Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)

Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu

niezawodności obiektu”.

dla rozkładu wykładniczego:

dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Oczekiwany pozostały czas zdatności

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu

zdatności
pod warunkiem, że w chwili t obiekt jest zdatny.

Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności

r(t) wyrazić charakterystyki funkcyjne niezawodności:

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t)

ulega niewielkim zmianom i dąży do:

Dla rozkładu wykładniczego:

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Niezawodność obiektów naprawialnych(odnawialnych)

Zakładamy, że:

1) proces taki powtarza się nieograniczenie,

2) T1, T2,…są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim

samym rozkładzie prawdopodobieństwa. Niech N(t) będzie

zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień)

powstałych do chwili t. uogólniając

,

Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo

wystąpienia n uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją

jest oczekiwana liczba tych zdarzeń E[N(t)].

Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla
oznaczaną

H(t)i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i

nazywamy ja gęstością odnowy.

H(t) spełnia poniższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę

równania odnowy (odnowienia).

Funkcję H(t) wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby

uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu [t1,t2], wynosi ona

H(t2)-H(t1)

Badając proces odnowy przy
korzysta się z

następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie F(t)

i skończonej wartości oczekiwanej E(T), to

Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu

dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni

odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi

życia obiektu.

Twierdzenie 2 (Blackwella)

Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej E(T) to dla > zachodzi:

Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń w

przedziale o długości  zależy tylko od długości przedziału i

średniego czasu życia obiektu.

Twierdzenie 3 (Smitha)Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną

losową o skończonej wartości oczekiwanej E(T) oraz wariancji D²(T)

to

Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)

Zmienne T1,T2,…oraz U1,U2,… są zmiennymi losowymi

niezależnymi o rozkładach odpowiednio:

;

WYMIANA W USTALONYM WIEKU

E(T_w) - oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;

w-stały okres

C(w) - jednostkowy koszt utrzymania obiektu; a - koszt

wymiany profilaktycznej; b - koszt naprawy

E(T_u) - oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia

lub wymiany)