Fizyka - Zadania - Prąd elektryczny I

Poniżej znajdują się treści zadań związanych z wybranym tematem. Kliknij na odnośnik "więcej..." aby zobaczyć rozwiązanie zadania.
Uwaga! kolorem czerwonym zaznaczono zadania, których rozwiązania są dostępne dopiero po wykupieniu abonamentu. Jeśli nie masz w pełni aktywnego konta, kliknij tutaj.

01.	Ile wynosi natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący na pierwszej orbicie atomu wodoru z częstotliwością 6.5^.10^15Hz? więcej...
02.	Przy napięciu 24V przez przewodnik w ciągu 2 minut przepływa ładunek 12C. Ile wynosi opór tego przewodnika? więcej...
03.	Drut o oporze 8Ω rozciągnięto do długości dwukrotnie większej niż początkowa. Ile wyniesie opór rozciągniętego drutu, jeżeli podczas rozciągania nie zmieniają się ani opór właściwy ani gęstość materiału? więcej...
04.	Przy gęstości prądu 10^6A/m^2 między końcami przewodnika o długości 2m utrzymuje się różnica potencjałów 2V. Ile wynosi opór właściwy przewodnika? więcej...
05.	Jakie natężenie wskazuje amperomierz A na schemacie przedstawionym obok? Przyjąć R1=12Ω, R2=4Ω, I2=3A. więcej...
06.	W przedstawionym obwodzie napięcie między końcami opornika R1 wynosi 4V. Jaką wartość ma napięcie między końcami opornika R2? Przyjąć R1=2Ω, R2=3Ω, R3=3Ω. więcej...
07.	Policzyć opory zastępcze dla przedstawionych układów oporników o oporze R każdy. więcej...
08.	W układzie przedstawionym na rysunku galwanometr G nie wskazuje przepływu prądu. Ile wynosi opór R4, jeżeli R1=1Ω, R2=4Ω i R3=3Ω? więcej...
09.	Trzyżyłową linkę o oporze 10Ω rozpleciono i otrzymane przewody połączono w jeden szereg. Ile wynosi opór uzyskanego przewodnika? więcej...
10.	Z drutu oporowego zbudowano szkielet kwadratu wraz z jedną przekątną (patrz rysunek). Ile wynosi stosunek wypadkowego oporu RAC do RBD? więcej...
11.	Jaki opór należy dołączyć równolegle do oporu 24Ω, aby przez taki układ pod napięciem 12V płynął prąd o natężeniu 2A? więcej...
12.	Oblicz wartość oporu R2, jeżeli R1=4Ω. Woltomierz U1 wskazał napięcie 8V, a U2 napięcie 2V. więcej...
13.	Ile musi być równy opór R2, aby napięcia między punktami AB i BC obwodu były jednakowe? Przyjąć, że R1=11Ω, R3=1Ω. więcej...
14.	Znajdź opór R2, jeżeli w obwodzie napięcie między punktami A i B jest równe 2V. Przyjąć U=6V, R1=2Ω. więcej...
15.	Do jakiego napięcia naładuje się kondensator w obwodzie elektrycznym na rysunku obok? Jaki będzie ładunek na kondensatorze? Przyjąć U=10V, R1=2Ω, R2=3Ω, C=1µF. więcej...
16.	Amperomierz o oporze wewnętrznym 1Ω posiada zakres do 3A. Jaki należy podłączyć równolegle do amperomierza opór, aby jego zakres rozszerzyć do 15A? więcej...
17.	Ile wynosi moc wydzielana na oporniku R3? Przyjąć: U=120V, I=3A, R1=20Ω, R2=60Ω. więcej...
18.	Grzejnik elektryczny o oporze 12Ω pobierał prąd o natężeniu 10A. Po jakim czasie grzejnik zużył 10kWh energii? więcej...
19.	Na końcach drutu oporowego panuje napięcie 3V. Jak należy zmienić pole przekroju poprzecznego drutu, aby po zmianie napięcia na 15V ilość ciepła wydzielającego się w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy niezmienionej długości drutu)? więcej...
20.	Żarówka o mocy 20W przystosowana do napięcia 200V została włączona do napięcia 100V. Jaką posiada ona moc przy niezmienionej oporności włókna? więcej...
21.	Na którym z oporników w obwodzie prądu stałego wydzieli się najwięcej ciepła? Przyjąć R1=1Ω, R2=1Ω, R3=2Ω, R4=1Ω. więcej...
22.	Na którym oporniku podczas przepływu prądu wydzieli się największa moc? Przyjąć R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=1Ω. więcej...
23.	Winda o ciężarze 5000N wznosiła się przez 10 sekund. Na jaką wysokość wzniosła się winda, jeżeli natężenie prądu w silniku windy wynosiło 10A, a napięcie 500V? więcej...
24.	Do obwodu prądu stałego o napięciu 220V włączono silnik elektryczny. Oporność uzwojeń silnika wynosi 20Ω, a natężenie prądu płynącego przez silnik wynosi 1A. Ile wynosi moc użytkowa oraz sprawność silnika? więcej...
25.	Mierząc sprawność grzałki elektrycznej podczas ogrzewania wody, otrzymano wynik: η=80%. Ile ciepła w ciągu 5 minut woda pobrała od grzałki, jeżeli moc prądu płynącego przez grzałkę wynosiła 500W? więcej...

