Marcin Krzemiński
Grupa PZ-5/II
Nr indeksu 15273
ELEMENTY KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ
Klasyczny rachunek zdań jest najprostszą, a zarazem najbardziej podstawową teorią logiczną. Teoria ta sformułowana jest w języku sztucznym.
Języki sztuczne w przeciwieństwie do języków naturalnych, a więc takich jak potoczny język polski, rosyjski, angielski charakteryzują się tym, że:
są przez człowieka tworzone w ściśle określonych celach,
wyrażenia maja ustalone znaczenia nie przez zwyczaj językowy, lecz przez wyraźnie przyjętą konwencję.
Język rachunku zdań służy do analizy logicznej zdań złożonych oraz do badania rozumowań. W rachunku zdań dowolne zdania w sensie logicznym symbolizuje się literami:
p, q, r, ... zwanymi zmiennymi zdaniowymi. Oprócz zmiennych zdaniowych w języku klasycznego rachunku zdań występują spójniki logiczne , których znaczenie zostaje ustalone przez podanie, jak wartości logiczna zdania złożonego zależy od wartości logicznej zdań składowych.
Pojęcie spójnika w logice.
Spójnik w logice rozumiany jako wyrażenie, za pomocą którego ze zdań lub tylko jednego zdania możemy utworzy nowe zdanie. Wyrażenia: nieprawda, że …,faktem jest, że …, wiem, że …są spójnikami w sensie logicznym, gdyż poprzedzając nimi dowolne zdanie w sensie logicznym otrzymujemy znowu zdanie w sensie logicznym. Na przykład zdanie: Wrocław leży nad Odrą, poprzedzając je kolejno wymienionym spójnikami otrzymamy zdania
Nieprawda, ze Wrocław leży nad Odrą.
Faktem jest, że Wrocław leży nad Odrą.
Wiem, że Wrocław leży nad Odrą.
Zdanie (1) jest fałszywe, zdanie(2) jest prawdziwe, zaś wartość logiczna zdania(3) zależy również od tego, kto zdanie wypowiada, czyli od pewnego kontekstu sytuacyjnego. Zdanie (3) wypowiedziane przez dziecko w przedszkolu, może okazać się zdaniem fałszywym. Wymienione wyżej spójniki są przykładami spójników jednoargumentowych, to znaczy służą one do budowania zdania z tylko jednego zdania wyjściowego. Z kolei wyrażenia takie, jak: jeżeli … to …, … lub …, … oraz …, … i …, są spójnikami dwuargumentowymi, gdyż łączą dwa zadnia w jedno zdanie złożone. Ogólnie: spójnik jest tylu argumentowy, ile zdań łączy w jedno zdanie złożone.
Prawdziwościowa charakterystyka spójników logicznych
Spójnik negacji
Spójnik negacji służy do zaprzeczania (negowania) zdania wyjściowego. Na ogół w języku polskim, gdy chcemy zaprzeczy dowolnemu zdaniu prostemu p, to mówimy - nie p.
Na przykład, aby zaprzeczy zdaniom: (padał deszcz, pójdę do przedszkola) mówimy ( nie padał deszcz, nie pójdę do przedszkola). Aby zaś zanegować zdanie złożone, używamy zwykle jako spójnika negacji wyrażeń: nieprawda, że …, nie jest tak, że …. Aby na przykład zaprzeczyć zdaniom: (1) Jeżeli ułożysz zabawki to pójdziesz na spacer, (2) Będziesz śpiewał lub słuchał opowiadania, możemy powiedzieć nieprawda, że jeżeli ułożysz zabawki to pójdziesz na spacer, nie jest tak, że będziesz śpiewał lub słuchał opowiadań. Poprzedzenia zdania spójnikiem negacji jest ogólną metodą zaprzeczania dowolnym zdaniom. Często ze względów stylistycznych niezręcznie jest, aby w każdym przypadku zaprzeczać zdaniom przez poprzedzenie ich spójnikiem negacji. Stylistyka polska oraz prawa logiki pozwalają w niektórych przypadkach zaprzecza zdaniom w inny sposób. Na przykład, żeby zaprzeczy zdaniu: Marek jest przedszkolakiem, wystarczy powiedzieć Marek nie jest przedszkolakiem. Aby zaś zaprzeczy kolejno zdaniom (1) i (2), możemy powiedzieć: ułożysz zabawki i nie pójdziesz na spacer, nie będziesz śpiewał i nie będziesz słuchał opowiadania.
