Wzory 32

WZORY 32: test serii

Analiza regresji: próba przekrojowa	Analiza regresji: szereg czasowy	Trend liniowy
(1)	(2)	(3)
Równanie modelu: wzory (32.1)
Yi=E(Y/X=xi)=αxi+β+εi, i = 1,..., n,	Yt=E(Y/X=xt)=αxt+β+εt, t = 1,..., n,	Yt=E(Y/t)=αt+β+εt, t = 1,..., n,
Założenia modelu: wzory (32.2)
1)   E(εi) = 0, 2)   D^2(εi) = E = σ^2, 3)   cov(εi, εj) = E(εiεj) = 0, dla i … j, 4)   εi: rozkład N(0, σ),	1)   E(εt) = 0, 2)   D^2(εt) = E = σ^2, 3)   cov(εt, εs) = E(εtεs) = 0, dla s … t, 4)   εt: rozkład N(0, σ),	1)   E(εt) = 0, 2)   D^2(εt) = E = σ^2, 3)   cov(εt, εs) = E(εtεs) = 0, dla s … t, 4)   εt: rozkład N(0, σ),
Założenie 1)
1)   E(εi) = 0,	1)   E(εt) = 0,	1)   E(εt) = 0,
oceniane jest przez sprawdzenie, czy reszty w modelu, oszacowane na podstawie wyników n-elementowej próby, mają charakter losowy, co znaczy, że model liniowy jest modelem właściwie wybranym.
Hipoteza sprawdzana i alternatywna: wzory (32.3)
x0: E(Y/X = x) = αx + β x1: E(Y/X = x) … αx + β	x0: E(Y/X = x) = αx + β x1: E(Y/X = x) … αx + β	x0: E(Y/t) = αt + β x1: E(Y/t) … αt + β
Warunek weryfikacji x0 w analizie regresji:		Spełniony zawsze
x1 ≤ x2 ≤ x3,..., xs ≤ xs+1,..., xn-1 ≤ xn s = 1,..., n, (subskrypt s zastępuje i lub t przypisane do danych nieuporządkowanych rosnąco)		t = 1,..., n lub t = 0,1,..., n - 1.
Oznaczenia reszt: wzory (32.4)
es > 0 Y a, es < 0 Y b		et > 0 Y a, et < 0 Y b
k^*   n liczba serii w ciągu elementów a i b. na   n liczba reszt (es lub et) dodatnich, nb   n liczba reszt (es lub et) ujemnych),gdzie
dla s = 1,..., n,	dla s = 1,..., n,	dla t = 1,..., n.
oraz gdzie
dla s = 1,..., n,	dla s = 1,..., n,	dla t = 1,..., n.
Hipotezę sprawdzaną x0 odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej x1 przyjętym poziomie istotności oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody v1 = na i v2 = nb (gdzie: na - liczba reszt dodatnich, nb - liczba reszt ujemnych), jeżeli obliczona liczba serii k^* jest nie mniejsza od minimalnej liczby serii wynoszącej 2 oraz nie większa od krytycznej liczby serii  odczytanej z tablic rozkładu liczby serii.
Brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1 przyjętym poziomie istotności oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody v1 = na i v2 = nb (gdzie: na - liczba reszt dodatnich, nb - liczba reszt ujemnych), jeżeli obliczona liczba serii k^* jest większa od krytycznej liczby serii , odczytanej z tablic rozkładu liczby serii.
Jeżeli hipotezę sprawdzaną x0 odrzucimy na rzecz hipotezy alternatywnej x1 przyjętym poziomie istotności oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody, to ocenę liniowego modelu (regresji lub trendu) jako narzędzia opisu i prognozy uzależniamy od wartości współczynnika determinacji r^2.
Przy niskiej wartości współczynnika determinacji r^2 powyższa decyzja weryfikacyjna potwierdza złą jakość oszacowanego modelu.
Przy wysokiej wartości współczynnika determinacji r^2 powyższa decyzja weryfikacyjna jest wskazówką, iż w klasie modeli nieliniowych można znaleźć model lepszy od liniowego.
Jeżeli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1 przyjętym poziomie istotności oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody, to liniowy model (regresji lub trendu) można uznać za dobre narzędzie opisu i prognozy.
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---