Zadanie 1

Treść: Ile wynosi natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący na pierwszej orbicie atomu wodoru z częstotliwością 6.5^.10^15Hz?

Dane: f = 6.5^. 10^15 Hz

Szukane: I = ?

Wzory: 1. Natężenie prądu 2. Okres i częstotliwość

Rozwiązanie:
Aby wyliczyć natężenie korzystając z pierwszego wzoru potrzebna nam będzie wartość ładunku elektronu. Wartość ta jest zawsze stała i wynosi (znajdziesz ją w każdych porządnych tablicach fizycznych)

Potrzebujemy czas, w jakim elektron okrąża orbitę atomu wodoru, a znajdujemy go korzystając z tego, że czas ten (tak zwany okres) jest odwrotnością częstotliwości

Zbierając wszystkie powyższe dane, wyliczamy szukane natężenie

Sprawdzamy jednostkę, pamiętając o tym, że herc to odwrotność sekundy

Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron wynosi 1.0413 ^. 10^-3 A.

Zadanie 2

Treść: Przy napięciu 24V przez przewodnik w ciągu 2 minut przepływa ładunek 12C. Ile wynosi opór tego przewodnika?

Dane: U = 24 V t = 2 min = 120 s Q = 12 C

Szukane: R = ?

Wzory: 1. Prawo Ohma 2. Natężenie prądu

Rozwiązanie:
Szukając oporu przewodnika R skorzystamy ze wzoru na opór elektryczny, czyli inaczej mówiąc z prawa Ohma. Otóż to prawo mówi, że opór jest liczbowo równy stosunkowi napięcia U, do którego podłączony jest przewodnik przez natężenie prądu I, które płynie przez nasz przewodnik.

W zadaniu nie mamy danego natężenia I. Ale wiemy (np. z poprzedniego zadania), że natężenie to stosunek ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepływa, czyli

Możemy zatem połączyć dwa powyższe wzory i wyliczyć szukany opór

Opór przewodnika wynosi 240 omów.

Zadanie 3

Treść: Drut o oporze 8Ω rozciągnięto do długości dwukrotnie większej niż początkowa. Ile wyniesie opór rozciągniętego drutu, jeżeli podczas rozciągania nie zmieniają się ani opór właściwy ani gęstość materiału?

Dane: R = 8 Ω ρ = const (opór właściwy) G = const (gęstość) l' = 2l

Szukane: R' = ?

Wzory: 1. Opór przewodnika (z uwzględnieniem oporu właściwego) 2. Gęstość

Rozwiązanie:
Zadanie nie jest takie trudne, jednak łatwo w nim się pomylić.
Na pewno skorzystamy ze wzoru, w którym zarówno występuje opór elektryczny i opór właściwy

gdzie:
R - opór elektryczny,
ρ - opór właściwy,
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju przewodnika.
Nie mamy danego pola przekroju, a jak wiadomo, skoro przewodnik się wydłuża, to jego pole przekroju musi się zmniejszyć. A jak liczbowo prezentują się te zmiany? Sprawdzimy to, korzystając z tego, że pole przekroju przewodnika S razy jego długość l to nic innego, jak objętość V

Przekształcamy ten wzór...

...i podstawiamy go do wzoru na opór

Powinniśmy się jeszcze zastanowić, czy zmienia się objętość przewodnika. Intuicyjnie wydaje się, że nie - ale we fizyce wszystko musi być udowodnione. Jak to zrobić? Ano wiemy jeszcze, że gęstość G materiału (czyli ilorazu masy przez objętość), z którego wykonany jest przewodnik nie zmienia się. Ze wzoru na gęstość...

...wyprowadzamy objętość...

...i wstawiamy to wszystko do wzoru na opór:

A przecież po rozciągnięciu masa drutu na pewno się nie zmieni!

Liczymy więc opór drutu przed rozciąganiem...

i szukany opór po rozciągnięciu:

Wykorzystujemy oczywiście to, że stałe są wartości charakteryzujące przewodnik: opór właściwy ρ, gęstość G oraz masa m.
Sprawdzimy jeszcze tylko, czy wzór generuje poprawną jednostkę, a co za tym idzie czy jest poprawny

Opór rozciągniętego drutu wynosi 32 omów.

Zadanie 4

Treść: Przy gęstości prądu 10^6A/m^2 między końcami przewodnika o długości 2m utrzymuje się różnica potencjałów 2V. Ile wynosi opór właściwy przewodnika?

Dane: j = 10^6 A/m^2 l = 2 m U = 2 V

Szukane: ρ = ?

