającej, a co do wartości jest jej równa. Siła oporu sprężystego jest tym większa, im większe jest odkształcenie; rośnie ona liniowo wraz z odkształceniem. Ilościowo ujmuje tę zależność prawo Hooke'a, które wyraża się równaniem:
p = ka
a - oznacza odkształcenie względne,
p - ciśnienie,
k - jest to współczynnik proporcjonalności zwany modułem sprę żystości
Z chwilą gdy ustaje działanie zewnętrznej siły odkształcającej, ciało powraca do pierwotnego stanu. Oczywiście następuje to tylko wówczas, gdy siła odkształcająca nie przekracza pewnej granicy, tzw. sprężystości, w przeciwnym bowiem razie doznane odkształceniaciała nie ustępują z chwilą zniknięcia siły zewnętrznej. Takie odkształcenia nazywamy plastycznymi. Prawo Hooke'a jest słuszne jedynie w odniesieniu do odkształceń sprężystych, a więc znikających wraz z działaniem siły zewnętrznej. Zależnie od rodzaju odkształcenia mamy dla danego materiału różne moduły sprężystości: przy odkształceniu postaci polegającym na rozciąganiu względnie kurczeniu pręta występuje moduł wydłużenia, przy skręcaniu pręta mamy moduł skręcenia itp. Każdy moduł sprężystości wyraża się w jednostkach ciśnienia, tzn. N/m2.
Największe znaczenie praktyczne ma moduł sprężystości na wydłużenie. Nosi on nazwę modułu Younga i oznaczany jest symbolem E.
p
E = -
a
Z wyrażenia tego można odczytać sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, kyóre spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności (oczywiście przy nie przekraczaniu granicy sprężystości). W przypadku prostego wydłużenia
D l
a = ---
l
będzie ruwne jedności, gdy D l = l, to znaczy, gdy pręt zostanie rozciągnięty do podwójnej gługości.
W praktyce rzadko można osiągnąć takie odkształcenia bez przekroczenia granicy sprężystości (wyjątek stanowi np. guma). Moduł Younga jest jedynie stałą, mającą orientować o wielkości sił sprężystych w danym ciele.
Fl
E = ---- (*)
Dl S
gdzie F jest to siła obciążająca
S powierzchnia przekroju pręta
2.Przebieg ćwiczenia.
Aby wyznaczyć moduł Younga na podstawie równania (*) należy przeprowadzić doświadczenia z wydłużaniem badanego materiału w postaci drutu. W tym celu stosuje się urządzenie, którego zasadę podaje rysunek.
Badany drut umocowany jest w specjalnym uchwycie przytwierdzonym do sztywnego wspornika stalowego przymocowanego do ściany. Na dolnym końcu drutu zawieszona jest szalka, na którą kładziemy ciężarki oraz wskaźnik pomiaru wydłużenia drutu. Na szalce umieszczamy na stałe ciężar około 5 N; zadaniem jego jest wyprostowanie badanego drutu i usunięcie zgięć, które mogłyby zakłócić pomiar wydłużenia. Po umieszczeniu ciężarka wskazówkę wskaźnika umieszczamy w pozycji ''zero''. Obciążając szalkę dodatkowymi ciężarkami możemy wyznaczyć wydłużenie drutu odczytując wielkości na wskaźniku z dokładnością do 0.01 mm. Czynność tą powtarzamy dla siły obciążającej 5 N, 10 N, 15 N, 20 N, 25 N, 30 N, 35 N. Wyniki zapisujemy w tabelce:
Wydłużenie drutu Dl [mm] dla obciążenia Q [N]
Lp 5N 10N 15N 20N 25N 30N 35N
1.0.35 0.66 0.89 1.10 1.30 1.53 1.76
2.0.40 0.77 0.92 1.12 1.30 1.50 1.79
3.0.35 0.76 0.91 1.12 1.30 1.58 1.78
4.0.35 0.73 0.89 1.11 1.29 1.59 1.75
5.0.34 0.72 0.98 1.10 1.28 1.59 1.76
śr0.3580.728 0.918 1.110 1.294 1.558 1.768
Pozostaje jeszcze wyznaczenie przekroju drutu. Mierzymy jego średnicę za pomocą śruby mikrometrycznej w kilku miejscach w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Bierzemy nie więcej niż 10 oddielnych wyników, gdyż większa ich liczba, zgodnie z rozwarzaniami teorii błędów, nie ma znacznego wpływu na dokładność wyniku pomiarów. Przekrój
S = pr2
obliczamy wstawiając do wzoru średnią wartość promienia. Do zanotowania wyników pomiaru posługujemy się tabelką, gdzie oprócz średniej zapisujemy odstępstwa dx każdego pomiaru od średniej arytmetycznej oraz Dx2. Te dane ułatwiają nam późniejsze wyznaczenie błędu dr na podstawie wzoru Gaussa.
