Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:
matematyczne
fizyczne
Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.
Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.
Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:
Gdzie:
l - długość nici,
m - masa ciała,
θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem
A - amplituda siły wymuszającej
ωD - częstość siły wymuszającej
γ - współczynnink oporu ośrodka
Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.
Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:
Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą równanie, otrzymuje postać:
Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:
Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.
Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:
gdzie E(k,φ) jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:
.
W ogólności ruch wahadła rozpatruje się jako drgania, odpowiednio swobodne, tłumione, wymuszone.
Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.
Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:
Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:
,
wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l0
gdzie:
d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
m - masa ciała