1. Wstęp

Celem doświadczenia jest zapoznanie się z wybranymi zjawiskami występującymi przy rozchodzeniu się mikrofal. Pomiary wykonane przez nasz zespół dotyczyły zjawiska odbicia spolaryzowanej fali elektromagnetycznej od powierzchni dielektryka oraz sprawdzenia prawa Malusa.

Mikrofale to rodzaj promieniowania elektromagnetycznego o długości fali pomiędzy podczerwienią i falami ultrakrótkimi, zaliczane są do fal radiowych. Przyjęto,
że odpowiada im zakres od 1 mm (częstotliwość 300 GHz) do 30 cm (1 GHz). Promieniowanie takie wytwarzane jest zazwyczaj za pomocą klistronów, magnetronów lub maserów. Stosuje sie je na przykład w kuchenkach mikrofalowych do podgrzewania żywności, w radiolokacji, w radarach - do wyznaczania prędkości obiektów, oraz
w badaniach fizycznych - w spektroskopii dielektryków oraz badaniach plazmy.
W chemii mikrofale emitowane przez reaktory mikrofalowe służą do zwiększania szybkości reakcji chemicznych.

Taki zakres długości predysponuje je do łatwej analizy zjawisk falowych.
W porównaniu z promieniowaniem widzialnym mikrofale mają długości fal około 105 razy większą. W związku z tym w przypadku mikrofal zmienia się skala eksperymentów. Nie musimy używać precyzyjnych przyrządów, wystarczy,
że szerokość szczeliny polaryzatora będzie równa około 1 cm, a zjawisko zmiany kierunku polaryzacji fali będzie wyraźnie obserwowalne. Podobnie ma się sprawa
z doświadczeniami dotyczącymi dyfrakcji i interferencji.

Pierwsza część naszego doświadczenia dotyczy odbicia fali od płyty wykonanej
z dielektryka. Na podstawie twierdzeń o cyrkulacji wektorów natężenia pola elektrycznego E oraz wektora pola magnetycznego H, a także praw Gaussa dla wektorów indukcji elektrycznej D i magnetycznej B, możemy uzyskać związki pomiędzy ich składowymi (w przypadku przenikania pola elektrycznego
i magnetycznego przez granicę dwóch ośrodków) i zastosować je do analizy pola elektrycznego i magnetycznego fali elektromagnetycznej, jeśli tylko ta fala jest spolaryzowana w określonej płaszczyźnie. W praktyce dowolnie spolaryzowaną falę wygodnie jest przedstawić w postaci sumy dwu fal spolaryzowanych w taki sposób,
że drgania wektora E zachodzą odpowiednio w płaszczyźnie prostopadłej i równoległej. Po wszelkich przekształceniach (których szczegółowo tu nie przytaczamy, są one zawarte w odnośniku [2]) otrzymujemy równania na szukane stosunki amplitud pola elektrycznego E. Uwzględniając, że natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy, otrzymujemy równania (1) i (2)

(1)

(2)

gdzie I_P i I_OP są natężeniami odpowiednio fali odbitej i padającej o polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny dielektryka (płyty), I_S i I_OS są natężeniami odpowiednio fali odbitej i padającej o polaryzacji równoległej do płaszczyzny dielektryka (płyty) natomiast α i β są kątami odpowiednio padania i odbicia fali.

Po analizie wzoru (1) możemy dojść do wniosku, że dla tak dobranej wartości kąta
α, aby α+β=π/2, światło o polaryzacji prostopadłej nie odbija się od granicy ośrodków (ponieważ tg(π/2)→+∞, to wartość wyliczona ze wzoru (1) dąży do 0). W tych warunkach (oznaczając jako α_g kąt dla którego zachodzi to zjawisko) współczynnik załamania światła wyrazi się wzorem (3).

(3)

Wartość kąta α_g nazywamy kątem Brewstera. Gdy kąt padania przyjmuje wartość równą kątowi Brewstera, światło odbite jest całkowicie spolaryzowane (równolegle!
do płaszczyzny płyty z dielektryka, bo nie ma składowej prostopadłej wektora E).

