1.Klasyfikacja układów regulacji automatycznej.
Układy regulacji automatycznej można klasyfikować według różnych kryteriów:
1. Ze względu na cechę ( właściwość) liniowości : liniowe , nieliniowe
- układ liniowy spełnia zasadę superpozycji ; układu liniowe opisane są liniowymi równaniami algebraicznymi , różniczkowymi ( zwyczajnymi lub cząstkowymi ) , różnicowymi , całkowymi itd.
- układ nieliniowy nie spełnia zasady superpozycji ; układy nieliniowe opisane są nieliniowymi równaniami algebraicznymi , różniczkowymi ( zwyczajnymi lub cząstkowymi ) , różnicowymi , całkowymi
2. Ze względu na liczbę wejść i wyjść ( wielkości regulowanych ) :
- jednowymiarowe - układy jednej wielkości regulow. mające tylko jedno wejście i tylko jedno wyjście
- wielowymiarowe - ukł. przynajmniej dwóch wielk. regulow.mające więcej niż jedno wejście i wyjście
3. Ze względu na charakter sygnałów :
- układy ciągłe - układy , w których sygnały przesyłane są w sposób ciągły ; dynamiczne układy ciągłe opisane są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi lub cząstkowymi ( liniowymi lub nieliniowymi )
- układy dyskretne - nazywamy układy , w których przynajmniej jeden sygnał ma charakter dyskretny ; dynamiczne układy dyskretne są opisane równaniami różnicowymi liniowymi lub nieliniowymi
4. Ze względu na zadanie jakie mają spełniać :
- układy regulacji stałowartościowej - układy , których wielkość zadająca y0 (t) ma stałą wartość ( y0 (t) = const ( np. regulacja poziomu cieczy w zbiorniku )
- układy regulacji programowej - układu , których wielkość zadająca yo (t) jest znaną z góry funkcją czasu ( yo (t) zmienia się według znanego z góry programu )
- układy regulacji nadążnej - układy , których wielkość zadająca yo(t) nie jest znaną z góry funkcją czasu ,ale zależy od zjawisk występujących na zewnątrz układu ; w układzie nadążnym wielkość regulowana y(t) nadąża za zmianami yo (t)
- układy regulacji ekstremalnej - układy , w których wielkości regulowane przyjmują wartości ekstremalne ; regulację ekstremalną stosuje się do obiektów o charakterystykach statycznych ekstremalnych , tzn. będących krzywymi mającymi maksima lub minima
5. Ze względu na zdolność do samoczynnego dopasowywania parametrów i charakterystyk do zmieniających się właściwości obiektów i zakłóceń :
- układy zwykłe ( nie adaptacyjne ) -układy nie mające zdolności do samoczynnego dopasowywania parametrów i charakterystyka do zmieniających się właściwości obiektów i zakłóceń
- układy adaptacyjne - mają powyższą zdolność
6. Ze względu na kryterium jakości ( dobroci ) :
- układy nieoptymalne - układy które nie zapewniają ekstremalnej wartości wskaźnika jakości Q
- układy optymalne - układy zapewniające ekstremalną ( maksymalna lub minimalna ) wartość wskaźnika jakości Q
schemat blokowy ↓ Regulacja w układzie otartym.
u (t) urządzen. m (t) obiekt y(t) u(t) - wielkość zadana ; y(t) - wielkość regulowana
sterujace m (t) - wielkość sterująca ( regulująca)
y(t) ≡ u(t) ( utrzymanie wielkości reg. na poziomie przez wielkość zadaną )
urządz. ster → u(t) → m(t) ; obiekt → m(t) → y(t) ≡ u(t)
urządz. ster. - dobrane na zasadzie odwrotności do obiektu ( nieuniwersalne)
Wady : zakłócenia w układzie ( niedokładne działanie ) , zmienne obciążenie ( efekt ≠ zamiar )
Wniosek : układy regulacji otwartej są bardzo rzadko stosowane
schemat blokowy ↓ Regulacja w układzie zamkniętym.
u(t) + e(t) urządz. m (t) obiekt y(t) tor główny
ster. tor sprzężenia zwrotnego
tor główny → u(t) → y(t) ; tor sprzężenia zwrotnego → y(t) → wej. ukł.
