Zagadnienia teoretyczne
Gęstoœć jest stosunkiem masy m ciała do jego objętoœci V:
natomiast ciężarem właœciwym ciała nazywamy stosunek jego gęstoœci do gęstoœci wody w temperaturze 4°C, która wynosi 1.0"103 kg/m3.
Ponieważ pod wpływem temperatury większoœć ciał zmienia objętoœć, nie zmieniając masy, iloczyn objętoœci i gęstoœci pozostaje ten sam: VT+T=V00. Korzystając ze wzoru VT=V0(1+t), gdzie jest objętoœciowym współczynnikiem rozszerzalnoœci, otrzymujemy T=0/(1+t), czyli w miarę wzrostu temperatury gęstoœć maleje.
Prawo Archimedesa mówi, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła skierowana ku górze, równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało. Z tego prawa korzysta m.in. waga Mohra, która służy do wyznaczania gęstoœci cieczy względem wody. Na ramieniu wagi zawiesza się pływak, który umieszcza się w cieczy. Następnie równoważy się wagę wieszając na jej ramieniu koniki. Gęstoœć względna badanej cieczy jest równa sumie iloczynów numeru działki i wartoœci nominalnej koników (co wynika z definicji momentu siły: "r×F, gdzie r jest długoœcią ramienia. Ponieważ r i F są do siebie prostopadłe, bezwzględna wartoœć momentu siły na ramię wagi powodowana przez dowolnego konika jest równa jego masie pomnożonej przez stałą g i długoœć ramienia od osi do konika. Analogicznie na ramię wagi działa siła wyporu ciała zanurzonego w badanej cieczy. Moment siły nadawany przez tą siłę ma dokładnie odwrotny kierunek. Gdy oba momenty sił się równoważą, waga utrzymuje poziom i na podstawie położenia koników można ustalić siłę wyporu badanej cieczy, i konsekwentnie jej gęstoœć). Porównując gęstoœć względną badanej cieczy do gęstoœci wody badanej tą samą wagą można dokładnie okreœlić jej wartoœć, zgodnie ze wzorem
gdzie FW i FC są odpowiednio siłami wyporu działającymi na dowolne ciało w wodzie, i w badanym płynie. Siły wyporu oblicza się dodając masy kolejnych koników pomnożone przez ich położenie na ramieniu wagi.
Do wyznaczania gęstoœci ciał stałych można używać wagi Jolly'ego. Tutaj, oprócz prawa Archimedesa, ważną rolę odgrywa także prawo Hooke'a.
Prawo Hooke'a dotyczy doœć małych odkształceń sprężystych. Wg. niego sprężyna odciągnięta od położenia równowagi o odległoœć x będzie działać z siłą Fs= -kx, gdzie k jest dodatnią stałą, różną dla każdej sprężyny. Innymi słowy, odkształcenie ciała sprężystego jest wprost proporcjonalne do ciœnień zewnętrznych.
Waga Jolly'ego składa się ze sprężyny, na której wiesza się badane ciała i zanurza w cieczach. Za sprężyną jest podziałka, dzięki której można ustalić względne rozciągnięcie sprężyny. Ponieważ rozciągnięcie sprężyny jest proporcjonalne do sił wyporu działających na ciało zawieszone na niej i zanurzane w cieczach,
gdzie a jest względnym położeniem nieobciążonej sprężyny, b położeniem sprężyny gdy badane ciało wisi swobodnie w powietrzu, a c gdy jest zanurzone w cieczy.
Opis doœwiadczenia
Doœwiadczenie składało się z dwóch częœci. W pierwszej częœci badano gęstoœć cieczy za pomocą wagi Mohra. W tym celu zanurzano nurka w wodzie, acetonie i alkoholu, za każdym razem doprowadzając wagę do położenia równowagi za pomocą koników wieszanych na jej ramieniu. Zanotowano typ i położenie koników potrzebnych do zrównoważenia wagi.
W drugiej częœci doœwiadczenia badano gęstoœć czterech ciał stałych, korzystając z wagi Jolly'ego. Notowano położenie sprężyny przy wadze nieobciążonej, i z zawieszonym badanym ciałem, tak wiszącym w powietrzu, jak i zanurzonym w cieczy.
Dodatkowo wyznaczano czułoœć wagi Jolly'ego obciążając wagę odważnikami od 1 g do 10 g co 1 g, za każdym razem notując położenie wskazówki wagi.
Opracowanie wyników pomiarów
Przyjmując masy umowne koników jako 1A, 0.1A i 0.01A dla odpowiednio dużego, œredniego, i małego konika obliczamy przyłożoną masę wg. schematu:
m=1A"a+0.1A"b+0.01A"c
gdzie a, b, i c są położeniami koników na ramieniu wagi Mohra. Dla wody masa ta wynosi 1A"3+1A"6+0.01A"7+0.1A"8=9.87A
Dla acetonu m=1A"3+1A"4+0.01A"8+0.1A"9=7.98A,
zaœ dla alkoholu: m=1A"3+1A"6+0.1A"9=9.90A
Korzystając ze wzoru obliczamy względną gęstoœć acetonu = mac/mw = 7.98/9.87 = 0.809 gęstoœci wody. Sprawdzając w tablicach fizycznych gęstoœć wody w temperaturze pokojowej (0.99821 g/cm3) wyliczamy gęstoœć acetonu jako 0.807 g/cm3.
Analogicznie względna gęstoœć alkoholu w naszym przypadku wynosiła 1.003 gęstoœci wody. Stąd gęstoœć alkoholu w naszym przypadku powinna była wynosić 1.00 g/cm3, czyli praktycznie tyle samo, co gęstoœć wody.
