Odwzorowaniem jednej powierzchni na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość punktową między powierzchnią nazywaną oryginałem a powierzchnią nazywaną obrazem.
Odwzorowanie dane jest dwiema funkcjami:
U= f(u,v)
V=g(u,v)
Funkcje odwzorowawcze f,g przyporządkowują każdemu punktowi P(u,v) oryginału odpowiedni punkt P'(U,V) obrazu.
Kartografia matematyczna zajmuje się takimi odwzorowaniami, w których oryginałem ejst cała powierzchnia lub część powierzchni elipsoidy obrotowej lub kuli. Obrazem jest najczęściej cała płaszczyzna lub jej część. Powierzchnie oryginału i obrazu są powierzchniami regularnymi.
Odwzorowanie nazywamy regularnym, jeżeli funkcje f i g spełniają następujące warunki:
każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V.
Są ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne
Są wzajemnie niezależne,
Co występuje gdy jakobian układu jest różny od 0.
W odwzorowaniach regularnych obrazem punktu jest punkt, krzywej krzywa, kąta kąt, obszaru obszar.
W kartografii szczególne znaczenie mają obrazy południków i równoleżników tworzące siatkę kartograficzną.
Proces tworzenia obrazu powierzchni elipsoidy na mapie można podzielić na dwa etapy:
odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę
zmniejszenie wszystkich elementów liniowych obrazu płaskiego w stałym stosunku 1:M. Liczbę m0=1:M nazywamy skalą główną mapy.
Rzutowanie trójstopniowe = elipsoida > kula > płaszczyzna
Elementarna skala długości i pól:
Niech ds oznacza dł. Nieskończenie małego łuku na powierzchni oryginału a ds.' - długośc odpowiadającego mu łuku na obrazie.
Stosunek:
m = ds.'/ds
nazywamy elementarną skalą długości. Zależy ona od współrzędnych B,L i od azymutu A elementu liniowego ds. Wartość skali długości mieści się w przedziale (0,niesk.). Projektując odwzorowania należy starać się, aby wartości skal były przybliżone do 1.
Niech dP oznacza pole nieskończenie małego elementu powierzchniowego na oryginale, a dP' na obrazie.
Stsounek:
p=dP'/dP
nazywamy elementarną skalą pól.
Zniekształcenie długości: Zm=m-1
Zniekształcenie pól: Zp=p-1
Elementarny czworobok krzywoliniowy
Jego bokami są nieskończenie małe łuki południków i równoleżników.
(rys.4.1 s.49)
Traktujemy go jako figurę płaską. Długości łuków południka (ds1) i równoleżnika (ds2) są oklreślone wzorami:
Ds1=MdB
Ds2=rdL
r =NcosB - dł równoleżnika
Kąt θ między południkiem a równoleżnikiem jest równy 90*, więc wzór na pole czworoboku ma postać:
DP=ds1ds2=MrdBdL
Wzory na E,F,G,H. (s. 51)
jakobian funkcji odwzorowawczych.
Posługując się wielkościami EFGH wzór na obliczenie dł. elementu liniowego ds.' przedstawimy w postaci:
Ds.'2 = EdB2 + 2 FdBdL + GdL2
Skala długości w kierunku południków: (wzór 4.32 s. 52)
Skala długości w kierunku równoleżników: (wzór 4.33 s. 52)
Obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym (θ'=90), gdy F=0.
cos θ'=F/sqrt(EG) (wyprowadzenie na s. 52-53 + rysunek 4.2 s. 50)
Odwzorowanie równokątne:
W każdym punkcie odwzorowywanego obszaru dowolny azymut A odwzorowuje się bez zniekształcenia, tzn. A'=A.
Warunek równokątności:
F=0 i jednocześnie E/H * r/M = 1 lub θ'=90 i jednocześnie mB=mL (wyprowadznie s.54-55)
A zatem odwzorowanie jest równokątne jeżeli sa spełnione równocześnie dwa warunki:
obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym
w każdym punkcie skala długości w kierunku południków jest rowna skali długości w kierunku równoleżników.