Druga część naszego doświadczenia dotyczy badania prawa Malusa. Jeżeli rozważymy niespolaryzowaną falę elektromagnetyczną, padającą na dwa polaryzatory nałożone na siebie w ten sposób, że ich szczeliny tworzą ze sobą pewien kąt
α, to możemy zastanowić się jakie będzie natężenie fali przechodzącej przez oba polaryzatory w zależności od tego kąta. Właśnie ta zależność opisana jest tzw. prawem Malusa (4)

(4)

gdzie I jest natężeniem fali przechodzącej przez oba polaryzatory, a I₀ jest natężeniem padającej fali (emitowanej przez nadajnik). Jak łatwo wywnioskować, dla kąta
α równego 0, otrzymamy maksymalne możliwe natężenie, a dla kąta π/2 nie zarejestrujemy fali (nastąpi wygaszenie). Oczywiście nie rozważamy tutaj kierunku drgań wektora E (który zwyczajowo określa kierunek polaryzacji, gdyż to on jest
w głównej mierze odpowiedzialny za oddziaływanie z materią), a całkowite (!) natężenie fali docierającej do detektora po przejściu przez polaryzatory.

rys.1. Przechodzenie fali elektromagnetycznej o natężeniu
E_N z nadajnika przez polaryzator ustawiony pod kątem α względem osi diody emisyjnej nadajnika. Po przejściu przez polaryzator pozostaje jedynie składowa E_P fali równoległa do szczelin polaryzatora.

rys.2. Rejestrowanie składowej fali E_P przez odbiornik. W zależności od orientacji odbiornika: „pionowej” lub „poziomej” (przeciwnej lub zgodnej z orientacją nadajnika), będziemy rejestrować składową fali E_RP, lub E_RZ docierającej z polaryzatora fali o natężeniu E_P.

Przyjrzyjmy się teraz rysunkom 1 i 2. Gdy orientacja osi diody emisyjnej w nadajniku jest „pozioma”, to zgodnie z rys.1 do polaryzatora dociera fala o natężeniu E_N (tu już rozważamy fale spolaryzowane, czyli jednym z naszych dwóch polaryzatorów jest sam nadajnik, który emituje falę spolaryzowaną liniowo - w przypadku rys.1 o polaryzacji „poziomej”). Możemy ją rozłożyć na składową prostopadłą do szczelin polaryzatora (niezaznaczonej, aby nie zamazywać rysunku), oraz na równoległą do tych szczelin E_P. Jak widać z rys.1 ową składową równoległą E_P możemy opisać wzorem (5)

(5)

gdzie α jest kątem pomiędzy osią diody emisyjnej, a kierunkiem szczelin polaryzatora (analogia do kąta pomiędzy dwoma polaryzatorami jak przy prawie Malusa). Teraz spójrzmy na rys.2. Do naszego detektora z polaryzatora dociera tylko składowa E_P fali wysyłanej przez nadajnik. Teraz to tę właśnie składową powinniśmy rozłożyć na dwie składowe, „poziomą” E_RZ (w kierunku zgodnym z kierunkiem osi diody emisyjnej)
i „pionową” (prostopadłą do kierunku osi diody emisyjnej) E_RP. Jak widać w zależności od orientacji osi diody absorpcyjnej (w detektorze), będziemy odbierać falę albo
o natężeniu E_RZ, albo E_RP. Na podstawie rys.2 możemy zapisać wzory na obie składowe w zależności od kąta obrotu polaryzatora α (6) i (7).

(6)

(7)

Mamy zatem tutaj trochę inną sytuację, niż tą opisaną prawem Malusa. Różnica polega na tym, że jak już wspomniano pierwszym polaryzatorem jest sam nadajnik,
a po przejściu przez drugi polaryzator (płytę ze szczelinami), falę o natężeniu E_P (której amplituda wynika właśnie z prawa Malusa) rozkładamy jeszcze raz na składowe, które to dopiero za pośrednictwem kierunkowego (zależnego od polaryzacji) detektora rejestrujemy. Nie mniej, jeżeli wzory (6) i (7) okażą się słuszne, będziemy mogli uznać za słuszny wzór (4), który wynika ze wzoru Malusa (gdyż podniesiona do kwadratu amplituda fali E jest proporcjonalna do jej natężenia I).

2. Układ pomiarowy i przebieg wykonania ćwiczenia

Podczas doświadczenia mieliśmy do dyspozycji generator mikrofal (klistron zakończony anteną tubową wraz a zasilaczem), detektor kierunkowy (diodę zabudowaną w falowodzie zakończonym anteną tubową), miliwoltomierz o dużej rezystancji wewnętrznej, stół z uchwytem i ramionami prowadzącymi przeznaczony
do pomiarów w układzie biegunowym, ławę optyczną, soczewki, płyty z różnych materiałów oraz polaryzator w postaci drucianej siatki.

