SPRAWOZDANIE Z ÿWICZ. NR. 8

Sprawozdanie z wicz. nr 1

Temat: Wyznaczenie momentu bezwadnoci i sprawdzenie twierdzenia Steinera.

Celem wiczenia jest :

a) stwierdzenie zalenoci okresu drga wahada od momentu bezwadnoci

b) dowiadczalne potwierdzenie dowiadczenia Steinera

c) wyznaczenie momentu bezwadnoci cia wzgldem osi przechodzcej przez rodek masy

Wiadomoci wstpne:

Podstaw caego dowiadczenia jest twierdzenie Steinera które mówi e: rónica momentów bezwadnoci ciaa wzgldem dwóch równolegych osi, z których jedna przechodzi przez rodek masy, równa jest iloczynowi masy ciaa m i kwadratu odlegoci d miedzy osiami:
. Moment bezwadnoci I dany jest zalenoci: 0x01 graphic
, natomiast
jest momentem bezwadnoci wzgldem osi przechodzcej przez rodek masy ciaa. Natomiast moment bezwadnoci z definicji wyraa si wzorem
gdzie r jest odlegoci elementarnej masy dm od rodka masy ciaa.

Z twierdzenia Steinera wynika bardzo wany wniosek a mianowicie, e dla dwóch rónych odlegoci d₁ i d₂ od osi przechodzcej przez rodek masy ciaa mamy:
a podstawiajc wzór na I otrzymujemy:
Powysza zaleno oraz wynikajca z niej staa warto C posuy mi jako dowód twierdzenia Steinera. Korzystajc z tej staej moemy w atwy sposób obliczy
.

Model dowiadczenia:

Modelem w wykonywaniu dowiadczenia bdzie wahado fizyczne (metalowa tarcza z symetrycznie nawiercanymi otworami oraz piercie metalowy) zawieszone na metalowej podporze, okres drga bdzie mierzony stoperem elektronicznym, natomiast masa cia wag laboratoryjn elektroniczn.

Przebieg dowiadczenia:

POMIAR DLA TARCZY Z OTWORAMI

a) Pomiar podwojonej odlegoci od osi obrotu do rodka masy tarczy:

2d₁=149,76
0,05 [mm] 2d₂=100,12
0,05 [mm] 2d₃=50,36
0,05 [mm]

b) redni okres drga (czas trwania 100 drga):

		d₁			d₂			d₃
	100T [min]	T [s]	T [s]	100T [min]	T [s]	T [s]	100T [min]	T [s]	T [s]
1	1,09,02	0,6902	0,00365	1,08,40	0,6840	-0,0016	1,18,25	0,7825	-0,00485
2	1,10,07	0,7007	-0,00485	1,08,42	0,6842	-0,0018	1,16,48	0,7648	0,01285
3	1,09,77	0,6977	-0,00185	1,07,69	0,6769	0,0055	1,18,24	0,7824	-0,00475
4	1,09,48	0,6948	0,00105	1,08,45	0,6845	-0,0021	1,18,09	0,7809	-0,00325

T₁=0,69585
=1,6*0,0018567 T₂=0,6824
=1,6*0,0018362 T₃=0,77765
=1,6*0,0043082

T₁=0,696
0,003 [s] T₂=0,682
0,003 [s] T₃=0,778
0,007 [s]

c) Obliczenie staej C:

C₁=0,35568 - 0,22135 = 0,13432 m²
C₁=0,05507 m²

C₂=0,22868 - 0,09893 = 0,12974 m²
C₂=0,03275 m²

C₃=0,14938 - 0,02503 = 0,12434 m²
C₃=0,06986 m²

C= 0,12946 m²
C=0,05256 m²

C=0,130
C=0,053 [m²]

d) Masa tarczy: m=1061,5 g
0,1 g

e) Na podstawie równania
obliczam moment bezwadnoci ciaa wzgldem osi rodkowej

I₀= 3,48093 gm²
I₀=
=1,41356 gm²

I₀=3,48
1,42 [gm²]

POMIAR DLA PIERCIENIA METALOWEGO

a) Pomiar podwojonej odlegoci od osi obrotu do rodka masy piercienia:

2d= 104,42
0,05 [mm]

b) redni okres drga (czas trwania 100 drga):

		d
	100T [min]	T [s]	T [s]
1	1,07,73	0,6773	-0.00352
2	1,07,71	0,6771	-0,00332
3	1,0743	0,6743	-0,00520
4	1,06,60	0,6660	0,00778
5	1,07,72	0,6742	-0,00420

T=0,67378
=1,5*0,0025359

T=0,674
0,004 [s]

c) Masa piercienia: m = 221,6 g
0,1 g

d) Wyznaczam moment bezwadnoci piercienia wzgldem osi obrotu korzystajc z zalenoci: 0x01 graphic
= 1,30517
I=
=0,0012652

I=1,305
0,002 [gm²]

e) Korzystajc z twierdzenia Steinera obliczam moment bezwadnoci piercienia wzgldem osi przechodzcej przez rodek masy:

= 1,30517 - 0,60405= 0,70111 gm²
0,002 gm²

f) Obliczam moment bezwadnoci z tablicowego wzoru
.

r = 0,05221 m
0,00005 m R = 0,05976 m
0,00005 m m = 221,6 g
0,1 g

I₀ = 0,69772
I₀=
= 0,0015554

I₀=0,698
0,002 [gm²]

Z wyników oblicze ( punkty e) i f) ), wynika, e moment bezwadnoci wyznaczony metod dowiadczaln pokrywa si z wynikiem wyznaczonym ze wzoru
, co jest potwierdzeniem poprawnoci wykonania dowiadczenia.

Ocena dokadnoci pomiarów:

Pomiary gabarytowe oraz waga ciaa byy pomiarami pojedynczymi z przyjtym bdem narzdzia pomiarowego. Pomiar okresu dla zwikszenia dokadnoci by wykonany dla stu okresów, a oprócz tego wykonany zosta kilka razy. Taka ilo wyników pomiaru pozwolia oszacowa redni okres wraz z bdem na podstawie metody F-Studenta (przyjty poziom ufnoci 80% - wspóczynnik N=1,6 (1,5) ). Bdy wyników zoonych obliczyem metod róniczki zupenej.

Wnioski:

Potwierdzeniem zaoenia Steinera, jest staa C która zostaa obliczona dla rónych okresów i rónych odlegoci od osi przechodzcej przez rodek masy ciaa. Jest ona staa w granicach bdu i jej rednia warto wynosi C=0,130
C=0,053 [m²] . Staa ta moe mam posuy midzy innymi do wyliczenia momentu bezwadnoci ciaa wzgldem osi przechodzcej przez rodek masy. Zalenoci okrelajc okres drga od momentu bezwadnoci jest nastpujca 0x01 graphic
. Innym wanym wzorem jest wzór „tablicowy” momentu bezwadnoci dla piercienia
i take w tym przypadku wystpuje pena zgodno (w granicach bdu) midzy tym wzorem a wynikiem uzyskanym w sposób dowiadczalny i obliczonym ze wzoru Steinera
.

Symbole uyte we wzorach:

I [gm²] - moment bezwadnoci

T [s] - czas trwania jednego okresu

g [m/s²] - warto przyspieszenia ziemskiego

m [g] - - masa ciaa

d [m] - - odlego osi obrotu od osi przechodzcej przez rodek masy

C [m²] - staa warto wynikajca z twierdzenia Steinera

= t_N 0x01 graphic
- odchylenie standardowe redniej

N - liczba pomiarów

- poziom ufnoci

t_N - wspóczynnik F-Studenta