Egzamin teoretyczny

Zadanie 1: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 2: Granica
nie istnieje ponieważ … (wyjaśnić).

Zadanie 3: Iloczyn pierwiastków zespolonych w równaniu z³-1=0 wynosi … (ile?).

Zadanie 4: Aby istniały rozwiązania niezerowe układu jednorodnego AX=0 i A(nxn) ..... (uzasadnić).

Zadanie 5: Reguły H nie można stosować do obliczenia granicy

ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 6: Funkcja F(x,y)= x³ + y³ + 9xy nie posiada ekstemum w punkcie (0,0) ponieważ .... (uzasadnić).

Zadanie 7: Całkę
obliczamy …. (w jaki sposób?) i wynosi ona …. (ile?).

Zadanie 8: Z definicji e:= .... (ile?) i granica ta istnieje ponieważ .... (wyjaśnić).

Zadanie 9: Funkcja pierwotna funkcji
jest postaci … (jakiej?).

Zadanie 10: Pierwiastki równania zespolonego f(z)=z⁴+z²+z²+1=0 są postaci … (obliczyć). Zaznaczyc je na wykresie w dziedzinie zespolonej.

Zadanie 11: Granica
wynosi … (ile?) i obliczamy ją … (w jaki sposób?).

Zadanie 12: Funkcja
nie ma ekstremów ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 13: Pole obszaru pomiędzy wykresami funkcji y=0 i
dla
wynosi … (uzasadnić).

Zadanie 14: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 15: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 16: Funkcja zadana wzorem
nie ma asymptoty pionowej ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 17: Warunkiem dostatecznym na to, żeby funkcja różniczkowalna w przedziale była rosnąca jest … (podać warunek). Wynika to z twierdzenia …. (jakiego?).

Zadanie 18: Całkę
obliczamy stosując twierdzenia … (jakie?). Wynik sprawdzamy następująco: … .

Zadanie 19: Bez wyliczeń stwierdzamy, że wyznacznik macierzy wynosi 0 jeśli … (podać 5 możliwości).

Zadanie 20: Dwie płaszczyzny A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 nie przecinają się wzdłuż pewnej prostej wtedy i tylko wtedy gdy … (podać warunek równoważny na rząd macierzy utworzonej ze współczynników ich równań).

Zadanie 21: Liczba
jest jednym z pierwiastków stopnia trzeciego pewnej liczby zespolonej z. Pozostałe pierwiastki to: … (wyznaczyc i podać).

Zadanie 22: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 23: Funkcja dana wzorem f(x)=|ln x²| ma minimum globalne w punkcie x=1 ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 24: Kąt między prostą
i płaszczyzną z=0 wynosi …(ile?) ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 25: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 26: Punkt (0,0) jest punktem … (jakim?) dziedziny funkcji
i granica
nie istnieje bo … (uzasadnić).

Zadanie 27: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 28: Funkcja
osiąga ekstremum globalne w punkcie x=0 ponieważ na podstawie definicji … (uzasadnić).

Zadanie 29: Punkt (0,0) jest punktem skupienia D_f funkcji
i granica
nie istnieje, bo … (uzasadnić).

Zadanie 30: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 31: Warunkiem dostatecznym na to, żeby funkcja różniczkowalna była malejąca w przedziale jest … (podać warunek). Wynika to z tw. … (jakiego?).

Zadanie 32: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 33: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 34: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?) a wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 35: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 36: Stosując twierdzenie … (jakie?) granica
wynosi … (obliczyć).

Zadanie 37: Twierdzenia Rolle'a nie można stosować do funkcji
ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 38: Wyprowadzić wzór na odległośc między dwiema zadanymi prostymi równoległymi w przestrzeni.

Zadanie 39: Granica
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 40: Przykładem funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w pewnym przedziale jest funkcja zadana wzorem f(x)=…. (podać funkcję). Uzasadnij dlaczego.

Zadanie 41: Prosta w R³ przechodząca przez punkty P₁, P₂ przecina się pod kątem prostym z prostą zawierającą punkty Q₁, Q₂ jeśli … (uzasadnić).