Warunki równokątności w postaci rówań różniczkowych:
(wzór 4.50 s. 55)
(wzór 4.51 s. 56)
Odwzorowania równopolowe:
W każdym punkcie odwzorowywanego obszaru spełniony jest warunek:
P(skala pól)=1 czyli mBmLsin θ'=1 albo H=Mr
Gdy obrazy południków przecinają się pod kątem prostym z obrazami równoleżników (θ'=90), warunek równopolowości przybiera postać: mBmL=1.
Twierdzenie Tissota i kierunki główne
W każdym regularnym odwzorowaniu, nie będącym odwzorowaniem równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi
Gdy obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym (θ'=90) wówczas kierunki główne pokrywają się z kierunkami południków i równoleżników.
Skala długości w kierunkach głównych zależy od EFGA, czyli funkcie odwzorowawcze + azymut. (wzór 4.69 s. 61)
Extremalne skale długości występują w kierunkach głównych!
W odwzorowaniach równokątnych kierunki główne nie są określone, dlatego skala długości w danym punkcie nie zależy od kierunku.
Wskaźnica Tissota
Rysunek 4.7 s. 65
Równanie wskaźnicy: (wzór 4.79 s. 64)
Drugie twierdzenie Tissota: obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych. (wyprowadzenie s.63-64).
Zniekształcenie kątowe
Zniekształcenie kątowe to największa różnica, co do wartości bezwględnej, między kątem na obrazie a odpowiadającym mu kątem na oryginale:
(wzór 4.89 s.67)
(Rys. 4.8 s.67)
Z rysunku wynika, że największa różnica a'-a wystąpi wtedy gdy ramiona kąta a' będą tworzyły z osią x' kąt beta'e najbardziej różniący się od oryginału. Zniekształcenie kątowe określone jest wzorem:
(wzór 4.90 s. 67)
Współrzędne izometryczne
Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywamy izometrycznymi, jeżeli długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić następującym wzorem:
(wzór 4.93 s. 68)
gdzie jest dowolną dodatnią funkcją u,v. (wyprowadzenie na s. 63)
Współrzędne krzywoliniowe u,v są izometryczne jeśli spełniają dwa warunki:
siatka współrzędnych u,v jest ortogonalna
przesunięcie ds wywołane zmianą współrzędnej u o du=epsilon jest równe przesunięcu ds wywołanemu zmianą współrzędnej v o dv=epsilon, gdzie epsilon jest nieskończenie małą, dowolnie obraną liczbą.
Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne!!! (wzór 4,94 s. 69)
Współrzędne izometryczne q,L
(wzór 4.101 s.70) q=
szerokość izometryczna
l=L-Lo
długość izometryczna.
Klasyfikacja odwzorowań katrograficznych
Odwzorowania dla elipsoidy i kuli:
Kryterium: charakter występujących zniekształceń
Podział: równokątne, równoodległościowe, równopolowe, dowolne
Kryterium: kształ siatki kartograficznek
Podział: azymutalne, walcowe, stożkowe (ze względu na sposób przyłożenia powierzchni rzutowania wyróżniamy normalne, ukośne i poprzeczne), pseudoazymutalne, pseudowalcowe, pseudostożkowe, wielostożkowe, koliste.
Rysunki w tabeli 5.1 s. 74.
Odwzorowanie azymutalne (rys. i równania s.75)
Odwzorowanie walcowe
Odwzorowanie stożkowe
Odwzorowanie pseudoazymutalne
Odwzorowanie pseudowalcowe
Odwzorowanie pseudostożkowe
Odwzorowanie wielostożkowe
Odwzorowanie koliste
Odwzorowania azymutalne
NORMALNE
Odwzorowanie azymutalne normalne - płaszczyzna jest styczna do kuli w biegunie geograficznym N, środek rzutów znajduje się w punkcie S, leżącym na osi obrotu.