Średnica drutu Błąd pojedynczego
2r wyniku Dx Dx2
0.560 -0.011 0.00012
0.560 -0.011 0.00012
0.520 0.029 0.00084
0.520 0.029 0.00084
0.570 -0.021 0.00044
0.540 0.009 0.00008
0.520 0.029 0.00084
0.560 -0.011 0.00012
0.580 -0.031 0.00096
0.560 -0.011 0.00012
śr0.549
.Obliczenia.
Fl
E = ----
pr2Dl
5*1.15
E1 = ------------------------------ = 4.53*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*5.38*10-4
10*1.15
E2 = ------------------------------ = 6.70*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*7.28*10-4
15*1.15
E3 = ------------------------------ = 7.97*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*9.18*10-4
20*1.15
E4 = ------------------------------ = 8.79*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*1.11*10-3
25*1.15
E5 = ------------------------------ = 9.46*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*1.29*10-3
30*1.15
E6 = ------------------------------ = 9.45*1010 N/m2
3.14*7.5*10-8*1.55*10-3
35*1.15
E7 = ------------------------------ = 9.7*1010 N/m2
3.14*7.5*10-3*1.76*10-3
4.Rachunek błędu .
Dx2 = 0.00012+0.00012+0.00084+0.00084+0.00044+0.00008+
+0.00084+0.00012+0.00096+0.00012 = 0.00448
Dx2 0.00448
Dr = ----- = ------- = 0.0223
9 9
Dr 0.0223
-- * 100% = ------ * 100% = 8.12%
r 0.2745
DF = 0.1N
DE Dl Dr DF DE
-- = --- + 2-- + -- (**) -- = Y
E l r F E
Następnie wg. wzoru (**) obliczam Y
Y1 = 0.1624 + 0.003 + 0.02 = 0.1855 *100% = 18.55%
Y2 = 0.1624 + 0.006 + 0.01 = 0.1788 *100% = 17.88%
Y3 = 0.1624 + 0.007 + 0.006 = 0.1764 *100% = 17.64%
Y4 = 0.1624 + 0.009 + 0.005 = 0.1771 *100% = 17.71%
Y5 = 0.1624 + 0.011 + 0.004 = 0.1777 *100% = 17.77%
Y6 = 0.1624 + 0.013 + 0.003 = 0.1793 *100% = 17.93%
Y7 = 0.1624 + 0.015 + 0.002 = 0.1806 *100% = 18.06%
______________
śr.błąd = 17.93%
5. Zestawienie wyników.
E = (84 15) * 1011 [ N*m-2]
Wartość tablicowa modułu Younga dla stali
E = 98 * 1011 [ N*m-2]
6. Wnioski.
Doświadczenie to w sposób prosty pozwala na wyznaczenie modułu Younga. Sposób nakładania odważników został rozwiązany bardzo pomysłowo. Jedynym zauważonym przez nas mankamentem jest dość szybkie rozregulowanie wskaźnika i co za tym idzie ponowne jego nastawianie.
Oceniamy przede wszystkim błędy poszczególnych, podlegających pomiarom wielkości. DF oceniamy jako błąd maksymalny. Błąd Dr wyznaczamy na podstawie wzoru Gaussa w oparciu o wyniki tabelki Korzystamy ze wzoru na średni błąd kwadratowy jednego pomiaru.
Bład wielkości l oceniamy na oko, czyniąc go równym dokładności odczytania miarki milimetrowej, którą posługiwaliśmy się przy pomiarach. Używaliśmy miarki o najmniejszej działce 1 mm, dlatego największy błąd jaki mogliśmy popełnić będzie równy 1 mm.