Cel regulacji w układzie zamkniętym - regulacja automatyczna e(t) = u(t) - y(t) = 0
Nie posiada wad regulacji układu otwartego - powszechnie stosowany
2. Metody opisu układu liniowego ciągłego w dziedzinie czasu i częstotliwości .
1. Metody w dziedzinie czasu :
a) Równania różniczkowe
↑-------------------------- f (t) --------------------------↑
b) Odpowiedzi impulsowe
w(t) - odpowiedź impulsowa układu ( funkcja wagi , Diraca )
δ(t) w(t) (we) δ (t) → w(t) (wy) ⇒ δ( t + τ ) → w( t + τ ) ⇒
u(t) y(t) ⇒ u(τ) δ( t - τ ) → u (τ ) w( t - τ ) ⇒ ⇒
↑całka splotu
τ ≥ 0 ; t-τ ≥ 0 ⇒ τ ≤ t wówczas
c) Zmienne stanu
ponieważ x1 = y ;
zatem
⇒
⇒
[X] = [A] ⋅ [X] + [B] ⋅ [U]→ równanie stanu ; [Y] = [C] ⋅ [X] + [D] ⋅ [U]→ równanie wyjscia
Standardowy schemat blokowy w zmiennych stanu . ↓
2. Metody w dziedzinie częstotliwości :
a) Transformata Fouriera
b) Transformata Laplace'a
3. Transmitancja operatorowa i jej związek z odpowiedzią impulsową układu.
Schemat blokowy jednowymiarowego układu liniowego Niech dany będzie jednowymiarowy układ
liniowy stacjonarny o wymuszeniu u = u(t) i u(t) G( s ) y(t) odpowiedzi y = y(t) . Oznaczmy symbolem
Y(s) U(s) transformatę Laplace'a wymuszenia u(t) , a symbolem Y(s) -transformatę odpowiedzi y(t) .
Transmitancja operatorową G(s) jednowymiarowego układu liniowego stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określoną jako stosunek transformaty odpowiedzi Y(s) do transformaty wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach początkowych . G(s) = Y(s) / U(s) . Transmitancja operatorowa jest wielkością zespoloną zależną od parametrów układu i zmiennej zespolonej s. Dla układów liniowych stacjonarnych opisanych równaniami różniczkowymi liniowymi o stałych współczynnikach transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej s ( tj. ilorazem dwóch wielomianów ) o postaci : G(s) = L(s) / M(s) przy czym
;
; n ≥ m.
Pierwiastki L(s) = 0 nazywamy zerami , a pierwiastki M.(s) = 0 - biegunami transmitancji operatorowej
Transmitancja operatorową Gi j (s) między i-tym wyjściem i j-tym wejściem wielowymiarowego układu liniowego stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określoną jako stosunek transformaty i-tej odpowiedzi Yi (s) do transformaty j-tego wymuszenia Uj (s) przy założeniu , że warunki początkowe i wszystkie wymuszenia z wyjątkiem j-tego są równe zeru . Gi j (s) = Yi (s) / Uj (s) dla i = 1, 2 , … ,q
J = 1,2, … , p
W przypadku gdy na rozpatrywany układ działają jednocześnie wszystkie wymuszenia , i-ta odpowiedź jest sumą odpowiedzi wywołanych poszczególnymi wymuszeniami .Wówczas można napisać :
dla i = 1,2, … , q
Funkcja impulsowa ( funkcja wagi , Diraca ) δ(t) - przedstawia nieskończenie wielki impuls działający w nieskończenie krótkim czasie . Odpowiedź impulsową nazywamy odpowiedź układu liniowego na wymuszenie o postaci funkcji impulsowej δ(t) przy zerowych warunkach początkowych
Y(s) = G(s) ⋅X(s) ; sygnał wejściowy x(t) = δ(t) wówczas X(s) = ζ{ δ(t) } = 1 ⇒ X(s) = 1
Zatem : Y(s) = G(s) ⋅ X(s) = G(s) ; y(t) = ζ - 1 { G(s ) } - odpowiedź impulsowa
Przykład . Obliczyć odpowiedź impulsową układu o transmitancji: G(s) = ( ks ) / ( 1 + sτ)
Ponieważ (ks) / ( 1+ sτ ) = k/τ - (k/τ) ⋅ [ 1 / ( 1+sτ) ] zatem
y (t) = ( k/τ ) ⋅ ζ- 1 {1} - (k/τ) ⋅ ζ-1 { 1/ (1+sτ) } ponieważ ζ { δ(t) } = 1 czyli ζ- 1{1} = δ(t) mamy :