Zadanie 42: Funkcja g(x)=(x²+1)^-1,
osiąga maksimum globalne w punkcie x=0 ponieważ na podstawie definicji … (uzasadnić).

Zadanie 43: Całkę
obliczamy przez podstawienie … (jakie?) i ostatecznie otrzymamy …. (ile?). Wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 44: Macierz odwrotna do macierzy
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 45: Dwie płaszczyzny H₁: x=y, H₂:y+z=0 przecinają się wzdłuż prostej odległej od punktu (1,0,0) o … (obliczyć).

Zadanie 46: Całkę
obliczamy przez podstawienie … (jakie?). Ostatecznie otrzymamy … i wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 47: Granica
ponieważ… (uzasadnić podając odpowiednie twierdzenie).

Zadanie 48: Funkcja określona wzorem f(x,y)=xe^xy nie ma ekstremów ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 49: Całkę
obliczamy przez podstawienie … (jakie?) a następnie całkujemy funkcję wymierną. Ostatecznie otrzymamy … .

Zadanie 50: Układ 4 równań liniowych z 3 niewiadomymi jest sprzeczny, gdy rząd macierzy uzupełnionej rozszerzonej jest … (jaki?) co oznacza, że wyznacznik macierzy jest … (jaki?).

Zadanie 51: Prosta
jest prostopadła do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wtedy i tylko wtedy, gdy … (podać warunek równoważny).

Zadanie 52: Granica
(ile?) ponieważ … (uzasadnić podając wykorzystane twierdzenie).

Zadanie 53: Całkę
obliczamy stosując twierdzenie … (jakie?).

Zadanie 54: Dlaczego nie można skorzystać z tw. H przy obliczaniu granicy
? Granica ta istnieje i wynosi … (ile?).

Zadanie 55: Funkcja odwrotna do f(x)=sinx,
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 56: Równanie macierzowe AXA=A z zadaną macierzą niesobliwą A ma rozwiązanie X=… (obliczyć).

Zadanie 57: Funkcja
osiąga maksimum globalne w punkcie x=0 ponieważ … (uzasadnić na podstawie definicji).

Zadanie 58: Granica
wynosi … (ile?) ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 59: Dane są dwie macierze
i
. Które z działań A*B, A^T*B, A*B^T są niewykonalne i dlaczego oraz ile wynosi wynik pozostałych?

Zadanie 60: Udowodnić, że
.

Zadanie 61: Prosta
jest równoległa dp płaszczyzny OYZ wtedy i tylko wtedy, gdy … (podać warunek równoważny).

Zadanie 62: Na podstawie tw. … (jakiego?) granica
wynosi … (ile?).

Zadanie 63: Układ równań
ma …. (ile?) rozwiązań na podstawie tw. … (jakiego?) ponieważ …. .

Zadanie 64: Układ równań
ma …. (ile?) rozwiązań na podstawie tw. … (jakiego?) ponieważ …. .

Zadanie 65: Całkę
obliczamy … (w jaki sposób?) i ostatecznie otrzymamy … .

Zadanie 66: Wykres funkcji o wartościach f(x)=x²+sinx nie posiada punktów przegięcia, ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 67: Układ 4 równań liniowych z 3 niewiadomymi może mieć rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy uzupełnionej rozszerzonej spełnia nierówność … (jaką?) co oznacza, że wyznacznik macierzy wynosi … (ile?).

Zadanie 68: Prosta
należy do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0
… (podać warunek równoważny).

Zadanie 69: Pierwiastki zespolone równania z³-8i=0 są wierzchołkami trójkąta. Podaj rysunek.

Zadanie 70: Jeśli A_nxn jest macierzą nieosobliwą to równanie macierzowe AXA^-1=A ma rozwiązanie A=…, ponieważ … .

Zadanie 71: Wzór Maclarina z drugą resztą Lagrange'a dla funkcji określonej wzorem f(x)=e^-4x ma postać: … .

Zadanie 72: Funkcja
ma maksimum globalne w punkcie (0,0), ponieważ…. .

Zadanie 73: Pole zawarte między wykresami funkcji o wzorze y = arc ctg 2x i osią OX w przedziale <0; 0,5> wynosi …. .