Ostateczny błąd wyniku DE możemy wyznaczyć stosując metodę poczodnej logarytmicznej.
1.Teoria.
Deformacje albo sprężyste odkształcenia ciał wywołane działaniem sił zewnętrznych mogą przejawiać się w różnych postaciach. Deformacja może się sprowadzić do prostego wydłużenia (patrz poprzednie doświadczenie), a może to być np. skręcenie. Z najprostszym przykładem skręcenia spotkamy się wówczas, gdy na element objętościowy sprężystego ciała stałego o umocowanej podstawie działa siła F przyłożona do górnej powierzchni S tegoż elementu i do niej równoległa. Nastąpi wtedy sprężyste odkształcenie postaci, którego miarą będzie kąt zsunięcia płaszczyzn bocznych j. Zgodnie z prawem Hook'a ciśnienie jest proporcjonalne do odkształcenia, a więc:
F
p = --- = t*j
S
gdzie t oznacza współczynnik stały dla danego materiału, charakteryzujący jego sprężystość w tego rodzaju odkształceniach, zwany modułem sztywności na skręcenie.
W zastosowaniach technicznych i naukowych najczęściej spotykamy współczynnik sztywności wtedy, gdy ciało cylindryczne, np. drut o średnicy 2r i długości l, umocowane jest górnym końcem, a na dolnym końcu poddane działaniu sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca. Rozłożone na poszczególne elementy przekroju działanie wszystkich tych sił, usiłujących obracać ciało naokoło osi, można zastąpić działaniem pary sił o sumie równej 2F.
2.Przebieg ćwiczenia.
Wyznaczenie modułu sztywności na skręcanie dokonamy za pomocą statycznej metody pomiaru. Posłużymy się urządeniem pomiarowym przedstawionym na rysunku:
Badany pręt o przekroju kołowym ułożony jest poziomo i zamocowany jednym końcem w nieruchomym uchwycie, drugim zaś w uchwycie obrotowym połączonym sztywno z tarczą. Obrotowy uchwyt ułożyskowany jest w łożysku tocznym dla zmniejszenia oporów tarcia. W rowku tarczy nawinięta jest linka, której jeden koniec przymocowany jest do tarczy, drugi zaś zwisa pionowo i obciążony jest szalką. Umieszczone na szalce odważniki wytwarzają
względem osi pręta i tarczy skręcający moment siły:
M = mgr (*)
Zgodnie z równaniem (*) można zapisać:
p r4
mgR = t -------- j
2 l
gdzie mg - ciężar, R - promień tarczy, r - promiń pręta, l - długość czynna pręta
stąd: 2Rl F
t = ---------
pr4 j
Wartość kąta j odczytuje się za pomocą kątowej podziałki znajdującej się na urządzeniu.
Rozpoczynamy doświadczenie mocując badany pręt sztywno w uchwytach. Mierzymy w kilku miejscach średnicę pręta najlepiej suwmiarką. Następnie mierzymy długość czynną pręta między uchwytami. Ustawiamy zerowy odczyt na podziałce kątowej. Obciążamy szalkę odważnikami i odczytujemy kąt skręcenia pręta. Na szalkę działamy siłą 5N, 10N,15N, 20N, 25N, 30N, 35N. Pomiarów dokonujemy pięciokrotnie. Wyniki zestawiamy w tabelach:
Kąt skręcenia tarczy j przy obciążeniu Q
Lp. 5N 10N 15N 20N 25N 30N 35N
1.3.5 6.5 10 13 16.5 20 23
2. 4 7 10 13.5 16 19.5 22.5
3.3.5 7.5 9.5 13 16 19.5 22
4.3.5 6.5 10.5 13 15.5 19.5 23
5. 4 7 10 13.5 16 20 22.5
śr.3.7 6.9 10 13.5 16 19.7 22.6
Średnica pręta 2r [mm]
0.600.600.610.610.600.620.590.600.590.61
średnia ar. 0.603 [mm]
promień r = 0.3015 [mm]
3.Obliczenia.
