Wykład 10

Przykład

W przestrzeni euklidesowej rzeczywistej Rn rzeczywistych ciągów n-wyrazowych okreś-

amy działania

Σ (x₁,x₂,…x_n)+(y₁,y₂,..y _n)=(x₁+y₁,x₂+y₂,... ,x_n+y_n) ,

α(x₁,x₂,..,x_n)=(αx₁,αx₂,..,αx_n)

gdzie x₁,y₁εIR, n=1,2,..n ,α€IR .

Wtedy (Rⁿ,R) jest rzeczywistą przestrzenną miarą. Wektorem zerowym w tej przestrzenii jest wektor (0,0p).Przestrzeń liniową (Rⁿ,R) będziemy oznaczać przez n wyraz R_n

Analogicznie określamy zespoloną przestrzeń liniową Cⁿ=(Cⁿ,C).

Niech będą dane przestrzenie liniowe

(X,K),(Y,K) oraz odwzorowanie:

T:XY spełniające aksjomaty

a)
T(x+y)=T(x)+T(y) -addytywność

^x,y€X

b)

T(αx)=αT(x) - jednorodność

^{α€K x€X}

Wtedy T nazywamy odwzorowaniem liniowym.

Przykład

Odwzorowanie T:R³R² dane wzorem :

T(x₁,x₂,x₃)=(x₁,x₂+x₃) jest liniowe gdyż :

Dla dowolnych wektorów x=(x₁,x₂,x₃),

y=(y₁,y₂,y₃) oraz dla dowolnego α € IR mamy

T(x+y)=T(x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃)=(x₁+y₁,x₂+y₂+x₃+y₃)=(x₁,x₂,x₃)+(y₁,y₂,y₃)=T(x)+T(y),

T(α*x)=T(α(x₁,x₂,x₃))=T(αx₁,αx_2*x₃)=(αx₁,α(x₂+x₃))=α(x₁,x₂+x₃)=α*T(x)

Niech (X,K) będzie przestrzenią liniową oraz niech T: XX będzie odwzorowaniem liniowym.

Def: Wektorem własnym odwzorowania T nazywamy niezerowy wektor x€X (tzn.x€X\{0}) spełniający równanie T(x)=λ*x dla pewnych λ€K. Liczbę lambda spełniające powyższe równanie przy ustalonym wektorze x≠0 nazywamy wówczas wartością własną odwzorowania T.

Mówimy wtedy ze wektor własny x odpowiada wartości własnej λ

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4

Niech K oznacza ciało liczb rzeczywistych liczb zespolonych oraz T:KⁿK^m niech będzie odwzorowaniem liniowym.

Istnieje macierz A=Am*n elementach z K taką,że (׃)
T(x)=A*x

^x€Kn

Na odwrót każde odwzorowanie T : KⁿK^m dane wzorem (׃) jest liniowe.

Macierz A we wzorze (׃) nazywamy macierzą odwzorowaną liniowego T.

W przypadku odwzorowania liniowego T:KⁿK^m równanie T(x)=α*x jest na mocy powyższego twierdzenia równoważne równaniu A*x=λ*x lub (.:) (A-λ I)*x=0, gdzie A jest macierzą odwzorowania T, a I macierzą jednostkową.

Jeżeli
to

Równanie (:.) posiada rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy gdy:

(::) det(A-λI)=0

Wielomian det(A-λI) zmiennej λ nazywamy wielomianem charakterystycznym odwzorowania T lub macierzy A.

W równaniu (::)det(A-λI)=0 nazywamy równaniem charakterystycznym odwzorowania T lub macierzy A.

Pierwiastki równania (::) to tzw. wartości własne odwzorowania T.

Uwagi:

1. W przypadku odwzorowania T:KⁿK^m równanie charakterystycznie może nie posiadać pierwiastków rzeczywistych, zatem odwzorowanie to może nie mieć wektorów własnych.

2. W przypadku odwzorowania T:CⁿCⁿ równanie charakterystyczne posiada zawsze rozwiązanie a więc odwzorowanie T posiada co najmniej jeden wektor własny.

Przykład:

Dane jest odwzorowanie T:R²R²zaprezentowane przez macierz:

Równanie charakterystyczne ma postać |

det(A-λI)=
= λ² -5λ+4-0

λ₁=1, λ₂=4

Szukamy wektora własnego x€R²,który odpowiada wartości własnej λ₁=1.

{x€R² : (A-λ₁I)*x =0} = {(x₁,x₂)€R²\(0,0)}

:
}

={(x₁,x₂)€R²\{(0,0)}:x₁+2x₂=0}= {(-2x²,x²):x²€R\{0}} (x1=-2x²)

Zatem każdy wektor (-2α,α), α€R\{0}, odpowiada wartości własnej λ₁=1. Podobnie pokazujemy ,że każdy wektor postaci (β,β) , β€R\{0} jest wektorem własnym odwzorowania T odpowiadającym wartości własnej λ₁=4.

Iloczyn wektorowy wektorów

W przestrzeni w której dany jest układ prostokątnych 0xyz rozróżnia się dwa rodzaje układów zorientowanych:

-układ prawoskrętny

-układ lewoskrętny

Wyróżniamy i ustalamy jedną z dwóch możliwych orientacji wektorów w przestrzeni 0xyz. Nazwijmy ją orientacją dodatnią

Definicja

Iloczynem wektorowym wektorów niezerowych i nie uwspólnionych
nazywamy wektor
taki, że:

1)

2) trójka uporządkowana
ma orientację dodatnią

3)

Iloczyn wektorowym dwóch wektorów uspólnionych jest równy wektorowi
.

Własności iloczynu wektorowego:

a)

b)

c) jeżeli

d) jeżli

to

e) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
jest równe

Rachunek całkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

1)Funkcje pierwotne

Definicja

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej f, określonej na przedziale (logarytmicznym lub nie) X
,

i przyjmującej wartości rzeczywiste, jeżeli

Jeżeli f jest określona na przedziale domkniętym <a,b> to F nazywamy funkcją pierwotną f jeżeli

oraz
,

Niech C₁ oznacza dowolną stałą. Jeżeli F jest funkcją pierwotną f, to ponieważ (F(x)+C₁)'=F'(x)=f(x), więc G(x)=F(x)+C₁ jest też funkcją pierwotną funkcji f.

---