(rys. 7.1 s.88)
Obrazem punktu P jest P' leżący w odległości ρ od obrazu bieguna (N').
Obrazem równoleżnika przechodzącego przez punkt P będzie okrąg o promieniu ρ zatoczony wokół N'.
Kąt zawarty między obrazem południka pocz. I obrazem południka punktu P jest równy długości geograficznej punktu P.
Wzór na promień równoleżnika:
(wzór 7.2 s.89)
Obraz siatki geograficznej (rys. 7.2 s.89)
Odwzorowanie gnomoniczne - środek rzutów w środku kuli.
Wzór na promień:
(wzór 7.5 s.89)
(rys. 7.3 s. 90)
Odwzorowanie stereograficzne - środek rzutów w przeciwległym biegunie względem punktu styczności.
Wzór na promień:
(wzór 7.6 s.90)
(rys. 7.4 s.90)
Odwzorowanie ortograficzne - środek rzutów na osi biegunowej w nieskończoności.
Wzór na promień:
(wzór 7.8 s.90)
(rys. 7.5 s.91)
UKOŚNE I POPRZECZNE
Punkt styczności płaszczyzny i kuli nazwijmy punktem głównym odwzorowania azymutalnego. Odwzorowania normalne i poprzeczne to szczególne przypadki odwzorowania ukośnego.
(rys. 7.8 s. 98)
Początek układu współrzędnych - P0 o współrzędnych , .
Współrzędne prostokątne obliczamy z następujących wzorów:
(wzór 7.39 s. 98)
(wzór 7.40 s.98)
Krzywymi głównymi w odwzorowaniach azymutalnych ukośnych i poprzecznych są koła wielkie przechodzące przez punkt główny odwzorowania - WERTYKAŁY.
Koła małe prostopadłe do wertykałów - ALMUKANTARATY.
Wzory odwzorowania ukośnego równopolowego:
(wzory s. 99)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu ortograficznym ukośnym (rys. 7.9 s.99)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu ortograficznym poprzecznym kuli (s.100)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu stereograficznym ukośnym kuli (s.100)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu stereograficznym poprzecznym kuli (s.100)
Odwzorowania walcowe
Odwzorowania te powstają poprzez rzutowanie punktów powierzchni kuli na powierzchnię boczną walca, którego oś pokrywa się z osią obrotu ziemi (normalne). Środek rzutów zawsze znajduje się na osi walca, ale jego położenie na osi walca zależy od funkcji odwzorowawczych i od szerokości geograficznej rzutowanego punktu.
Odwzorowanie walcowe normalne równoodległościowe kuli w kierunku równoleżników nie istnieje, ponieważ mlambda = 1 tylko na równiku. (wyprowadzenie i tabela na s. 102-103)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu walcowym normalnym równoodległościowym w kieurnku południków. (rys. 8.1 s.103)
Obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym we wszystkich odwzorowaniach walcowych normalnych. Spełniony jest więc pierwszy warunek równokątności. Drugi warunek równokątności: m = m (s.104)
Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu Merkatora.
(wzory 8.18 i 8.19 s.104)
Odwzorowanie to jest szeroko stosowane w nawigacji, ponieważ odcinek linii prostej łączącej dwa punkty na mapie tworzy z obrazami południków stały kąt równy azymutowi trasy. Odcinek ten jest obrazem linii krzywej na oryginale, zwanej LOKSODROMĄ.
Loksodroma nie jest najkrótszą linią, łączącą dwa wybrane punkty, ma jednak tę zaletę, że azymut w każdym punkcie trasy jest stały. Tej ważnej cechy nie ma ortodroma.
Skala długości w odwzorowaniu Merkatora: m = 1/cos
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu równokątnym Merkatora (rys. 8.2 s.105)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu walcowym normalnym równopolowym kuli (rys. 8.3 s.106)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu walcowym ukośnym równokątnym kuli (s. 108)
Odwzorowanie walcowe poprzeczne równoodległościowe nosi nazwę odwzorowania Cassiniego, natomiast współrzędne x,y określone wzorami: x=Rg, y=Rh, noszą nazwę współrzędnych prostokątnych sferycznych Soldnera. Skala długości w kierunku almukantaratów:
(wzór 8.35 s.110)
Odwzorowanie walcowe poprzeczne kuli = poprzeczne odwzorowanie Merkatora.