180
jrad = jo*-------
p
j1 = 212.1 j2 = 395.54 j3 = 573.24 j4 = 756.68
j5 = 917.19 j6 = 1129.3 j7 = 1295.54
2*5*0.1*0.55*1013
t1 = ------------------- = 1.002*109
3.14*8.32*212.1
2*10*0.1*0.55*1013
t2 = ------------------ = 1.064*109
3.14*8.32*395.54
2*15*0.1*0.55*1013
t3 = ------------------ = 1.102*109
3.14*8.32*573.24
2*20*0.1*0.55*1013
t4 = ----------------- = 1.112*109
3.14*8.32*756.68
2*25*0.1*0.55*1013
t5 = ----------------- = 1.147*109
3.14*8.32*917.19
2*30*0.1*0.55*1013
t6 = ----------------- = 1.118*109
3.14*8.32*1129.29
2*35*0.1*0.55*1013
t7 = ----------------- = 1.137*109
3.14*8.32*1295.54
tśr = 1.097*109 [N/m2]
4.Rachunek błędu
Dl = 1[mm]
e1 = 0.3015 - 0.3 = 0.0015
e2 = 0.3015 - 0.3 = 0.0015
e3 = 0.3015 - 0.305 = -0.0035
e4 = 0.3015 - 0.305 = -0.0035
e5 = 0.3015 - 0.3 = 0.0015
e6 = 0.3015 - 0.31 = -0.0085
e7 = 0.3015 - 0.295 = 0.0065
e8 = 0.3015 - 0.3 = 0.0015
e9 = 0.3015 - 0.295 = 0.0065
e10= 0.3015 - 0.305 = -0.0035
Se2 2.025*10-4
Dr = -------- = ----------- = 0.0047 [mm]
n-1 9
Dr 0.0047
-- * 100% = -------- * 100% = 1.56%
r 0.3015
S b2
Dj = ------ b = śr.A - xi Dj/j = g
9
g1 = 0.240 g2 = 0.370 g3 = 0.316 g4 = 0.244 g5 = 0.316
g6 = 0.244 g7 = 0.374
Dt DF Dr Dj
-- = w w = --- + 4--- + ---
t F r j
w1 = 0.02 + 0.015 + 0.240 = 0.275
w2 = 0.01 + 0.015 + 0.370 = 0.395
w3 = 0.006 + 0.015 + 0.316 = 0.337
w4 = 0.005 + 0.015 + 0.244 = 0.264
w5 = 0.004 + 0.015 + 0.316 = 0.335
w6 = 0.003 + 0.015 + 0 244 = 0.262
w7 = 0.002 + 0.015 + 0.374 = 0.391
wśr = 0.322 *100% = 32.3%
4.Dyskusja słowna błędu.
Błąd Dr obliczamy z wzoru Gaussa na błąd średni kwadratowy. Obliczenia takie możemy wykonać ponieważ mamy wystarczającą ilość dokonanych pomiarów. Długość pręta l mierzymy za pomocą miarki milimetrowej. Ponieważ długość oceniamy na oko z dokładnością do pół działki, dlatego przyjmujemy Dl = 1 [mm]. Błąd współczynnika sztywności Dt obliczamy metodą poczodnej logarytmicznej.
5. Zestawienie wyników.
t = (109 35) * 1011 [N*m-1*rad-1]
Wielkość tablicowa modułu sztywności na skręcanie
t = 81 * 1011 [N*m-1*rad-1]
6. Wnioski.
Uważamy, że metoda statyczna wyznaczania współczynnika sztywności jest odpowiednia dla prętów o dość dużym przekroju, gdyż w takich przypadkach siły tarcia na bloczkach bardzo nieznacznie zakłucają pomiary. Doświadczenie i sposób jego wykonania zostały pomyślane w sposób bardzo dobry. Uważamy, że zmianie powinien ulec materiał, z którego wykonano pręt. Zastosowany pręt stosunkowo szybko ulegał trwałym odkształceniom. Sądzimy, że po zmianie pręta mosiężnego na stalowy i odpowiedniej zmianie mas odważników błąd powstały przy wyznaczaniu modułu sztywności na skręcanie uległby znacznemu zmniejszeniu.