Wzory: 1. Gęstość prądu 2. Opór właściwy 3. Opór elektryczny

Rozwiązanie:
Mamy znaleźć opór właściwy rozpatrywanego przewodnika. Cóż począć? Ano trzeba skorzystać ze wzoru na opór, w skład którego wchodzi opór właściwy ρ

Przekształcamy nasz wzór do postaci, w której wyliczymy szukaną

Oczywiście nie mamy danego oporu R, który możemy zastąpić stosując wzór trzeci

Nie mamy jednak danego natężenia prądu I oraz przekroju poprzecznego przewodnika S. Ale przecież za pomocą tych wartości wyrażamy gęstość prądu j (wzór pierwszy)

Otrzymany wzór posłużył nam do wyliczenia wartości gęstości prądu (pamiętajmy, że różnica potencjałów to inaczej napięcie), sprawdźmy jeszcze na wszelki wypadek jednostkę:

Trzeba wiedzieć, że jednostką oporu właściwego jest omometr (Ωm) - i tak nam wyszło.

Opór właściwy rozpatrywanego przewodnika wynosi 10^-6 Ωm.

Zadanie 5

Treść: Jakie natężenie wskazuje amperomierz A na schemacie przedstawionym obok? Przyjąć R1=12Ω, R2=4Ω, I2=3A.

Dane: R1 = 12Ω R2 = 4Ω I2 = 3A

Szukane: I = ?

Wzory: 1. Prawo Ohma 2. Równoległe łączenie oporników

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmujemy oznaczenia tak, jak na rysunku powyżej.
Mamy tu do czynienia z równoległym łączeniem oporów. W takim razie możemy wywnioskować, że:

Z prawa Ohma wiemy, że

Przekształcając ten wzór otrzymujemy

Zatem dla równoległego połączenia oporów prawdziwym jest

gdzie R jest oporem zastępczym oporów R₁ i R₂.
Z powyższej zależności wynika między innymi

Wzór na szukane natężenie I przyjmie postać

Znajdziemy najpierw opór zastępczy R dla równoległego połączenia kondensatorów

Wyliczamy na koniec szukane natężenie:

Amperomierz powinien wskazać natężenie równe 4 amperom.

Zadanie 6

Treść: W przedstawionym obwodzie napięcie między końcami opornika R1 wynosi 4V. Jaką wartość ma napięcie między końcami opornika R2? Przyjąć R1=2Ω, R2=3Ω, R3=3Ω.

Dane: R1 = 2 Ω R2 = 3 Ω R3 = 3 Ω U1 = 4 V

Szukane: U2 = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie oporników 2. Prawo Ohma

Rysunek:

Rozwiązanie:
Żeby rozwiązać powyższe zadanie, należy zapoznać się z zasadami równoległego i szeregowego łączenia oporników.
Najpierw rozpatrzymy natężenie prądu. Ze źródła prądu wypływa prąd o natężeniu I. Natężenie to przechodzi przez pierwszy opornik, a na połączeniu równoległym rozdziela się ono na dwa natężenia:
- przy oporniku drugim natężenie I₂
- przy oporniku trzecim natężenie I₃ (patrz rysunek).
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:

A co dzieje się z napięciem? Zgodnie z zasadą szeregowego łączenia oporników napięcie całkowite dzieli się pomiędzy opornik pierwszy (U₁) oraz opornik drugi i trzeci. A ponieważ te dwa ostatnie są połączone równolegle, to oznacza to, że napięcia na nich są identyczne

Z prawa Ohma wiemy, że opór to stosunek napięcia U do natężenia I. Przekształcając ten wzór otrzymujemy:

Powyższy wzór zastosujemy do naszego równania przedstawiającego rozkład natężenia prądu:

A ponieważ napięcia na drugim i trzecim oporniku są identyczne, to:

Pozostaje nam teraz wyprowadzić wzór na szukane napięcie U₂ i je wyliczyć

Napięcie między końcami opornika R₂ ma wartość 3 V.

Zadanie 7

Treść: Policzyć opory zastępcze dla przedstawionych układów oporników o oporze R każdy.

Dane: R

Szukane: RZ = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie oporników

Rozwiązanie:
a)

Najpierw policzymy opory zastępcze szeregowego połączenia oporników 1 i 2 oraz 3 i 4:

Te opory zastępcze tworzą układ równoległy, którego opór zastępczy wynosi:

Pozostaje nam wyliczenie oporu zastępczego całego układu oporników (teraz mamy układ szeregowy)

b)

Jeśli ktoś powie, że powyższy układ sprawia wrażenie trudnego, to ma rację - rzeczywiście tylko sprawia takie wrażenie. W rzeczywistości zadanie jest banalne, wystarczy zauważyć, że poniższy układ jest identyczny z powyższym:

Tak więc liczymy opór zastępczy układów równoległych złożonych z oporników 1, 2 i 3 oraz 4 i 5:

Powstaje nam układ szeregowy, którego opór zastępczy wynosi:

c)

Najpierw policzymy opór układu równoległego kondensatorów 6 i 7:

Teraz mamy szeregowe układy kondensatorów: 1-2-3, 4-5, 67-8. Liczymy ich opory:

Z powyższych układów utworzył nam się układ równoległy, po wyliczeniu jego oporu otrzymamy opór zastępczy:

d)

Zastanówmy się jak zachowuje się prąd elektryczny. Skoro mamy jednakowe oporniki o oporze R każdy, to prąd będzie chciał przepływać przez jak najmniejszą liczbę oporników. W naszym przypadku prąd może przepływać przez jeden z oporników na trzy różne sposoby:

Spróbujmy narysować nasz układ w nieco inny sposób

I w ten sposób zadanie stało się... proste. :) Liczymy opór zastępczy:

Zadanie 8

Treść: W układzie przedstawionym na rysunku galwanometr G nie wskazuje przepływu prądu. Ile wynosi opór R4, jeżeli R1=1Ω, R2=4Ω i R3=3Ω?

