Ciągi liczbowe.

Zad.1. Obliczyć sumę wszystkich nieparzystych liczb naturalnych mniejszych

od 500.

Zad.2. Wyznaczyć sumę 10 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
mając dane

Zad.3. Znaleźć ciąg arytmetyczny , w którym suma trzech początkowych wyrazów jest równa 27, natomiast suma kwadratów tych wyrazów jest równa 275.

Zad.4. Obliczyć sumę początkowych dwudziestu liczb naturalnych , które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.

Zad.5. Znaleźć ciąg arytmetyczny , którego pierwszy wyraz jest równy 1,
a suma początkowych pięciu wyrazów jest cztery razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów.

Zad.6.Dany jest ciąg
. Wykazać , że jest on ciągiem arytmetycznym. Obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu.

Zad.7. Logarytmy liczb
tworzą ciąg arytmetyczny. Obliczyć x.

Zad.8. Rozwiązać równanie :

Zad.9. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny
o .różnicy 2. Obliczyć pole koła wpisanego w ten trójkąt.

Zad.10. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.

Obliczyć długości przyprostokątnych , jeżeli wiadomo , że długość przeciwprostokątnej wynosi 30 cm.

Zad.11. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.

Wykazać, że różnica tego ciągu jest równa długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zad.12. Między liczby 32 i 500 wstawić liczby x i y tak dobrane, aby ciąg

( 32, x, y, 500) był ciągiem geometrycznym.

Zad.13. Trzy liczby, których suma jest równa 93 tworzą ciąg geometryczny.
Te same liczby możemy uważać za pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Znaleźć te trzy liczby.

Zad.14. Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie a, b i c tworzą ciąg geometryczny, to ich logarytmy tworzą ciąg arytmetyczny.

Zad.15. Liczby a i b są pierwiastkami równania x²-3x+A=0 , a liczby c i d są pierwiastkami równania x²-12x+B=0.. Ciąg ( a , b , c , d ) jest rosnącym ciągiem geometrycznym . Obliczyć A i B .

Zad.16. Z czterech liczb trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny. Znaleźć te liczby , jeżeli wiadomo , że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa 14, a suma liczb środkowych jest równa 12.

Zad.17. Dla jakich wartości parametru m. liczby x , y , z będące rozwiązaniem układu równań

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ?

Zad.18. Rozwiązać równanie :

Zad.19 Wyznacz wszystkie wartości
, dla których pierwiastki wielomianu
są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

Zad.20 Dany jest ciąg geometryczny
, w którym

1. wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu
   ,

2. Oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby
   , 3x + 2 tworzą ciąg arytmetyczny.

Zad.21. Znaleźć szereg geometryczny o sumie
mający tę własność , że szereg utworzony z kwadratów jego wyrazów ma sumę
.

Zad.22. W nieskończonym ciągu geometrycznym, którego suma jest równa
, pierwszy wyraz
,a trzeci jest odwrotnością pierwszego. Obliczyć x

Zad.24. Rozwiązać nierówność :

, której lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zad.25. W kwadracie o boku a połączono odcinkami środki sąsiednich boków. W powstałym w ten sposób kwadracie połączono znów środki sąsiednich boków itd. Obliczyć sumę obwodów utworzonego w ten sposób nieskończonego ciągu kwadratów.

Zad.26. Sinusy katów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta ostrego.

Zad.27

Wyznacz x, tak aby liczby
były w podanej kolejności wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych.

Zad.28

Ciąg
jest arytmetyczny. Wiedząc, że
wyznacz różnicę tego ciągu.

Zad.29

Wykaż, że jeżeli liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zad.30

Dany jest ciąg
. Ciąg
ma tę własność, że dla każdego
punkty o współrzędnych
leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu

Zad.31

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

---