4. Metody oceny i wskaźniki jakości regulacji w dziedzinie czasu.
Jakość pracy układu regulacji automatycznej jest określona wielkością uchybu regulacji w czasie całego okresu pracy układu . Jakość ( dobroć) układów lub procesów regulacji ocenia się za pomocą odpowiednio dobranych kryteriów ( wskaźników jakości ) . Kryterium jakości powinno być tak dobrane , aby możliwie dobrze wyrażało wszystkie wymagania technol. , ekonomiczne i inne stawiane układowi .
Kryteria jakości regulacji : 1) kryteria zapasu stabilności , 2) rozkładu pierwiastków równania charakterystycznego , 3) czasowe , 4) częstotliwościowe , 5) całkowe
5. Metody graficznej prezentacji transmitancji widmowej układu .
Transmitancją widmową G(jω) liniowego układu stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określona jako stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Y(jω) wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości zespolonej tego wymuszenia U (jω). Czyli G(jω) = Y(jω ) / U(jω) . Transmitancja widmowa jest wielkością zespolona zależną od parametrów układu i pulsacji wymuszenia ω .
G(jω) = P(ω) + jQ(ω) przy czym P(ω) = Re [G(jω) ] ; Q(ω) = Im [ G(jω) ]
Analiza układu w dziedzinie częstotliwości
u(t) = Um sin (ωt + α ) ; y(t) = Ym. sin ( ωt + α + ϕ ) ;
ω = 2πf = var ; Ym. = f1 (ω) = var ; ϕ = f2 (ω) = var
Ym. / Um. = f1 ( ω ) = G(jω) ; U = Um. ⋅ e jα ; Y = Ym. ⋅ e j ( α + ϕ )
G(jω) = Y / U = ( Ym. ⋅ e j ( α + ϕ ) ) / ( Um. ⋅ e j α )
G(jω) - transmitancja widmowa
G(jω) = [ Ym. (ω) / Um (ω) ] ⋅ e j ϕ ( ω )
G(jω) = Ym (ω) / Um (ω) - ch - ka modułu ( amplitudy )
ϕ (ω) = arg G(jω) - ch - ka fazy
Ch - ka modułu : G(jω) [ dB] = 20 log G(jω) = 20 log (Ym. / Um. ) ; G(jω) = G(s) s = jω
G (jω) = G (jω) e j arg G ( jω ) = Re { G(jω) } + j Im {G(jω) }
6. Zasady przybliżonej prezentacji transmitancji widmowej układu ( charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy )
7. Elementy rzędu I-go -opis w dziedzinie czasu i częstotliwości.
,
element rzędu 0 → (1) element proporcjonalny [ a1 , a2 , b1 = 0 ]
element rzędu 1 → (2) element inercyjny [ a2 , b1 = 0 ]
element rzędu 1 → (3) element różniczkujący idealny [ a2 , a1 , b0 = 0 ]
element rzędu 1 → (4) element różniczkujący rzeczywisty [ a2 = 0 , b0 = 0 ]
element rzędu 1 → (5) element całkujący idealny [ a2 = 0 , a0 , b1 = 0 ]
Element proporcjonalny (1).
