Malwina Winiarska 28.11.2000.

Rok I gr.8

Kier. Budownictwo

Doświadczenie 7

1.Cel doświadczenia

Celem doświadczenia jest badanie drgań wahadła sprężynowego.

2.Teoria.

Ruch drgający harmoniczny.

Ruch drgający jest to ruch , w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze ( np. wahadło w zegarze , ciężarek zawieszony na sprężynie ).Szczególnym przykładem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny prosty. Ruch ten występuje gdy siła działająca na ciało drgające jest proporcjonalna do wychylenia ciała od położenia równowagi i przeciwnie do niego skierowana. Równanie ruchu punktu o masie m , poddanego działaniu takiej siły, jest następujące:

ma = - kx

a - przyspieszenie masy m

x - wychylenie masy od równowagi

k - współczynnik proporcjonalności

Gdy przyspieszenie a wyrazimy jako drugą pochodną x(t), to:

a = d²x / dt² = - (k / m )x

którego rozwiązaniem jest funkcja:

x = A cos (ωt + ϕ )

Ruch harmoniczny prosty jest to taki ruch , w którym współrzędna opisująca ruch ciała zmienia się okresowo w sposób sinusoidalny.

ϕ - faza początkowa ruchu; kąt, określający wartość współrzędnej x w chwili t=o

A - amplituda drgań (maksymalne wychylenie ciała drgającego od położenia równowagi)

ω - częstość kołowa drgań spełniająca zależność:

ω = 2π / T = 2πƒ

T - okres

ƒ - częstotliwość drgań (ƒ = 1/T )

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym prostym można wyrazić wzorem:

a = - ω²x

zaś prędkość:

ω = ( k / m )^1/2

czyli częstość kołowa równa jest pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu współczynnika k i masy m .

Ruch drgający ciała zawieszonego na sprężynie.

Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, które jest położeniem równowagi. Działają wtedy na niego dwie siły, które się wzajemnie równoważą:

ciężkości - P = mg (działa pionowo w dół )

sprężystości F₀ = - kx₀ (działa przeciwnie do kierunku odkształcenia). Zgodnie z prawem Hooka przy małych odkształceniach siła ta jest wprost proporcjonalna do odkształcenia x₀.

k - współczynnik sprężystości sprężyny

Współrzędne spoczynkowego odkształcenia x₀ otrzymamy z warunku równowagi: P + F₀ = 0.Wartości tych wektorów muszą być jednakowe:

mg = kx_o

Jeśli mamy dane x₀ i m możemy wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny k :

k = mg / x₀

Z poznanych już zależności możemy wywnioskować ,że:

T = 2π ( m / k )^1/2

Tak więc T zależy od : m, k. Nie zależy od początkowego wychylenia ciężarka od położenia równowagi. To, że okres drgań nie zależy od amplitudy A określone jest jako prawo izochronizmu wahadła sprężynowego. Jeżeli prawdziwe jest w/w prawo, to ciężarek raz wprawiony w drgania powinien poruszać się wiecznie. A jak wiemy tak nie jest.

Gdy nie pominiemy masy m_s, to wzór na okres drgań wahadła ma postać :

T = 2π [(m + 1/3m_s) / k]^1/2

3.Wykonanie doświadczenia.

Wyznaczanie współczynnika sprężystości i sprężyny.

1.Zawieszamy sprężynę na statywie i przymocowujemy do jej końca lekki plastykowy wskaźnik. Na podziałce liniowej połączonej ze statywem odczytujemy położenie poziomej kreski zaznaczonej na wskaźniku.

2.Do wskaźnika doczepiamy odważnik o znanej masie i ponownie odczytujemy położenie kreski wskaźnika. Obliczamy wydłużenie sprężyny.

3. Obliczamy ciężar zawieszonej masy i współczynnik sprężystości k .

4. Pomiary wykonujemy dla trzech różnych ciężarków i obliczamy średnią wartość k .

Wyniki umieszczamy w tabeli A.

Sprawdzenie prawa izochronizmu wahadła.

1.Obciążamy sprężynę odważnikiem, odciągamy go w dół i mierzymy czas kilkudziesięciu (n ) pełnych drgań wahadła. Dla tej samej amplitudy drgań pomiary powtarzamy trzykrotnie. Obliczamy średni czas n drgań, a następnie okres ruchu drgającego.

2. Pomiary okresu powtarzamy jeszcze przy dwóch innych, odpowiednio powiększonych amplitudach drgań.

Wyniki umieszczamy w tabeli B.

Wyznaczanie masy ciężarka.

Analogicznie jak powyżej, wyznaczamy okres drgań sprężyny obciążonej nieznaną masą m_x. Przekształcając wzór na T otrzymamy:

m = k (T² / 4π²) - 1/3m_s

Masa m jest sumą masy badanej m_x i masy wskaźnika m_w. Masę m_x obliczamy więc ze wzoru:

m_x = m - m_w = k ( T² / 4π² ) - 1/3m_s - m_w

Wyniki zostały umieszczone w tabeli C.

Tabela A.

Ciężarek		Położenie wskaźnika		Wydłużenie	Współczynnik
masa mi [kg]	ciężar Pi [N]	bez obciąż. loi [m]	z obciąż. li [m]	xoi = li - loi [m]	ki = Pi / xoi [N / m]
0.05	0.49	0.22	0.23	0.01	49
0.10	0.98	0.22	0.24	0.02	49
0.20	1.96	0.22	0.26	0.04	49
Wartość średnia współczynnika sprężystości k =( k1 + k2 + k3 ) / 3					49

Tabela B.

Amplituda Ai [m]	Czas n = 40 drgań ti [s]			Okres drgań T = tśr / n [s]
0.014	12.71	12.43	12.29	0.31
0.016	12.75	12.17	12.36	0.31
0.018	12.62	12.90	12.15	0.31

Tabela C.

Czas n = 40 drgań ti [s]		12.40	13.25	13.05
tśr = 12.90 s	Okres drgań T = tśr / n [s]		0.32

Masa sprężyny ms [kg]	0.0275	Masa wskaźnika mw [kg]	0.0055
Masa ciężarka oblicz. mx [kg]	0.11	Wynik ważenia ciężarka [kg]	0.0605
Błąd względny [kg]	0.0099	Błąd względny [%]

---