Ćw. M4	Artur Wiączek		WMiBM
Gr.11	Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego.
Data	Ocena	Podpis

1. Wprowadzenie

Tablica Galtona składa się z wielu rzędów kołeczków umieszczonych nad przegródkami. Na ów układ kołeczków sypiemy kuleczki z lejka, poszczególne kuleczki ulegają zderzeniom z kołeczkami, wpadając ostatecznie do przegródek.

Z tablicą Galtona wiąże się pojęcie odchylenia standardowego oraz teoria niepewności przypadkowych. Rozważania ograniczymy do pomiarów bezpośrednich, w których niepewności systematyczne są bardzo małe w stosunku do niepewności przypadkowych. Próba, czyli seria wyników x₁, x₂, x₃,...,x_n, obarczonych pewną niepewnością przypadkową, wyróżnia się tym, że największy z przyczynków niepewności systematycznej Δx jest bardzo mały w porównaniu z różnicą wyników skrajnych: maksymalnego x_M i minimalnego x_m: Δx << x_{M -} x_m.

Prawidłowości występujące w wynikach pomiarowych, wykazujących rozrzut statyczny omówimy na przykładzie próby dużej n = 100. W próbie takiej, niektóre wyniki powtarzają się. Oznaczmy przez x₁, x₂,..., x_k, x_K różniące się wyniki x_i, uporządkowane w szereg rosnący (wskaźniki i = 1, 2, 3,..., n oznaczają numer kolejny wyniku, k - numer wyniku x_k, różnego od innych, K - liczbę wyników x_i. ) Liczbę wyników dających wartość x_k oznaczamy przez n_k. Oczywiście musi zachodzić związek:

∑ N_k = N

^k=1

Uporządkowane w ten sposób wyniki można przedstawić graficznie na histogramie. Na osi odciętych nanosi się przedziały klasowe - prawostronnie domknięte przedziały liczbowe, a na osi rzędnych liczebność n_k lub liczebności względne n_k / n. Histogram stanowi więc zbiór prostokątów o podstawie równej szerokości przedziału klasowego i wysokości równej liczebności n_k klasy. Histogram pozwala łatwiej zauważyć prawidłowości występujące w serii wyników pomiarowych. Pewne wartości pojawiają się częściej, a inne, bardzo małe lub bardzo duże, występują rzadko. Dla każdej serii wyników pomiarowych, wykonanych dla tego samego obiektu, histogram przebiega nieco inaczej, lecz ogólne prawidłowości występują zawsze, dzięki czemu każdą próbę można przybliżyć za pomocą jednej, wspólnej krzywej, zwanej krzywą Gaussa lub krzywą gęstości rozkładu normalnego opisaną równaniem:

W wyrażeniu tym występują dwa parametry μ i δ, charakteryzujące mierzony obiekt: wartość oczekiwaną, będącą liczbą określającą położenie max. krzywej, odchylenie standardowe, charakteryzujące jej szerokość, czyli odchylenie wyników. Wielkość y(x) jest gęstością prawdopodobieństwa wyników pomiarowych..

2. Pomiary

Zestaw przyrządów:

• tablica Galtona,

• zestaw kulek

Opis doświadczenia:

Wykonaliśmy 800 pomiarów, następnie uporządkowaliśmy wyniki pomiarów, grupując razem wyniki jednakowe. Z pomiarów otrzymaliśmy serię 800 wyników, które podzieliliśmy na 17 grup.

Przypuszczamy, że rozkład ten jest rozkładem normalnym. W celu znalezienia wartości średniej x i średniego błędu kwadratowego Sx, wygodniej jest zapisać wynik w postaci tabeli typu I.

Na podstawie tabeli I sporządziliśmy tabelę II. Następnie znormalizowaliśmy rozkład doświadczalny za pomocą podstawienia: U_i = x_i - x / Sx.