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 4 Ω R3 = 3 Ω

Szukane: R4 = ?

Wzory: 1. Opór elektryczny (prawo Ohma):

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na początek definicja:
Galwanometr - elektryczny przyrząd pomiarowy, służący do pomiaru małych natężeń prądu, napięcia oraz ładunku elektrycznego; urządzenie stosowane jest także jako wskaźnik zaniku prądu, tzw. wskaźnik zera.

Jeśli galwanometr nie wskazuje przepływu prądu, to znaczy, że napięcie pomiędzy punktami C i D jest równe zeru. Zatem

Niech potencjał punktu A będzie wyższy niż punktu B. Wtedy rozpływ prądów pokazuje powyższy rysunek. Napięcia na opornikach są równe:

A wobec faktu, że V_C = V_D, to

Policzmy, korzystając ze wzoru na opór, jak możemy wyrazić każde napięcie za pomocą oporu i natężenia prądu:

Z powyższych wzorów możemy zapisać dwie zależności (przyrównujemy te same natężenia):

Czas skorzystać z tego, że U₁ = U₂ i U₃ = U₄. Wobec tego powyższe dwie równości można zapisać jako jedną

Szukany opór wynosi:

Aby galwanometr nie wskazywał przepływu prądu, opornik R₄ musi mieć opór 12 omów.

Uwaga wniosek!
Jeżeli warunek

jest spełniony, to prąd nie płynie przez opór (w tym zadaniu galwanometr) łączący punkty C i D

Zadanie 9

Treść: Trzyżyłową linkę o oporze 10Ω rozpleciono i otrzymane przewody połączono w jeden szereg. Ile wynosi opór uzyskanego przewodnika?

Dane: R1 = 10 Ω S1 = 3S l1 = l S2 = S l2 = 3l

Szukane: R2 = ?

Wzory: 1. Opór przewodnika:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Opór drutu zmieni się wskutek zmiany długości oraz pola powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika. Dlatego skorzystamy z poniższego wzoru

gdzie:
l - długość przewodnika,
S - pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika,
ρ - opór właściwy.
Ponieważ opór właściwy zależy od materiału, z którego wykonany jest przewodnik, to będzie to wartość, która u nas nie będzie się zmieniać.

Przed rozkręceniem nasz przewodnik miał następujący opór:

Po rozkręceniu przewodów i połączeniu ich szeregowo otrzymamy przewodnik o trzykrotnie mniejszym przekroju poprzecznym, ale o trzykrotnie większej długości. Zatem:

Opór uzyskanego przewodu wynosi 90 omów.

Zadanie 10

Treść: Z drutu oporowego zbudowano szkielet kwadratu wraz z jedną przekątną (patrz rysunek). Ile wynosi stosunek wypadkowego oporu RAC do RBD?

Dane:

Szukane: RAC / RBD = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie oporników 2. Zadanie 8 z tego działu 3. Opór elektryczny:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że opór każdego boku kwadratu jest równy R. Znajdźmy najpierw opór przekątnej kwadratu R'.
Spójrzmy na wzór:

gdzie:
R - opór elektryczny przewodnika,
ρ - opór właściwy przewodnika (zależy od materiału, z którego przewodnik jest wykonany),
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju poprzecznego przewodnika.
Oczywistym jest, że wartości ρ i S są identyczne zarówno na bokach, jak i na przekątnej kwadratu. Ze wzoru widzimy, że opór wtedy jest proporcjonalny do długości przewodnika. W takim razie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy opór przekątnej R':

Opory R_AC i R_BD policzymy posługując się schematem pokazanym na rysunku. Warto zauważyć, że opór R_AC jest oporem zastępczym trzech przewodników połączonych równolegle: R-R, R', R-R. R-R to dwa przewody połączone szeregowo, tak więc ich opór wynosi 2R. Stąd:

Obliczając R_BD należy zauważyć, że

Zatem na podstawie zadania 8 z tego działu stwierdzamy, że przez przekątną prąd nie płynie! I to jest właśnie najtrudniejsza część zadania.
Opór R_BD jest więc zastępczym oporem dwóch przewodników R-R i R-R połączonych równolegle, zatem

Szukany stosunek oporów wynosi:

Zadanie 11

Treść: Jaki opór należy dołączyć równolegle do oporu 24Ω, aby przez taki układ pod napięciem 12V płynął prąd o natężeniu 2A?