Zastosowany klistron refleksowy (lampa elektronowa wyposażona w wewnętrzny rezonator mikrofalowy) generuje oscylacje pola elektrycznego o częstotliwości około 9450 MHz. Oscylacje prądu w antenie ćwierćfalowej wyprowadzonej przez ściankę
do wnętrza falowodu powodują przepływ prądów w ściankach falowodu. W ich wyniku w falowodzie powstaje i rozchodzi się fala elektromagnetyczna. Wypromieniowanie energii (o mocy około 25 mW) z falowodu następuje za pośrednictwem anteny tubowej stanowiącej jego zakończenie. Fala jest spolaryzowana (rys.3). Wzbudzanie generacji
w klistronie następuje poprzez dobranie właściwego napięcia reflektora.

rys.3. Polaryzacja mikrofal przy pionowym ustawieniu osi diody nadajnika.

Do detekcji natomiast wykorzystujemy diodę półprzewodnikową. Uzyskany z niej sygnał napięciowy jest proporcjonalny amplitudy wektora natężenia pola elektrycznego fali elektromagnetycznej E. Ponieważ wartość mierzonego sygnału zależy od orientacji osi diody, możemy wyznaczyć i badać rejestrowany sygnał w zależności od kierunku polaryzacji fali elektromagnetycznej. Szczegółowej instrukcji obsługi zasilacza nie umieszczamy w raporcie, ponieważ znajduje się ona w instrukcji do niniejszego ćwiczenia.

Pierwsza część doświadczenia dotyczy zjawiska odbicia fali od płyty wykonanej
z dielektryka. Na stole z uchwytem i ramionami umieszczamy nadajnik (klistron zakończony anteną tubową), detektor (odbiornik), soczewki (mające za zadanie poprawę spójności wiązki emitowanej przez nadajnik - mają niwelować rozproszenie tej wiązki) oraz płytę z badanego dielektryka zgodnie z rys.1.

Odbiornik ustawiamy na ramieniu w osi nadajnika, w takiej samej odległości
od osi obrotu podstawy w jakiej ustawiono nadajnik. Uzgadniamy kierunki polaryzacji nadajnika i odbiornika. Dobieramy położenia soczewek tak, aby uzyskać maksimum sygnału w detektorze. Przebieg pomiaru polega na przesuwaniu ramienia z detektorem
i płyty tak aby uzyskać odbicie zwierciadlane w zakresie kątów od 15° do 80°. Przy każdym ustawieniu mierzymy natężenie fali odbitej od dielektryka (płyty)
i od powierzchni metalowej płyty (przewodzącej, a więc całkowicie odbijającej, którą po prostu zasłaniamy płytę z dielektryka). Pomiary przeprowadzamy dla obu polaryzacji: „poziomej” i „pionowej” tzn. prostopadłej i równoległej do powierzchni dielektryka. W obu przypadkach odbiornik i nadajnik muszą mieć zgodne polaryzacje.

rys.1. Schemat układu do wyznaczania współczynnika odbicia.

Na podstawie pomiarów wyznaczamy względne natężenie fali odbitej w funkcji kąta padania dla obu wariantów polaryzacji nadajnika i odbiornika. Obliczamy je jako stosunek natężenia promieniowania odbitego od powierzchni dielektryka (płyty)
do natężenia promieniowania odbitego od płyty metalowej. To względne natężenie fali elektromagnetycznej, spolaryzowanej liniowo, od powierzchni dielektryka określają tzw. wzory Fresnela (nasze wzory (1) i (2)). Celem głównym tej części jest znalezienie kąta Brewstera i eksperymentalne sprawdzenie zgodności z doświadczeniem
wzorów Fresnela.

Druga część doświadczenia dotyczy prawa Malusa. Sprawdzamy jak natężenie promieniowania przepuszczanego przez polaryzator zależy od kąta ustawienia polaryzatora względem kierunku polaryzacji fali wysyłanej przez nadajnik.