a0 ⋅y = b0 ⋅u ⇒ y = ( b0 ⋅ u ) / a0 = k ⋅ u ; k - współ. proporcjonalności
u(t) = δ(t) → y(t) = k ⋅ δ(t)
u(t) = 1(t) → y(t) = k ⋅ 1(t)
G(s) = k ; G(jω ) = k
20 log G = 20 log k
Element inercyjny (2)
Ch - ka w dziedzinie czasu :
Ch-ka w dziedzinie częstotliwości :
G(jω) = k / ( jωT+1) ⇒ L(ω) = 20 log G(jω) =
= 20 log [ k / ( 1+ ( ωT )2 ) 0,5 = 20 log k - 20 log [ (ωT)2 +1] 0,5
ωT << 1 → L(ω) = 20 log k
ωT >> 1 → L(ω) = 20 log k - 20 log ωT
ωT = 1 → nachylenie - 20 dB / dekadę
Element różniczkujący idealny (3). ciąg dalszy →
Ch-ka w dziedzinie czasu :
(d / dt ) ⋅ { δ(t) } - odp. Impulsowa ;
Y1( t ) = (1/s ) ⋅ k⋅ s = k ⇒
Y1(s) = k ⋅ δ(t) - odp. jednostkowa
Ch - ka w dziedzinie częstotliwości :
G(jω) = k ⋅ jω ; G(jω) = k ⋅ ω
L(ω) = 20 log ( k⋅ ω ) = 20 log k +20 log ω
arg G(jω) = + π/2
Element różniczkujący rzeczywisty (4) .
; Ch -ka w dzie. czasu :
Ch -ka w dziedzinie częstotliwości :
G(jω) = (k ⋅ jω) / (1 + jωT) ; L(ω) = 20 log kω - 20 log [ 1+ (ωT)2 ] 0,5 ; arg G(jω) = ( π/2 ) - arctg(ωT)
Element całkujący idealny (5) .
Ch-ka w dziedzinie czasu : yo(t) = k ⋅ 1(t) ; y1(t) = ζ-1 { (1/s ) ⋅ ( k / s ) } = k ⋅ t ⋅ 1 (t)
Ch - ka w dziedzinie częstotliwości : G(jω) = k / jω
L(ω) = 20 log ( k/ω ) = 20 log k - 20 log ω
8. Elementy rzędu II-go - charakterystyki w dziedzinie czasu i częstotliwości.
(elementy : całkujący rzeczywisty , inercyjny rzędu II-go i oscylacyjny )
element rzędu 2 → (6) element całkujący rzeczywisty [ a0 , b1 = 0 ]
element rzędu 2 → (7) element inercyjny ; s1 , s2 - rzeczywiste ; b1 = 0
element rzędu 2 → (8) element oscylacyjny ; s1 , s2 - zespolone sprzężone ; b1 = 0
Element całkujący rzeczywisty (6) .
Ch - ka w dziedzinie czasu :
→
→
Ch - ka w dziedzinie częstotliwości : G(jω) = k / [ jω(1 + jωT) ] ; Ch - ka amplitudowo - fazowa ↓
L(ω) = 20 log (k/ω) - 20 log [ 1 + (ωT)2 ] 0,5
arg G(jω) = - (π/2) - arctg ω
G(jω) = k / [ jω ( 1+jωT ) ] = -jk / [ ω(1+jωT )] =
= [ -jk(1-jωT) ] / [ ω(1+(ωT)2 )] =
= - kωT / [ ω(1+(ωT)2 )] = jk / [ ω(1+(ωT)2 )]
Element inercyjny II- go rzędu (7) .
Ch - ka w dziedzinie czasu : gdy Cs2 + Cs +1 = 0
Dla C12 - 4 ⋅ C2 > 0 → dwa bieguny rzeczywiste ;
Dla C12 - 4 ⋅ C2 < 0 → dwa bieguny zespolone ;
Ch - ka w dziedzinie częstotliwości : Ch - ka logarytmiczna ↓ ( k = 10 , T1 = 1 ; T2 = 0,1)
G(jω) = k / [ (1+ jωT1 ) ( 1+ jωT2 ) ]
L(ω) = 20 log k - 20 log [ 1+(ωT1 )2 ] 0,5 -
- 20 log [ 1+(ωT2 )2 ] 0,5
Element oscylacyjny ( 8) .