Dane: U = 12 V I = 2 A R1 = 24 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory: 1. Równoległe łączenie oporników 2. Opór elektryczny (prawo Ohma):

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z prostym obwodem elektrycznym. Spójrzmy na wzór wyrażający prawo Ohma:

Mówi on, że całkowity opór układu, to iloraz napięcia do natężenia prądu.
Musimy więc znaleźć całkowity (zastępczy) opór układu. Zgodnie z zasadami równoległego łączenia oporników:

Opór zastępczy R_Z jest równy zgodnie z powyższym ilorazowi napięcia i natężenia prądu:

Pozostaje nam wyliczyć wartość szukanego oporu. Można od razu podstawiać dane, ale my to zrobimy w ładniejszy sposób - najpierw wyprowadzimy wzór:

Do danego oporu należy dołączyć równolegle opornik o oporze 8 Ω, aby otrzymać prąd o zadanych parametrach.

Zadanie 12

Treść: Oblicz wartość oporu R2, jeżeli R1=4Ω. Woltomierz U1 wskazał napięcie 8V, a U2 napięcie 2V.

Dane: R1 = 4 Ω U1 = 8 V U2 = 2 V

Szukane: R2 = ?

Wzory: 1. Szeregowe łączenie oporników 2. Opór elektryczny (prawo Ohma):

Rozwiązanie:
Mamy szeregowe połączenie oporników. Zatem:

Korzystamy z (***), czyli z tego że natężenie prądu jest wszędzie takie samo. Przekształcając wzór wynikający z prawa Ohma, otrzymujemy:

Nie przypadkiem tak zrobiliśmy. Możemy teraz wyliczyć opór zastępczy całego układu. Ponieważ

to...

...a korzystając z (**):

Szukany opór możemy wyliczyć teraz na dwa równoważne sposoby.

Pierwszy sposób:
Wykorzystujemy po prostu równanie (*):

Drugi sposób:
Korzystamy z równania wynikającego z (***):

Szukany opornik ma wartość 1 Ω.

Uwaga!
Ktoś może słusznie zauważyć taką rzecz. Dlaczego natężenie prądu jest wszędzie takie samo, skoro część natężenia idzie do oporników, a część do woltomierzów?
W zadaniu zakładamy, że mamy woltomierz idealny, czyli taki, który ma nieskończenie duży opór. A taki opór spowodowałby, że natężenie prądu byłoby nieskończenie małe (więcej znajdziesz w teorii - punkt 19.6).

Zadanie 13

Treść: Ile musi być równy opór R2, aby napięcia między punktami AB i BC obwodu były jednakowe? Przyjąć, że R1=11Ω, R3=1Ω.

Dane: R1 = 11 Ω R3 = 1 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie oporników 2. Opór elektryczny (prawo Ohma):

Rozwiązanie:
Jak Jamnik zazwyczaj rozwiązuje takie zadania? Najpierw z tabelki o szeregowym i równoległym łączeniu oporników (lub z głowy) wypisuje potrzebne wartości:

Skąd on wie, że akurat te są potrzebne? Z doświadczenia. Jeśli go nie masz, po prostu wypisz wszystkie wzory. :)
Wzór (*) oznacza, że napięcia na układzie równoległym oporników 1 i 2 oraz na oporniku 3 są równe - to akurat wynika z treści zadania.
Wzór (**) mówi, że natężenie prądu się nie zmienia (szeregowe połączenie oporników).
Natomiast wzór (***) to nic innego, jak opór zastępczy układu równoległego oporników 1 i 2.

Indeks "12" przy oznaczeniach oznaczać będzie, że wartość ta odnosi się do układu zastępczego równoległego połączenia oporników R₁ i R₂. Policzmy opór zastępczy tych oporników zgodnie z (***):

Korzystamy z danych zadania. Mamy dane, zgodnie z (*), że:

Korzystamy ze wzoru na prawo Ohma i przekształcając go odpowiednio, otrzymujemy, że:

A ponieważ natężenia prądu są sobie równe (**), to:

Zatem:

Aby napięcia między punktami AB i BC były równe, opór R₂ musi być równy 1.1 Ω.

Zadanie 14

Treść: Znajdź opór R2, jeżeli w obwodzie napięcie między punktami A i B jest równe 2V. Przyjąć U=6V, R1=2Ω.

Dane: U = 6 V UAB = 2 V R1 = 2 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory: 1. Szeregowe łączenie oporników 2. Prawo Ohma:

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z szeregowym łączeniem oporników. W takim przypadku natężenie prądu w każdym punkcie obwodu jest stałe (I = const), a zatem:

Przekształcając wzór na prawo Ohma, otrzymujemy wyrażenie opisujące wartość natężenia prądu:

Możemy zapisać więc nasze równanie jako:

gdzie:
R_Z - opór zastępczy szeregowego układu oporników,
U₂ - to inaczej natężenie prądu pomiędzy punktami U_AB.
Oczywiście opór zastępczy oporników wynosi:

Obliczamy więc nasz szukany opór R₂ (środkowa część równania nie będzie nam potrzebna):

Wartość szukanego opornika wynosi 1 Ω.

