Wyznaczanie zależności przewodnictwa od temperatury
dla przewodników i półprzewodników.
1. Wprowadzenie.
Prawo Ohma w najogólniejszej postaci stwierdza, że gęstość prądu w dowolnym miejscu materiału przewodzącego jest wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego.
W powyższym równaniu J oznacza gęstość prądu (stosunek prądu do powierzchni przekroju), natomiast E natężenie pola elektrycznego. Współczynnik proporcjonalności nazywamy przewodnictwem elektrycznym. Wartość przewodnictwa określona jest bezpośrednio przez koncentrację i ruchliwość nośników ładunku
Koncentrację elektronów n i dziur p określamy jako ilość tych nośników w jednostce objętości, a ruchliwość (elektronów - me , dziur - mp) jest stosunkiem prędkości unoszenia do natężenia pola elektrycznego.
W półprzewodnikach zarówno koncentracja, jak i ruchliwość zależą od rodzaju materiału i od temperatury, więc przewodnictwo również zależy od tych parametrów.
W przewodnikach (metalach) koncentracja nośników jest bardzo duża i nie zależy od temperatury. O zależności temperaturowej przewodnictwa decyduje zmniejszanie się ruchliwości ze wzrostem temperatury. Zależność tę wyraża się przez opór i ma ona postać
gdzie R0 jest oporem w temperaturze T0, a a - średnim współczynnikiem temperaturowym oporu.
Powyższy wzór jest słuszny dla niezbyt dużego przedziału temperatur. W różnych przedziałach współczynnik a przybiera różne wartości.
Dla półprzewodników ilość elektronów przechodzących na inny poziom energetyczny zależy wykładniczo od różnicy poziomów oraz od temperatury i wyraża się w przypadku półprzewodników samoistnych wzorem
w którym : Eg - szerokość pasma zabronionego, k - stała Boltzmanna.
Ze względu na to, że każdemu elektronowi w paśmie przewodnictwa odpowiada jedna dziura w paśmie walencyjnym, koncentracje obu rodzajów nośników są takie same.
W przypadku półprzewodników domieszkowanych koncentracje nośników są określone przez
odległości energetyczne Ed oraz Ea oraz przez temperaturę
Gdy wzrasta temperatura ilość nośników pochodzących z poziomów domieszkowych również rośnie,
aż do chwili, gdy wszystkie elektrony opuszczą poziomy donorowe lub zapełnią poziomy akceptorowe. Dalsze podwyższanie temperatury nie prowadzi do wzrostu koncentracji (nasycenie domieszkowe -
- patrz rys.1). Dopiero przy większym wzroście temperatury zaczynają przeważać nośniki samoistne i koncentracja zaczyna szybko wzrastać.
Temperaturową zależność przewodnictwa możemy wyrazić w postaci
przez Edom rozumiemy jedną z wielkości Ed lub Ea , zależnie od rodzaju półprzewodnika.
W odpowiednio niskich temperaturach można zaniedbać pierwszy składnik powyższego wzoru,
natomiast w wysokich, gdy nastąpi nasycenie poziomów domieszkowych, można zaniedbać składnik drugi.
W pierwszym przypadku przewodnictwo będzie wynosić
w drugim zaś
Zależność temperaturową przewodnictwa półprzewodnika najdogodniej analizować za pomocą wykresu w skali półlogarytmicznej. Logarytmując powyższy wzór otrzymamy wyrażenie postaci
Rys.1. Logarytm przewodnictwa w funkcji odwrotności temperatury.
W celu wyznaczenia szukanych zależności dokonujemy pomiarów oporu elektrycznego przewodnika drutowego i półprzewodnika w różnych temperaturach. Badane materiały umieszczamy w ultratermostacie i mierzymy ich opory za pomocą mostka Wheatstone'a.
Budowę mostka Wheatstone'a przedstawia rys.2 . Opór mierzony mostkiem wyznaczamy z zależności
Rys.2. Mostek Wheatstone'a.
2. Pomiary.
3. Obliczenia.
Obliczenia wykonujemy tylko dla półprzewodnika (tabela b.).
Błędy bezwzględne wartości pośrednich:
Przy pomocy programu komputerowego obliczamy współczynnik nachylenia prostej ln(1/R) = f(1/T).
a = - 71.5636
Da = 7.8207
Możemy zatem obliczyć poziom domieszkowy
Biorąc pod uwagę to, że
poziom domieszkowy wynosi:
Obliczenie błędu wyznaczenia poziomu domieszkowego.
4. Wnioski.
W ćwiczeniu powyższym badana była zależność rezystancji od temperatury dla
przewodnika i półprzewodnika.
Badany przewodnik wykazywał dużą stabilność rezystancji przy zmianach temperatury,
w porównaniu z półprzewodnikiem. Termistor użyty w ćwiczeniu był typu NTC (Negative Temperature Ceoffcient). Ujemny charakter zmian rezystancji tego elementu przy wzroście temperatury można
zauważyć na załączonym wykresie.