Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne

• fizyczne

Wahadło matematyczne [edytuj]

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

Gdzie:

• l - długość nici,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• m - masa ciała,

• θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem

• A - amplituda siły wymuszającej

• ω_D - częstość siły wymuszającej

• γ - współczynnink oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą równanie, otrzymuje postać:

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:

gdzie E(k,φ) jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

.

W ogólności ruch wahadła rozpatruje się jako drgania, odpowiednio swobodne, tłumione, wymuszone.

Wahadło fizyczne [edytuj]

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l₀

gdzie:

• d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

• m - masa ciała

---