Zadanie 15

Treść: Do jakiego napięcia naładuje się kondensator w obwodzie elektrycznym na rysunku obok? Jaki będzie ładunek na kondensatorze? Przyjąć U=10V, R1=2Ω, R2=3Ω, C=1µF.

Dane: U = 10 V R1 = 2 Ω R2 = 3 Ω C = 1 µF

Szukane: UC = ? QC = ?

Wzory: 1. Szeregowe łączenie oporników 2. Prawo Ohma 3. Pojemność kondensatora

Rysunek:

Rozwiązanie:
Powyższy rysunek przedstawia ten sam obwód elektryczny - jeśli tego nie widać od razu, należy się dokładniej przypatrzeć. :)
Mamy więc układ równoległy kondensatora i opornika 2, a układ ten jest połączony szeregowo z opornikiem pierwszym.
I teraz potrzebne są nam podstawowe wiadomości o kondensatorach.
Wiemy, że kondensator gromadzi ładunek - nie przepływa więc przez niego prąd. Dlatego przebieg natężenia prądu I w układzie zaznaczono niebieskimi strzałkami - widzimy, że dla natężenia prądu oporniki są połączone szeregowo. Dlatego opór zastępczy układu wynosi:

Ponieważ natężenie prądu w układzie szeregowym oporników jest stałe, to możemy zapisać, że:

Przekształcając wzór na prawo Ohma (wyprowadzamy z niego natężenie I) otrzymujemy:

Naszym zadaniem jest znaleźć napięcie U_BC. Ponieważ pod tym napięciem znajduje się układ równoległy kondensatora i opornika drugiego, to napięcia na tych podzespołach będą identyczne:

gdzie:
U_C - napięcie, do którego naładuje się kondensator (szukana),
U₂ - napięcie na drugim oporniku.

Korzystamy więc z naszego równania (środkowy człon nie będzie nam potrzebny) do wyliczenia szukanego napięcia:

Wyliczenie drugiej szukanej, czyli ładunku kondensatora, nie powinno sprawić trudności. Liczymy to ze wzoru na pojemność kondensatora, który przekształcamy do postaci:

Zatem kondensator naładował się do napięcia 6 woltów, a jego ładunek to 6 mikrokulombów.

Zadanie 16

Treść: Amperomierz o oporze wewnętrznym 1Ω posiada zakres do 3A. Jaki należy podłączyć równolegle do amperomierza opór, aby jego zakres rozszerzyć do 15A?

Dane: I1 = 3 A I2 = 15 A RA = 1 Ω

Szukane: R = ?

Wzory: 1. Równoległe łączenie oporników 2. Prawo Ohma

Rozwiązanie:
Skoro amperomierz pozwala nam mierzyć natężenie prądu do zakresu I₁, to napięcie na amperomierzu wynosi (przekształciłem wzór na prawo Ohma):

Teraz pod to samo napięcie przykładamy zmodyfikowany amperomierz. Dołączyliśmy do niego równolegle opornik R. Wobec tego opór zastępczy naszego układu wynosi:

Natężenie prądu na zmodyfikowanym amperomierzu ma wynosić I₂, napięcie jest równe więc:

Przyrównujemy nasze wzory na napięcia i otrzymujemy szukaną wartość oporu:

Aby uzyskać zakres pomiaru do 15 A, należy dołączyć równolegle do amperomierza opornik o wartości 0.25 Ω.

Zadanie 17

Treść: Ile wynosi moc wydzielana na oporniku R3? Przyjąć: U=120V, I=3A, R1=20Ω, R2=60Ω.

Dane: U = 120 V I = 3 A R1 = 20 Ω R2 = 60 Ω

Szukane: P3 = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie oporników 2. Prawo Ohma 3. Moc prądu stałego

Rysunek:

Rozwiązanie:
Skoro dotarłeś/aś już do tego zadania, bez problemu zauważysz, że obwód na powyższym rysunku jest identyczny z obwodem na rysunku z treści zadania.
Aby policzyć moc wydzieloną na oporniku R₃, należy znaleźć napięcie U₃ i natężenie I₃ dla tego opornika.
Przystępujemy do dzieła.
Źródło prądu daje napięcie U. Zgodnie z zasadami szeregowego łączenia oporników, zostaje one podzielone na napięcia U₁ i U₂₃. Jednocześnie natężenie prądu nie zmieni się:

Możemy zatem wyliczyć napięcie na oporniku pierwszym:

Zatem napięcie U₂₃ (czyli na układzie oporników połączonych równolegle) wynosi:

Przechodzimy teraz do równoległego układu oporników.
Wiemy, że w takim przypadku napięcie nie zmieni się, jednak podzieli się natężenie. Zatem słuszne są wzory:

Pamiętamy oczywiście, że:

Liczymy natężenie prądu dla opornika drugiego:

Zatem przez opornik trzeci przepływa prąd o natężeniu:

Szukana moc wydzielona na oporniku R₃ wynosi więc:

Zadanie 18

Treść: Grzejnik elektryczny o oporze 12Ω pobierał prąd o natężeniu 10A. Po jakim czasie grzejnik zużył 10kWh energii?