Zadanie 74: Równanie 3 stopnia, które w dziedzinie zespolonej ma pierwiastki 2-2i, 2+2i, 2 jest postaci … .

Zadanie 75: Proste k:
i
pokrywają się, ponieważ … .

Zadanie 76:

Zadanie 77: Funkcja F(x,y)=ye^{xy^2} nie ma ekstremów ponieważ … .

Zadanie 78: Na podstawie definicji det[a_ij]_4x4 jest sumą … (ilu?) iloczynów elementów z każdego wiersza i kolumny z odpowiednim znakiem. Wśród nich jest iloczyn a₂₃, a₁₄, a₄₂, a₃₁ ze znakiem … (jakim?), ponieważ … .

Zadanie 79: Na mocy twierdzenia … funkcja rzeczywista … wielu zmiennych rzeczywistych, określona na zbiorze … osiąga ekstrema absolutne.

Zadanie 80: Pierwiastki równania z³+1=0 to z1 i z2. Wówczas sześcian ich ilorazu wynosi … .

Zadanie 81:

Zadanie 82:

Zadanie 83: Pierwiastek równania xe^x=2 zawiera się w przedziale <0,1>. Wykazać i wyjaśnic na jakiej podstawie.

Zadanie 84: Obliczyć iloraz pierwiastków w równaniu z²-4z+5=0. Zaznaczyć w układzie współrzędnych.

Zadanie 85: Dana jest płaszczyzna 2x-y+4z+5=0. Punkty należące do tej płaszczyzny i odległe od osi OZ o 2/3 są postaci … .

Egzamin zadaniowy

Zadanie 1: Obliczyc punkty przegięcia i asymptoty funkcji e^((1-x)/x)
.

Zadanie 2: Wyznaczyć zbiór wartosci funkcji okreslonej wzorem
.

Zadanie 3: Wyznaczyc zbiór wartości funkcji okreslonej wzorem
.

Zadanie 4: Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji
.

Zadanie 5: Podać pełne badanie funkcji okreslonej wzorem
i naszkicować jej wykres.

Zadanie 6: Wyznaczyć ekstrema, punkty przegięcia i asymptoty funkcji
.

Zadanie 7:Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji
.

Zadanie 8: Podać pełne badanie funkcji okreś
.

Zadanie 9: Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji

Zadanie 10: Podać pełne badanie funkcji funkcji
i naszkicowac jejwykres.

Zadanie 11: Wyznaczyć punkty przegięcia i asymptoty funkcji
.

Zadanie 12: Wyznaczyć punkty przegięcia i asymptoty funkcji
.

Zadanie 13: Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji
.

Zadanie 14: Zbadać przebieg funkcji zdefiniowanej jako
.

Zadanie 15: Zbadać wzajemne położenie płaszczyzn o równaniach:
,
w zależności od parametru
.

Zadanie 16: Dla jakich wartości parametru a prosta
jest równoległa do płaszczyzny H przechodzącej przez prostą
i punkt A=(3,1,0).

Zadanie 17: Zbadać wzajemne położenie prostych
i
w zależności od parametru
. Jeśli leżą w jednej płaszczyźnie to napisać równanie tej płaszczyzny.

Zadanie 18: Pokazać, że proste
,
przecinają się. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez ich punkt przecięcia i prostopadłej do płaszczyzny zawierającej te proste.

Zadanie 19: Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn H₁:2x-y+3z-1, H₂:x+2y-z+3, H₃:x+7y-6z+10=0. Jeśli przecinają się wzdłuż prostej to obliczyć odległość punktu (0,0,0) od tej prostej.

Zadanie 20: Pokazać, że proste
,
przecinają się. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez ich punkt przecięcia i prostopadłej do płaszczyzny zawierającej te proste.

Zadanie 21: Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4). Znaleźć długość wysokości tego trójkąta z wierzchołka C oraz równanie prostej zawierającej tę wysokość.

Zadanie 22: Dany jest czworościan o wierzchołkach A(2,-1,3) B(1,-3,5) C(6,2,5) D(3,-2,-5). Znaleźć długość wysokości z wierzchołka D na podstawę ABC oraz równanie prostej zawierającej tę wysokośc.

8