Przykładowe pytania z algebry dla studentów informatyki PK

1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?

2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.

3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?

4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?

5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn dwóch liczb w tej postaci.

6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej .

7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?

8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?

9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?

10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.

11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.

12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.

13. Podać rozwinięcie Laplace'a wyznacznika macierzy.

14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?

15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.

16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.

17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?

18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?

19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.

20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera - Capelliego.

21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.

22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.

23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

24. Jak określamy macierz przejścia z bazy (ej) do bazy (ei')?

25. Podać związki miedzy współrzędnymi wektora w „starej” i „nowej” bazie.

26. Podać związki miedzy reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w „starej” i „nowej” bazie.

27. Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego?

28. Kiedy macierz nazywamy ortogonalną?

29. Podać i uzasadnić własności macierzy ortogonalnej.

30. Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy 3x3. Dlaczego jego współczynniki nazywamy niezmiennikami?

31. Co to są wartości i wektory własne macierzy?

32. Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej.

33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?

34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?

35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną.

36. Co to jest forma kwadratowa?

37. Podać definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej.

38. Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, nieokreślona?

39. Jak można zbadać określoność formy kwadratowej?

40. Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki w tej postaci?

41. Podać twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy.

42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.

45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?

46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?

47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?

48. Podać równanie elipsoidy.

49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.

52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.

53. Podać równanie walca eliptycznego.

54. Podać równanie walca hiperbolicznego.

55. Podać równanie walca parabolicznego.

56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?

57. Jakie są własności relacji podzielności?

58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?

59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu
    za pomocą kombinacji
    i
    .

60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej
    ?

61. Podaj własności relacji kongruencji.

62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.

63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?

64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?

65. Podaj twierdzenie o równości potęg
    .

66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?

67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.

68. Czemu jest równe
    ?

---