Dane: R = 12 Ω I = 10 A E = 10 kWh

Szukane: t = ?

Wzory: 1. Kilowatogodzina 2. Moc prądu stałego: 3. Praca i moc:

Rozwiązanie:
Co to jest kilowatogodzina (kWh)?
Jest to oczywiście alternatywna jednostka energii. Otóż my przyzwyczailiśmy się do podawania wartości energii wyrażonej w dżulach (J). Spróbujmy przeliczyć kilowatogodziny na dżule:

Skorzystaliśmy z tego, że moc razy czas daje nam energię (pracę)

Nasz grzejnik ma opór R i pobiera prąd o natężeniu I. Znajdźmy jego moc P. W tym celu korzystamy z odpowiedniego wzoru na moc:

Teraz szukamy czasu t. Grzejnik zużył W = 10 kWh energii. Przekształcając wzór na moc otrzymujemy:

W ten sposób możemy wyliczyć szukany czas

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

W ciągu 500 minut grzejnik zużyje 10 kilowatogodzin energii.

Zadanie 19

Treść: Na końcach drutu oporowego panuje napięcie 3V. Jak należy zmienić pole przekroju poprzecznego drutu, aby po zmianie napięcia na 15V ilość ciepła wydzielającego się w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy niezmienionej długości drutu)?

Dane: U1 = 3 V U2 = 15 V Q = const l = const (długość drutu) t = const

Szukane: S1 / S2 = ?

Wzory: 1. Opór elektryczny 2. Praca prądu (ciepło):

Rozwiązanie:
Zmieniając przekrój poprzeczny drutu, zmienimy jego opór R zgodnie ze wzorem:

gdzie:
l - długość drutu (const),
S - pole przekroju poprzecznego drutu,
ρ - opór właściwy (też const, bo ta wielkość charakteryzuje materiał, z którego wykonany jest drut).

Spróbujmy jeszcze wyrazić ciepło (pracę) prądu stałego przepływającego przez nasz drut. Korzystając z prawa Ohma, możemy je wyrazić na trzy równoważne sposoby:

Nam najbardziej przyda się wzór, w którym jest natężenie U oraz opór R, czyli

Korzystając z naszych rozważań o oporze, wzór na ciepło przyjmie postać:

Przed zmniejszeniem przekroju poprzecznego, gdy panowało napięcie U₁ mieliśmy sytuację (korzystamy od razu z tego, że W, t, l, ρ = const):

Po zwiększeniu napięcia:

Przyrównujemy oba wzory...

...upraszczamy co się da i otrzymujemy zależność:

Aby ilość ciepła w jednostce czasu nie uległa zmianie, należy zmniejszyć przekrój poprzeczny drutu 25 razy.

Zadanie 20

Treść: Żarówka o mocy 20W przystosowana do napięcia 200V została włączona do napięcia 100V. Jaką posiada ona moc przy niezmienionej oporności włókna?

Dane: P1 = 20 W U1 = 200 V U2 = 100 V R = const

Szukane: P2 = ?

Wzory: 1. Moc prądu stałego

Rozwiązanie:
Indeksem "1" będziemy zaznaczać wielkości charakteryzujące żarówkę, do których jest przystosowana, a "2" wielkości, w których żarówka pracuje.
Należy znaleźć wzór na moc żarówki, w którym zarówno występuje napięcie U, jak i opór R. Znając jeden wzór na moc prądu stałego, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory (korzystając z prawa Ohma). Mamy zatem:

My oczywiście korzystamy z tego trzeciego.
Dla warunków "normalnych" dla żarówki mamy:

Dla żarówki z zadania:

W obu przypadkach korzystamy z tego, że opór R nie zmienia się. Po prawo wyprowadzamy wzory na opór, które teraz przyrównamy:

Możemy więc już znaleźć wartość szukanej mocy

Żarówka przy napięciu 100 woltów posiada moc 5 watów.

Zadanie 21

Treść: Na którym z oporników w obwodzie prądu stałego wydzieli się najwięcej ciepła? Przyjąć R1=1Ω, R2=1Ω, R3=2Ω, R4=1Ω.

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 1 Ω R3 = 2 Ω R4 = 1 Ω

Szukane: WMAX = ?

Wzory: 1. Praca prądu stałego (ciepło)

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na ciepło (pracę), możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając z prawa Ohma:

Będziemy korzystać ze wzoru, w którym występuje zarówno opór R, jaki i napięcie U. A dlaczego?
Dlatego, że stworzymy sobie teraz układ równoległy oporników 1-2-3 i 4. Wtedy napięcia na takich opornikach będą identyczne (czas również jest stały - liczymy ciepło w tych samych jednostkach czasu). Należy więc policzyć opór zastępczy układu oporników 1-2-3:

Liczymy ciepło (pracę) dla układu oporników 1-2-3 i opornika 4:

Czyli widzimy, że na opornikach 1-2-3 wydziela się mniej ciepła niż, na oporniku czwartym.