W celu przeprowadzenia pomiarów nadajnik, polaryzator i odbiornik umieszczamy
na ławie optycznej. Odbiornik ustawiamy wzdłuż osi nadajnika oraz uzgadniamy kierunki polaryzacji nadajnika i odbiornika. Pomiary polegają na obrocie polaryzatora
i odczytywaniu wartości mierzonych napięć (obserwacji dokonujemy dla dwóch, wzajemnie prostopadłych względem siebie, orientacji nadajnika i odbiornika, tzn. nadajnik zawsze ma polaryzację „poziomą” a odbiornik raz „poziomą” a raz „pionową”). Następnie nasze wyniki musimy zweryfikować z przewidywaniami teorii, czyli z naszymi wzorami (6) i (7).

3. Tabele z wartościami wielkości zmierzonych w trakcie eksperymentu

Tabela 1. Pomiary dla 1 części doświadczenia: badania fali odbitej od powierzchni dielektryka.

kąt α [°]	IP/IOP [-]	IS/IOS [-]
15	0,0290	0,0340
20	0,0257	0,0367
25	0,0226	0,0400
30	0,0189	0,0460
35	0,0147	0,0530
40	0,0103	0,0618
45	0,0055	0,0744
50	0,0015	0,0918
55	0,0000	0,1167
60	0,0029	0,1499
65	0,0150	0,2010
70	0,0453	0,2589
75	0,1098	0,3655
80	0,2400	0,5000

Tabela 2. Pomiary dla 2 części doświadczenia: prawo Malusa

kąt α [°]	ERZ [V/m]	ERP [V/m]	ERZ/EN [-]	ERP/EN [-]
90	0,1120	0,0008	0,2286	0,0016
85	0,1125	0,0210	0,2296	0,0429
80	0,1125	0,0585	0,2296	0,1194
75	0,1150	0,0980	0,2347	0,2000
70	0,1250	0,1330	0,2551	0,2714
65	0,1400	0,1680	0,2857	0,3429
60	0,1555	0,1970	0,3173	0,4020
55	0,1800	0,2185	0,3673	0,4459
50	0,2155	0,2285	0,4398	0,4663
45	0,2475	0,2350	0,5051	0,4796
40	0,2900	0,2335	0,5918	0,4765
35	0,3320	0,2250	0,6776	0,4592
30	0,3710	0,2140	0,7571	0,4367
25	0,4090	0,1870	0,8347	0,3816
20	0,4410	0,1530	0,9000	0,3122
15	0,4630	0,1140	0,9449	0,2327
10	0,4805	0,0750	0,9806	0,1531
5	0,4875	0,0355	0,9949	0,0724
0	0,4900	0,0060	1,0000	0,0122

4. Opracowanie wyników

Zacznijmy od pierwszej części doświadczenia. W Tabeli 1 zestawiono wyliczone już względne natężenia fali odbitej. Skorzystano oczywiście, z tego że natężenie fali I jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali E, do której proporcjonalny jest sygnał
z detektora. W pierwszej kolumnie zestawiono wartości kątów padania fali α, w drugiej względne natężenia fali odbitej przy wariancie padania fali prostopadle do płaszczyzny płyty, a w ostatniej względne natężenia fali odbitej przy wariancie padania równolegle do płaszczyzny płyty. Dla danych z drugiej kolumny musimy znaleźć minimum,
aby wyznaczyć kąt Brewstera ze wzoru (3). Widać wyraźne minimum dla kąta
α równego 55°. Możemy zatem obliczyć współczynnik załamania materiału, z którego wykonano płytę z przekształconego wzoru (3), mianowicie ze wzoru (8)

(8)

gdzie n₂ jest bezwzględnym współczynnikiem załamania materiału dielektrycznego
(z którego wykonano płytę), a n₁ jest bezwzględnym współczynnikiem załamania powietrza równym 1. Wyznaczona z tego wzoru wartość n₂ wynosi 1,43. Znając ten współczynnik i prawo załamania (9) możemy przekształcić je tak by znaleźć kąty załamania fali β w funkcji kąta α (10), a następnie wyznaczyć wartości względnych natężeń fali odbitej wyliczonych ze wzorów (1) i (2) i porównać je z wynikami eksperymentu.

(9)

(10)

Teraz zajmijmy się Tabelą 2. W pierwszej kolumnie zestawiono wartości kąta pomiędzy osią diody emisyjnej, a szczelinami polaryzatora. W drugiej i trzeciej zestawiono natężenia rejestrowane przez detektor przy wariancie ustawienia odbiornika zgodnie z polaryzacją nadajnika i prostopadle do tej polaryzacji. Patrząc na wzory
(6) i (7) dochodzimy do wniosku, że podobnie jak w przypadku 1 części doświadczenia, możemy wyznaczyć względne amplitudy fali odbieranej i porównać
je z przewidywaniami teorii. Patrząc na wzory (11) i (12) (przekształcone wzory
(6) i (7)) widać że otrzymane na ich podstawie wartości możemy porównać
z wykresami dwóch funkcji trygonometrycznych i sprawdzić czy układają się one blisko tych wykresów.