Dla wagi Jolly'ego badano cztery podobne ciała o różnej gęstoœci. Korzystając ze wzoru
gdzie a jest względnym położeniem nieobciążonej sprężyny (położeniem zerowym), b położeniem sprężyny gdy badane ciało wisi swobodnie w powietrzu, a c gdy jest zanurzone w cieczy, obliczamy gęstoœć względną kolejnych ciał (w tym przypadku korzystając z wody).
Ciało 1: wzgl= (30.0-27.9)/(30.0-29.2)=2.63
Ciało 2: wzgl= (34.8-27.9)/(34.8-34.0)=8.63
Ciało 3: wzgl= (35.3-27.9)/(35.3-34.6)=10.57
Ciało 4: wzgl= (36.2-27.9)/(36.2-35.1)=7.55
Wyliczamy gęstoœci względne dla kolejnych cieczy:
Aceton:
Ciało 1: wzgl= (30.0-28.0)/(30.0-29.3)=2.85
Ciało 2: wzgl= (34.9-28.0)/(34.9-34.2)=9.86
Ciało 3: wzgl= (35.4-28.0)/(35.4-34.8)=12.33
Ciało 4: wzgl= (36.2-28.0)/(36.2-35.4)=10.25
Alkohol:
Ciało 1: wzgl= (30.0-27.9)/(30.0-29.2)=2.63
Ciało 2: wzgl= (34.8-27.9)/(34.8-34.0)=8.63
Ciało 3: wzgl= (35.4-27.9)/(35.4-34.5)=8.33
Ciało 4: wzgl= (36.1-27.9)/(36.1-35.1)=8.20
Bierzemy œrednie wartoœci gestoœci względnych dla każdego z czterech ciał i otrzymujemy:
Ciało 1: wzgl = 2.70
Ciało 2: wzgl = 9.04
Ciało 3: wzgl = 10.41
Ciało 4: wzgl = 8.67
W tym momencie, gdybyœmy znali dokładną wartoœć gęstoœci dowolnego z tych ciał, moglibyœmy na podstawie gęstoœci względnych obliczyć gęstoœci pozostałych ciał.
W celu wyznaczenia czułoœci wagi Jolly'ego zbadano zależnoœć wydłużenia sprężyny od obciążenia wagi dla obciążeń rosnących i malejących. Wzięto œrednią wydłużenia sprężyny dla obu typów obciążeń i przybliżono na wykresie jako funkcję liniową. Wg. tej funkcji (położenie sprężyny) [cm] = 0.29636"(obciążenie) [g] +28.22. Różnica 0.1 cm na skali wagi równa się 0.3 g, i taka jest czułoœć tej wagi (patrz wykres na następnej stronie).
Ocena błędu
Błąd pomiaru położenia wagi Jolly'ego wynosił 0.1 cm, i była to jedyna bezpoœrednio mierzona wartoœć. Jednakże przy obliczaniu gęstoœci względnej korzystaliœmy ze wzoru
gdzie wystepują trzy różne pomiary położenia. Obliczając błąd metodą różniczki zupełnej otrzymujemy:
Licząc przykładowy błąd dla pierwszego pomiaru (ciało 1, woda) otrzymujemy błąd równy 0.13+0.20+0.33=0.66, co daje błąd względny rzędu 25%.
W przypadku wagi Mohra tak położenie jak i masa koników były umowne, i w związku z brakiem jakichkolwiek bezpoœrednich pomiarów przy tej metodzie obliczenie błędu pomiarowego mija się z celem.
Wnioski
Porównując gęstoœci acetonu i alkoholu uzyskane za pomocą wagi Mohra ( 0.807 i 1.00 g/cm3) z wartoœciami z tablic fizycznych (0.786 i 0.787 g/cm3) widzimy, że pomiar gęstoœci acetonu wypadł bardzo blisko spodziewanego rezultatu. Natomiast wyliczona gęstoœć alkoholu jest praktycznie równa gęstoœci wody. Najprawdopodobniej nie był to więc czysty alkohol, lecz alkohol z dużą zawartoœcią wody. Czynnikami, które w istotny sposób mogły wpłynąć na dokładnoœć pomiaru była zbyt mała iloœć koników do wypoziomywowania wagi i niemożliwoœć sprawdzenia rzeczywistych relacji pomiędzy ich masami. Dodatkowo należy tutaj także uwzględnić błąd paralaksy przy ustalaniu równowagi.
Błąd względny rzędu 25% dla wagi Jolly'ego nie jest błędem rażąco dużym dla tak mało profesjonalnego przyrządu. Poza wyliczonym błędem wynikającym z odczytu podziałki, istotne znaczenie miał także niestały współczynnik sprężystoœci sprężyny - nie wszystkie pomiary pokrywały się idealnie z przybliżoną funkcją (patrz wykres). Dodatkowo przy cechowaniu wagi niektóre pomiary przy obciążeniach malejących różniły się od rosnących, a więc sprężyna nie była idealnie sprężysta, aczkolwiek była słabo tłumiona i odczytanie położenia lekko oscylującej wskazówki również nastręczało pewne trudnoœci. Spoglądając na dokonane pomiary, należy zwrócić uwagę na fakt, że gęstoœci względne przy użyciu wody i alkoholu były prawie identyczne, co wspiera wczeœniejszą tezę o małej zawartoœci alkoholu w alkoholu. Nasuwa się pytanie, gdzie też podział się ów alkohol?
Ogólnie jednak, pomimo niedoskonałoœci obu wag, pomiary wykazują istotne zależnoœci i w dużym stopniu można na nich polegać przy porównywaniu gęstoœci różnych ciał stałych lub cieczy.