;
cosϕ = n ; tg ϕ = [ 1 - n2 ] 0,5 / n ; n - współczynnik tłumienia ( 0 ÷1 ) ; Ch - ka w dziedzinie czasu :
- względna wartość przeregulowania ; tu = ln ( 2% ) / [ nω0 ] - czas ustalenia
Ch - ka w dziedzinie częstotliwości :
G (jω) = kω02 / [ ω02 - ω2 - j 2 n ω0 ⋅ ω ] = k / [ 1 - ( ω / ω0 ) 2 + j 2 n ( ω / ω0 ) ] = k / [1-x2 + 2 j n x ] ] X]XXxxxxxhg
= = k / [ ( 1 - x2 ) + (2 nx)2 ]
d/dx { ( 1 - x2 ) + (2 nx)2 } = 0 ⇒ 2( 1 - x ) ⋅ (- 2x ) + 8 n2 x = 0 ⇒ - 4x { 1-x2 - 2n2 } = 0 ;
x = (1- 2n2 ) 0,5 ; ωr = ω0 ⋅ ( 1 - 2n 2 ) 0,5 ; G(jω) = k / [ 1 - (ω / ω0 ) 2 + 4n2 ⋅ ( ω / ω0 )2 ] 0,5
ω << ω0 ⇒ k ; ω >> ω0 ⇒ k / ( ω / ω0 )2
Przy rezonansie charakterystyki logarytmiczne są mało dokładne .( zwłaszcza gdy n = ( 0,7 ÷ 1 )
9. Algebra schematów blokowych układów liniowych ciągłych ( transmitancje zastępcze dla różnych typów połączeń , przesuwanie położenia węzłów sumacyjnych i zaczepowych ) .
Połączenie szeregowe : G (s) = Y(s) / U(s) = G1(s) ⋅ G2 (s)
|
Przenoszenie węzła sumacyjnego z wejścia na wyjście :
|
Połączenie równoległe : G (s) = Y(s) / U(s) = G1(s) + G2 (s)
|
Przenoszenie węzła sumacyjnego z wyjścia na wejście :
|
Układ ze sprzężeniem zwrotnym : G(s) = G1 (s) / [ 1 ± G1 (s) ⋅ G 2 (s) ]
|
Zamiana miejscami węzła sumacyjnego z węzłem zaczepowym przy przenoszeniu węzła sumacyjnego w kierunku: a) zgodnym z przepływem sygnału w gałęzi
b) przeciwnym do kierunku przepływu sygnału w gałęzi
|
Przenoszenie węzła zaczepowego z wyjścia na wejście :
|
|
Przenoszenie węzła zaczepowego z wejścia na wyjście :
|
|
10. Uchyby statyczne w układach ciągłych - definicje , określanie uchybów w oparciu o transmitancję operatorową układu , minimalizacja .
Uchyby ustalone E(s) = U(s) / [ 1+ G(s) ] Schemat blokowy ↓
lim e(t) = eu
t → ∞
1. Uchyb ustalony statyczny : u(t) = 1(t)
(położenia )
2. Uchyb ustalony prędkościowy : u(t) = t ⋅ 1(t)
3. Uchyb ustalony przyśpieszenia : u(t) = ( t2 / 2 ) ⋅ 1(t)
lim e(t) = lim sE(s)
t→ ∞ s→ 0
dla 1) eUS = lim s ⋅ (1 / s ) ⋅ [ 1 / (1 + G(s) ) ] = 1 / ( 1 + lim G(s) ) ; kUS = lim G(s)
s→0 s→0 s→0
dla 2) eUV = lim s ⋅ (1 / s2 ) ⋅ [ 1 / (1 + G(s) ) ] = 1 / ( lim s ⋅ G(s) ) ; kUV = lim s ⋅ G(s)
s→0 s→0 s→0
dla 3) eUa = lim s ⋅ (1 / s 3 ) ⋅ [ 1 / (1 + G(s) ) ] = 1 / ( lim s2 ⋅ G(s) ) ; kUa = lim s2 ⋅ G(s)
s→0 s→0 s→0
G(s) = ( 1 / s m. ) ⋅ G* (s) ; m. - klasa astatyzmu układu
m = |
eUS |
kUS |
eUV |
kUV |
eUa |
kUa |
0 |
1 / (1+ k) |
k |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
1 |
0 |
∞ |
1 / k |
k |
∞ |
0 |
2 |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
1 / k |
k |
3 |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
11. Stabilność liniowych ciągłych URA - definicje , podstawowy warunek stabilności , kryteria analityczne ( Routha , Hurwitza ) .