Wzory na x,y (wzory 8.29 i 8.30 s. 111)
Siatka kartograficzna w odwzorowaniu poprzecznym Merkatora
Odwzorowanie Gaussa-Krugera
Warunki:
jest odwzorowaniem równokątnym
obrazem południka środkowego jest odcinek linii prostej, a obrazami południków pozostałych są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem południka środkowego
południk środkowy pasa odwzorowuje się bez zniekształceń (m0=1)
Układ współrzędnych + wzory
(rys. 10.1, wzory 10.1 i 10.2 s.136)
Aby spełnić pierwszy warunek G-K związek współrzędnych prostokątnych x,y i izometrycznych q,L będzie miał postać funkcji analitycznej: x+iy=f(q+il)
Korzystając z drugiego warunku można określić następującą cechę funkcji f:
Dla l=0 musi wystąpić y=0, a więc współrzędna punktu xm leżącego na południku środkowym będzie określona za pomocą wzoru xm=f(q).
Trzeci warunek będzie spełniony, jeżeli dla l=0 będzie zachodzić następująca równość:
(wzór 10.5 s.137)
gdzie S oznacza długość południka liczoną od równika do danego punktu o szerokości elipsoidalnej B.
Odwzorowanie odwrotne do G-K jest także odwzorowaniem równokątnym
Zbieżnośc południków
Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południa w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt równolegle do osi x.
(rys. 10.3 s.153)
Zbieżnośc południków γ jest mierzona od stycznej do obrazu południka w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. We wszystkich punktach odwzorowania G-K, leżących na północ od obrazu równika i wschód od obrazu południka środkowego danego pasa, zbieżność południków jest dodatnia.
Obliczanie zbieżności południków (s. 153)
Wzór na zbieżność południków w radianach:
(wzór 10.60 s. 154)
Wzór na zbieżność południków w sekundach:
(wzór 10.61 s.155)
Wzór na zbieżnośc południków w sekundach, gdy dane są x i y:
(wzór 10.67 s.156)
Elementarna skala pól w odwzorowaniu równokątnym jest równa kwadratowy elementarnej skali długości:
(wzór s. 157) p=
Odwzorowanie quasi-stereograficzne
Jest odwzorowaniem równokątnym elipsoidy obrotowej. Siatka kartograficzna jest podobna jak w odwzorowaniu stereograficznym kuli. Odwzorowanie charakteryzuje się występowaniem niewielkich zniekształceń w pobliżu punktu głównego odwzorowania, jest ono zatem przydatne do przedstawiania obszarów, których granice mają regularny kształt, zbliżony do okręgu. Punkt główny P0(B0,L0) powinien znajdować się w pobliżu punktu środkowego odwzorowywanego obszaru. Południk przechodzący przez punkt główny będziemy nazywać południkiem środkowym. Południk środkowy odwzorowuje się jak odcinek linii prostej.
Układ współrzędnych i siatka kartograficzna (rys. 11.1 s.161)
Warunki:
odwzorowanie jest równokątne
obrazem południka środkowego jest odcinek linii prostej, a obrazami innych południków są krzywe symetryczne względem obrazu południka środkowego.
Odcięte x punktów leżących na południku środkowym oblicza się wg wzoru:
(wzór 11.1 s.162)
R0 oznacza średni promień krzywizny powierzchni elipsoidy obrotowej w punkcie głównym odwzorowania, a s oznacza długość łuku południka od punktu głównego P0 do równoleżnika odwzorowywanego punktu P.
Elementarna skala długości w kierunku równoleżników:
(wzór 11.69 s.182)
Elementarna skala pól:
(wzór 11.74 s.183)