Symbolicznie negację zdania p zapisujemy: ~ p i charakteryzujemy ją za pomocą tabelki:
p |
~ p |
0 |
1 |
1 |
0 |
Spójnik koniunkcji
Spójnikiem koniunkcji nazywamy wyrażenie, które łączy dwa dowolne zdania w ten sposób, iż zdanie złożone jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa zdania składowe są prawdziwe.
Koniunkcję zdań p, q symbolicznie zapisujemy p^q i czytamy p i q bądź p oraz q.
Koniunkcję charakteryzujemy za pomocą tabelki:
p |
q |
p^q |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Przykłady koniunkcji w języku polskim: zdam egzamin z logiki oraz zdam egzamin z socjologii, uczyłem się, a nie zdałem egzaminu, pójdziemy na podwórko i weźmiemy ze sobą piłkę. Przytoczone zdania złożone są prawdziwe dokładnie wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe. Z w/w przykładów zdań widać, że rolę spójnika koniunkcji w języku polskim na ogół spełniają takie wyrażenia jak: i, oraz a, lecz, zaś, mimo że, a także znaki interpunkcyjne, jak przecinek itp.
Spójnik alternatywy
Spójnikiem alternatywy nazywamy wyrażenie, które łączy dwa dowolne zdania w ten sposób, iż zdanie powstałe jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań składowych jest prawdziwe. Alternatywę zdań p, q zapisujemy symbolicznie pVq i charakteryzujemy tabelką:
p |
q |
pVq |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Jeżeli więc alternatywa jest prawdziwa, to tym samym przynajmniej jedno z jej zdań składowych jest prawdziwe, natomiast gdy alternatywa jest fałszywa to tym samym oba jej zdania składowe są fałszywe. W języku polskim alternatywami są zdania: zdam egzamin z logiki lub zdam egzamin z socjologii, pójdę na studia lub podejmę pracę zawodową, pojadę autobusem bądź spóźnię się do pracy o ile spójniki lub, bądź są rozumiane zgodnie z tabelką dla V. Spójnik lub w mowie potocznej jest wieloznaczny. Na przykład wypowiedzi: jutro pojadę do pracy samochodem lub jutro pojadę do pracy pociągiem, spójnik lub rozumiany jest dokładnie jako jedno z dwojga, czyli jako spójnik tzw. alternatywy rozłącznej. Alternatywa rozłączna jest prawdziwa wtedy, gdy dokładnie jedno z jej zdań składowych jest prawdziwe. W języku polskim spójnikiem alternatywy rozłącznej jest wyrażenie albo … albo …. Przykładem alternatywy rozłącznej mogą być wypowiedzi: albo pójdę jutro do pracy, albo jutro nie pójdę do pracy, albo dziecko będzie odebrane z przedszkola zaraz po obiedzie albo będzie leżakowało.
Spójnik implikacji
Spójnik implikacji jest to wyrażenie, które łączy dwa dowolne zdania w taki sposób, że zdanie powstałe jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsze z tych zdań, zwane poprzednikiem implikacji jest prawdziwe zaś drugie zwane następnikiem tej implikacji, jest fałszywe.
Charakterystykę tę zapisujemy:
p |
q |
p=>q |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Wiele twierdzeń różnych nauk sformułowanych jest w postaci implikacji, jak na przykład: jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to jest parzysta, jeżeli na ciało nie działa żadna siła, to ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku. Również prawo Archimedesa, twierdzenie Talesa i inne prawa nauki sformułowane są w postaci implikacji.