Najwięcej ciepła wydzieli się na oporniku czwartym.

Zadanie 22

Treść: Na którym oporniku podczas przepływu prądu wydzieli się największa moc? Przyjąć R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=1Ω.

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 2 Ω R3 = 3 Ω R4 = 1 Ω

Szukane: PMAX = ?

Wzory: 1. Moc prądu stałego: 2. Prawo Ohma:

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na moc prądu, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając z prawa Ohma:

Rozważmy układ szeregowy oporników 1-2 i 3-4. Policzymy ich opory:

W układzie szeregowym mamy stałe natężenie prądu I, więc przekształcając wzór na prawo Ohma zauważymy, że:

Będziemy mieli teraz do rozważenia dwa równoległe układy oporników, w których napięcie prądu jest stałe. Mamy więc:

Czyli w grę tylko wchodzą oporniki nr 1 i 4. Ale:

Dlatego też największa moc wydzieli się na oporniku czwartym.

Zadanie 23

Treść: Winda o ciężarze 5000N wznosiła się przez 10 sekund. Na jaką wysokość wzniosła się winda, jeżeli natężenie prądu w silniku windy wynosiło 10A, a napięcie 500V?

Dane: Q = 5000 N t = 10 s I = 10 A U = 500 V

Szukane: s = ?

Wzory: 1. Praca prądu stałego: 2. Praca:

Rozwiązanie:
Jak już się domyślacie, w zadaniu trzeba porównać powyższe dwa wzory na pracę. Jednocześnie przypomnimy sobie parę informacji z dynamiki. :)
Pierwszy wzór na pracę to iloczyn wektora siły, wektora przesunięcia i kąta między nimi. Winda porusza się w górę, wektory siły działającej i przesunięcia mają te same zwroty oraz kierunki, więc

Zatem wzór na pracę przyjmie postać:

Zakładamy, że siłą działającą jest siła równoważna sile ciężkości, a wtedy zgodnie z I zasadą dynamiki winda będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Wzór na pracę prądu stałego ma postać:

Należy więc porównać oba wzory na pracę i wyliczyć szukane przesunięcie (droga) s:

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

Zatem winda wzniosła się na wysokość 10 metrów.

Zadanie 24

Treść: Do obwodu prądu stałego o napięciu 220V włączono silnik elektryczny. Oporność uzwojeń silnika wynosi 20Ω, a natężenie prądu płynącego przez silnik wynosi 1A. Ile wynosi moc użytkowa oraz sprawność silnika?

Dane: U = 220 V RS = 20 Ω I = 1 A

Szukane: PUŻ = ? η = ?

Wzory: 1. Moc prądu stałego: 2. Sprawność: 3. Prawo Ohma:

Rozwiązanie:
Moc silnika można wyliczyć z trzech alternatywnych wzorów. Mając jeden z nich i stosując prawo Ohma, otrzymamy dwa pozostałe, tak więc

Mamy obwód elektryczny, do którego podłączony jest silnik. Parametry prądu elektrycznego określają wartości napięcia U i natężenia I. Korzystając z prawa Ohma, możemy obliczyć opór:

Ale zaraz, my przecież już mamy dany jakiś opór. Owszem, ale to jest tylko opór uzwojenia silnika i wchodzi on w skład oporu całkowitego R.
No właśnie. Korzystając z oporu całkowitego R, możemy obliczyć moc całego układu:

Mogliśmy skorzystać z innego wzoru na moc, to bez różnicy - zawsze wyjdzie to samo.
A jak obliczyć moc użytkową? Tak samo, tylko że zmieni nam się wartość oporu. Od całkowitego oporu odejmujemy opór uzwojenia silnika i w ten sposób otrzymamy opór "użytkowy":

Liczymy więc moc użytkową:

Teraz bez problemu możemy wyliczyć sprawność silnika:

Moc użytkowa silnika wynosi 200 watów, a jego sprawność około 91%.

Zadanie 25

Treść: Mierząc sprawność grzałki elektrycznej podczas ogrzewania wody, otrzymano wynik: η=80%. Ile ciepła w ciągu 5 minut woda pobrała od grzałki, jeżeli moc prądu płynącego przez grzałkę wynosiła 500W?

Dane: P = 500 W η = 80% t = 5 min = 300 s

Szukane: W = ?

Wzory: 1. Sprawność: 2. Praca (ciepło):

Rozwiązanie:
Uwaga! Przed rozwiązaniem tego zadania, przyda się zapoznanie z zadaniem poprzednim.
Aby obliczyć ilość ciepła, jakie woda pobrała od grzałki, musimy znaleźć moc użytkową grzałki. Gdyby sprawność grzałki wynosiła 100%, to moglibyśmy skorzystać już z danej mocy P, jednak tak nie jest. Zatem korzystamy ze wzoru na sprawność i liczymy moc użytkową P_UŻ:

Ilość ciepła znajdujemy korzystając ze wzoru na pracę prądu stałego:

A zatem:

Woda pobrała od grzałki 120 kilodżuli ciepła.

---