Układ stabilny jest to układ , w którym przy zerowym sygnale wymuszającym U= 0 oraz dowolnych wartościach początkowych ma stan przejściowy , który zdąża do skończonej wartości przy t → ∞ .
Układ jest stabilny asymptotycznie gdy przy zerowych warunkach asymptotycznych ( U = 0 ) , dowolnych wartościach początkowych , stan przejściowy zdąża do zera przy t → ∞ .
Układ o danej transmitancji G(s) jest stabilny asymptotycznie jeśli jego wszystkie bieguny będą położone w lewej części płaszczyzny pierwiastków ( tzn. mają ujemną część rzeczywistą ).
Badanie stabilności układów ciągłych liniowych sprowadza się do badania położenia pierwiastków równania charakterystycznego M (s) = a n s n + … + a 1 s + a0 = 0 na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s .
Kryterium stabilności Routha
Równanie M (s) = a n s n + … + a 1 s + a0 = 0 ( przy czym G(s) = L(s) / M (s) ) ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s , jeżeli :
1. wszystkie współczynniki an , … , a 1 , a0 są różne od zera i mają ten sam znak
2. wszystkie współczynniki pierwszej ( lewej skrajnej ) kolumny tablicy
przy czym
;
;
;
;
mają ten sam znak . Gdy współczynniki I kolumny wyznacznika nie są tego samego znaku to układ jest niestabilny , a liczba zmian znaków współczynników pierwszej kolumny tablicy równa się liczbie pierwiastków z dodatnią częścią rzeczywistą , to jest liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s .
Kryterium stabilności Hurwitza.
Równanie M (s) = a n s n + … + a 1 s + a0 = 0 ( przy czym G(s) = L(s) / M (s) ) o współczynniku an > 0 ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s , wtedy i tylko wtedy gdy :
Δ1 = a n -1 > 0 ;
;
ciąg dalszy →
Kryterium stabilności Hurwitza - ciąg dalszy .
Warunkiem koniecznym ( ale nie dostatecznym ) położenia wszystkich pierwiastków równania w lewej półpłaszczyźnie jest a i > 0 dla i = 0,1,…, n - 1
12. Częstotliwościowe metody badania stabilności układów liniowych ciągłych
- kryteria Michajłowa , Nyquista i logarytmiczne .
Kryterium Michajłowa.
G(s) - transm. układu otwartego ; K(s) - transm . układu zamkniętego Wykresik ↓
G(s) ; K(s) = L(s) / [ a n s n + a n - 1 s n - 1 + … + a 1 s + a0 ]
M(s) = a n ( s - s 1 ) (s - s 2 ) ⋅ … ⋅ (s - s n - 1 ) ( s - s n )
M (jω) = a n ( jω - s1 ) ( jω - s2 ) …
Badamy zmianę argumentów : Δarg ( jω - s k ) = + π gdy - ∞ < ω < ∞ ;
Δarg ( jω - s m ) = - π gdy - ∞ < ω < ∞
Δ arg M (jω) = n ⋅ π ; - ∞ < ω < ∞ oraz Δ arg M (jω) = n ⋅ ( π / 2 ) ; 0 < ω < ∞ ⇒ warunek statyczności asymptotycznej
k - pierwiastków w proj. płaszczyźnie ; n-k - pierwiastków w danej półpłaszczyźnie
Δ arg M(jω) = (n - k) ⋅ π - kπ = n ⋅ π - 2kπ = Ψ1 ; - ∞ < ω < ∞
Δ arg M(jω) = n ⋅ ( π / 2 ) - kπ = Ψ2 ; 0 < ω < ∞
Kryterium Nyquista.