Spójnik równoważności
Oprócz spójników negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji - w elementarnym wykładzie logiki na ogół rozważa się jeszcze spójnik materialnej równoważności. W języku polskim wyraża się go za pomocą takich zwrotów jak: … wtedy i tylko wtedy, gdy …, … zawsze i tylko wtedy, gdy …, … dokładnie wtedy, gdy …. Przykłady zdań w postaci równoważności: 1) zdam egzamin z matematyki wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiążę samodzielnie po 20 zadań z każdego z przerabianych działów tej nauki, 2) liczba jest podzielna przez 3 zawsze i tylko wtedy, gdy sumy kątów przeciwległych są równe, 3) Na czworokącie daje się opisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy kątów przeciwległych są równe. Symbolicznie materialną równoważno zdań p, q zapisujemy: p<=>q i charakteryzujemy za pomocą prawdy i fałszu w następujący sposób:
p |
q |
p<=>q |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Zapisywanie zdań mowy potocznej za pomocą formuły rachunku zdań
Język klasycznego rachunku zdań
Przez słownik danego języka w logice rozumie się zbiór znaków najprostszych tego języka, czyli takich, które nie podlegają już dalszej analizie logicznej. Do słownika języka klasycznego rachunku zdań należą:
zmienne zdaniowe: p, q, r …
spójniki: ~, ^,V,=>, <=> (odpowiednio negacja, koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność)
znaki pomocnicze (,).
Zapisywanie zdań mowy potocznej za pomocą schematów będących formułami rachunku zdań.
Zdania proste połączone są spójnikami w jedno zdanie złożone.
Przykład: (1) Nieprawda, że jeżeli będziesz chory, to pójdziesz na wycieczkę. Dla zapisania tego zdania za pomocą schematu rachunku zdań, oznaczamy poszczególne zdania proste występujące w zdaniu (1) zmiennymi zdaniowymi: p - będziesz chory, q - pójdziesz na wycieczkę. Przy tych oznaczeniach zdanie (1) przedstawiamy: nieprawda, że jeżeli p to q, co w języku rachunku zapisujemy: S1 ~(p=>q). Zdanie (1) jest więc negacją implikacji.
(2) Jeżeli nauczysz się deklamować wiersz Rzeczka lub śpiewa piosenkę Wlazł kotek na płotek, to opowiem Ci bajkę O szklanej górze. W tym celu oznaczamy zmiennymi zdaniowymi zdania proste wchodzące w skład zdania (2): p - Nauczysz się deklamować wiersz Rzeczka, q - Nauczysz się śpiewać piosenkę Wlazł kotek na płotek, r - Opowiem ci bajkę O szklanej górze. Z logicznego punktu widzenia zdanie (2) ma budowę: jeżeli (p lub q) to r, co symbolicznie zapisujemy S2 (pVq)=>r. Zdanie (2) jest więc z punktu widzenia logicznej budowy implikacją, która w poprzedniku ma alternatywę.
Z przytoczonych przykładów wnosimy, że aby przedstawić, jak zdanie złożone zbudowane jest ze zdań prostych, najpierw oznaczamy poszczególne zdania składowe zmiennymi zdaniowymi, a następnie budujemy w języku rachunku zdań formułę reprezentującą dane zdanie złożone.
Tautologie klasycznego rachunku zdań
Tautologiami klasycznego rachunku zdań nazywamy takie formuły zapisane w języku tego rachunku, które są schematami wyłącznie prawdziwych zdań. Tautologie klasycznego rachunku zdań nazywane też bywają inaczej prawami klasycznego rachunku zdań lub prawami logiki zapisanymi w języku rachunku zdań. Tautologia nie jest zdaniem tylko schematem zdań i to schematem wyłącznie prawdziwych zdań, czerpiącym swą prawdziwość ze sposobu połączenia zdań prostych spójnikami logicznymi. Wyróżniamy tautologie dotyczące zdań sprzecznych, prawo transpozycji, tautologie dotyczące zaprzeczania zdaniom złożonym.