(11)

(12)

W kolumnach czwartej i piątej zestawiono właśnie względne amplitudy fali. Jako wartość E_N - sygnału nadajnika - przyjęto wartość natężenia dla kąta 0° dla wariantu zgodnej polaryzacji nadajnika i detektora.

5. Wykresy

wykres 1. Zależność względnego natężenia fali odbitej w funkcji kąta padania dla obu wariantów polaryzacji: równoległej i prostopadłej do powierzchni płyty z dielektryka.

wykres 2. Zależność względnej amplitudy fali odbieranej w funkcji kąta pomiędzy kierunkiem osi diody nadawczej a kierunkiem szczelin polaryzatora dla wariantu zgodnej i prostopadłej polaryzacji nadajnika i odbiornika.

6. Wnioski

Zajmijmy się najpierw wykresem 1. Ciągłe linie czarna i szara ilustrują zależność względnego natężenia fali odbitej w zależności od kąta padania dla polaryzacji odpowiednio równoległej i prostopadłej do powierzchni dielektryka wyliczone
na podstawie teoretycznych zależności (1) i (2). Czarne i szare znaczniki odpowiadają punktom doświadczalnym (wynikom eksperymentu). Widać wyraźnie, że znaczniki leżą niemalże na wykresach zależności teoretycznych. Pozwala nam to stwierdzić słuszność przewidywań teorii z eksperymentem i poprawność wzorów Fresnela.

Na wykresie drugim czarne i szara linia przedstawia przebieg dwóch funkcji trygonometrycznych ze wzorów (11) i (12). Czarne i szare znaczniki odpowiadają natomiast punktom doświadczalnym (wynikom eksperymentu). Widać,
że dla przypadku wzajemnie prostopadłych polaryzacji nadajnika i odbiornika (czarne znaczniki i linia) znaczniki leżą blisko teoretycznej zależności, co pozwala nam uznać wzór (12) za całkowicie słuszny. Dla przypadku zgodnych polaryzacji (szara linia
i znaczniki) znaczniki dla kątów powyżej 55° zaczynają wyraźnie odchylać
się od teoretycznej zależności. Może to być spowodowane jakością naszego polaryzatora. Po prostu szczeliny nie były idealnie dopasowane do długości fali emitowanej przez klistron wskutek czego nasz polaryzator przepuszczał więcej niż wynika to z teoretycznej zależności. Kształt jednak w jaki układają się punkty eksperymentalne pozwala stwierdzić słuszność wzoru (11). Zatem słuszne jest również nasze prawo Malusa opisane wzorem (4).

Pomiar nasz dał całkiem akceptowalne i zgodne z teorią wyniki. Sam sposób pomiaru był jednak nieco uciążliwy. Wskazania miliwoltomierza cały czas się zmieniały
i przyrząd się nie stabilizował. Wskazania trzeba było brać na przysłowiowe „oko”, tak więc mimo, że dysponowaliśmy dokładnością pomiaru rzędu czwartego miejsca
po przecinku, dane z tabel w zasadzie należy uważać za wiarygodne najwyżej
co do trzeciego miejsca po przecinku. Jak widać jednak z wykresów, udało nam się dobrze odczytywać średnie wskazania „wahającego” się przyrządu. Pomiar można
by poprawić np. zaprzęgając komputer, który rejestrowałby wskazania miliwoltomierza np. przez 10 s i następnie wyliczał wartość średnią. Ludzkie oko nie jest do tego celu najlepszym narzędziem. Poza tym pomiar powinno się przeprowadzać w izolowanym pomieszczeniu, tak aby fale z innych urządzeń służących do innym ćwiczeń
na pracowni nie zakłócały dodatkowo i tak niestabilnych wskazań.

7. Literatura

1. Laboratorium Fizyki - Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki, red. Sylwester Kania, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2007, str. 31-39.

2. Pracownia Fizyczna, Henryk Szydłowski, PWN, Warszawa 1989, str. 321-323, 328-335.

10

dioda nadajnika

kierunek propagacji

drgania

wektora E

---