Na histogram wyników nanieśliśmy krzywą teoretyczną, co pozwoliło nam ocenić w przybliżeniu charakter rozkładu. Zwykle ocena taka nie jest wystarczająca i wówczas korzystamy z testu λ^{2 .} W tym celu „zsypaliśmy'' końcowe grupy, tak, aby spełniony był warunek n_i > 5. Ilość grup po tej operacji wynosiła m = 10, czyli ilość stopni swobody k = m-r (gdzie r oznacza liczbę parametrów rozkładu teoretycznego oraz dodatkowych, określających go warunków.) W tym przypadku k = 10-3 =7. Dla k=7 oraz znalezionej wartości X², znajdujemy w tablicy V odpowiadające im prawdopodobieństwo P. Jeśli wartość prawdopodobieństwa P odczytana z tablicy przewyższa 0.01, to rozkład doświadczalny uznajemy za normalny.

3. Opracowanie wyników

TABELA NR 1

xi	ni	ni*xi	/xi - x/	/xi - x/^2	ni*/xi - x/^2	Ui
1	2	2	7,82	61,15	122,3	4,010256
2	0	0	6,82	46,51	0	3,497436
3	0	0	5,82	33,87	0	2,984615
4	6	24	4,82	23,23	139,38	2,471795
5	22	110	3,82	14,59	320,98	1,958974
6	52	312	2,82	7,95	413,4	1,446154
7	105	735	1,82	3,31	347,55	0,933333
8	175	1400	0,82	0,67	117,25	0,420513
9	153	1377	0,18	0,03	4,59	0,092308
10	144	1440	1,18	1,39	200,16	0,605128
11	81	891	2,18	4,75	384,75	1,117949
12	37	444	3,18	10,11	374,07	1,630769
13	12	156	4,18	17,47	209,64	2,14359
14	4	56	5,18	26,83	107,32	2,65641
15	5	75	6,18	38,19	190,95	3,169231
16	1	16	7,18	51,55	51,55	3,682051
17	1	17	8,18	66,91	66,91	4,194872
Suma	800	7055			3050,8
			Ui =	|xi - x|/Sx	Sx =	1,95
X =	∑ni* xi/∑ni	8,82	Ni =	(n*p*Ui)/Sx

Gdzie: X_i - kolejne przegrody,

N_i - ilość wszystkich kulek w i - tej przegrodzie,

X - wartość średnia.

TABELA NR 2

Xi	Ni	P/Ui/	Ni'=(nP/Ui/)/Sx	/Ni - Ni'/	/Ni - Ni'/^2	/Ni - Ni'/^2/Ni'
1	2	0,000128	0,052512821	3,79270631	3,79270631	72,2243878
2	0	0,00088	0,361025641	0,13033951	0,13033951	0,36102564
3	0	0,00464	1,903589744	3,62365391	3,62365391	1,90358974
4	6	0,018801	7,713230769	2,93515967	2,93515967	0,3805357
5	22	0,058558	24,02379487	4,09574568	4,09574568	0,17048704
6	52	0,140209	57,52164103	30,4885196	30,4885196	0,53003564
7	105	0,258077	105,8777436	0,77043381	0,77043381	0,00727664
8	175	0,365183	149,8186667	634,099548	634,099548	4,23244688
9	153	0,397246	162,9727179	99,4551033	99,4551033	0,61025615
10	144	0,332196	136,2855385	59,5129168	59,5129168	0,43667815
11	81	0,213558	87,61353846	43,738891	43,738891	0,49922525
12	37	0,105542	43,29928205	39,6809544	39,6809544	0,91643446
13	12	0,040098	16,45046154	19,8066079	19,8066079	1,20401533
14	4	0,011711	4,804512821	0,64724088	0,64724088	0,13471519
15	5	0,002629	1,078564103	15,3776595	15,3776595	14,2575295
16	1	0,000453	0,185846154	0,66284649	0,66284649	3,56664086
17	1	0,00006	0,024615385	0,95137515	0,95137515	38,6496154

Gdzie: Sx - średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru

N - całkowita liczba pomiarów

Ui - parametr rozkładu

Wykres

4. Wnioski

Ten mechaniczny model rozkładu jakim jest tablica Galtona pozwala wyraźnie stwierdzić mechanizmy rządzące prawami rozkładu i hierarchią zdarzeń prawdopodobnych. Ten mechaniczny przykład jest jednym z najbardziej obrazowych doświadczeń przez nas wykonywanych. Poza tym jest bodaj jedynym doświadczeniem gdzie dokładność obliczeń nie zależy od dokładności w pomiarach (trudno się pomylić przy liczeniu kulek).

---