Kryterium to pozwala badać stabilność liniowego układu zamkniętego na podstawie charakterystyki amplitudowo - fazowej układu otwartego, którą można określić doświadczalnie .
Zamknięty układ regulacji jest stabilny ⇒ zmiana argumentów wyrażenia [ 1 + G 1,2 ( jω) ] przy zmianie pulsacji od - ∞ do + ∞ spełnia warunek : 2π ⋅ Np + π ⋅ Np1 ⇐⇒Δ arg [ 1 + G 1,2 ( jω) ] - ∞+ ∞ = = 2π ⋅ Np + π ⋅ Np 1 ; przy czym :
Np - ilość biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie Re [ s k ] > 0
Np 1 - ilość biegunów układu otwartego leżących na osi urojonej Re [ s k ] = 0
Układ jest stabilny ⇐⇒ Δ arg [ 1 + G 1,2 ( jω) ] - ∞+ ∞ = π ⋅ Np + ( π / 2 ) ⋅ Np 1
Stosowanie kryterium Nyquista
- wykreślanie ch - ki amplitudowo - fazowej układu otwartego G1 ,2 (jω)
- G1,2 (jω) = G 1,2 (s) s = jω ( wykreślamy analitycznie )
- zdjęcie doświadczalne ch - ki na „żywym” obiekcie
- sprecyzowanie wartości Np , Np 1
- sprecyzowanie warunku stabilności ; - sprawdzenie warunku stabilności ciąg dalszy →
Wersje uproszczone .
- kryterium lewej strony
- kryterium logarytmiczne
stosowane gdy układ otwarty jest minimalno - fazowy tzn. G1,2 (s) nie posiada ani zer ani biegunów w prawej półpłaszczyźnie ⇒ Np = 0
Kryterium lewej strony
Zamknięty układ URA jest stabilny ⇐⇒ gdy wędrując po ch - ce amp. - fazowej układu otwartego pozostawiamy punkt ( -1 , j0 ) po lewej stronie .
Kryterium logarytmiczne.
1. bazuje na ch - kach logarytmicznych amplitudy. i fazy
2. bazuje na ch - ce logarytmicznej amplitudowo - fazowej
ad. 1. Układ zamknięty jest stabilny jeżeli w zakresie pulsacji dla których logaryt. ch - ka modułu jest dodatnia G1,2 (jω) dB > 0 . Charakterystyka fazy osiąga wartość - π parzystą ilość razy .
ad.2. Układ zamknięty jest stabilny ⇐⇒ kiedy wędrując po ch - ce logarytmicznej amplitudowo - fazowej układu otwartego punkt ( -π ; 0 dB ) zostanie po prawej stronie .
14. Zapas wzmocnienia i zapas fazy - definicje , interpretacja graficzna .
Zapas fazy i zapas wzmocnienia dotyczy układów stabilnych . Im większy zapas fazy , tym większy zapas wzmocnienia i tym samym układ bardziej stabilny .
Zapas wzmocnienia |
Zapas fazy . |
- ile krotnie można zwiększyć wzmocnienie by układ został stabilny Δk = 1 / [ G1,2 (jω) ω 1 ] ( jednostki względne ) ω1 : arg G12 (jω) = -π Δk = 1 /x ΔkdB = - G12 (jω) ω1 [ dB]
Wykres ↓ |
- wartość fazy o którą można zmienić argument by układ był jeszcze stabilny przy stałym wzmocnieniu ( module ) Δϕ = π + arg G12 (jω) ω2 : G12 ( jω ) = 1 G12 ( jω ) dB = 0
Wykres ↓ |