Zadanie 1

Dany jest łączny rozkład zmiennych X i Y:

X \ Y	1	2	3	razem		a) (dla wszystkich) Wyznacz rozkłady zmiennych:
0	0,1	0,1	0	0,2		Z = (X - 1)^2
1	0,2	0,1	0,1	0,4		W = (Y - 2)^2
2	0	0,1	0,3	0,4		V = X + Y
razem	0,3	0,3	0,4	1		T = Y - X + 1

b) (dla ambitnych) wyznacz łączne rozkłady:

1. P(X = xi ∧ Z = z_j)

2. P(X = xi ∧ W = w_j)

3. P(X = xi ∧ V = v_j)

4. P(X = xi ∧ T = t_j)

5. P(Y = yj ∧ Z = z_j)

6. P(Y = yj ∧ W = w_j)

7. P(Y = yj ∧ V = v_j)

8. P(Y = yj ∧ T = t_j)

9. P(Z = zj ∧ W = w_j)

10. P(Z = zj ∧ V = v_j)

11. P(Z = zj ∧ T = t_j)

12. P(W = wj ∧ V = v_j)

13. P(W = w_j ∧ T = tj)

14. P(V = v_j ∧ T = tj)

Zadanie 2

Zmienne Y i Z są funkcjami zmiennej X:

Y = X²+1

Z = (X - 2)²

Dane są parametry zmiennej X. Proszę wyznaczyć parametry zmiennych Y oraz Z:

	minimum	średnia	modalna	mediana	wariancja	błąd modalnej	odchylenie przeciętne od mediany	entropia
X	0	8	{6; 9}	<7; 8>	16	0,85	9	3,2
Y
Z

Zadanie 3

X i Y to zmienne dwuwartościowe. Ich entropia jest taka sama, ale wariancja X jest 4 razy większa niż Y. Proszę podać przykładowe rozkłady częstości tych zmiennych.

Zadanie 4

Poniższa tabela przedstawia odsetek głosów uzyskanych w wyborach przez czterech kandydatów.

Kandydat	Odsetek uzyskanych głosów
Alojzy	0,4
Barnaba	0,3
Cecylia	0,2
Dagmara	0,1

Wiadomo również, że wariancja liczby uzyskanych głosów wynosi 125. Po ile głosów otrzymali poszczególni kandydaci?

Zadanie 5

Zmienne X oraz Y przyjmują wartości ze zbioru {1, 2, 3}. Zmienna Z jest ich sumą, tzn.: Z=X+Y.

Zaproponuj taki łączny rozkład częstości zmiennych X i Y, aby błąd modalnej zmiennej Z wynosił 0,7.

Zadanie 6

W pewnej firmie po podwyżce (funkcja liniowa zarobków) wariancja zarobków wzrosła o 21%, a średnia o 50% i wynosi teraz 3000 PLN. Jaka to była podwyżka?

Zmienna X przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru {1; 2; 3}. Wiadomo, że P(X=1) = P(X=3). Czy z tego wynika, że:			W pewnej zbiorowości zmienna X przyjmuje wyłącznie dwie wartości 0 i 10. Wiadomo, że d(X) =2. Czy wynika z tego, że:
E(X) = Me(X)	T		b(X) = 0,2	T
b(X) = P(X=2)	N		D^2(X) = 16	N
D^2(X) = 1 - P(X=2)	T		H(X) może być większa od 1	N
D^2(X) = d(X)	T		Mo(X) = Me(X)	T

W pewnej grupie liczącej 27 osób średnia i mediana wieku były równe po 23 lata, a odchylenie przeciętne oraz odchylenie standardowe wynosiły 2 lata. Do grupy dołączyły dwie osoby mające 21 lat i 25 lat. Czy wynika z tego, że			Gdy przyjmujemy kwadratową funkcję błędu i przewidujemy za pomocą średniej to zawsze:
Średnia wieku nie zmieniła się	T		Średnia z błędów przewidywania będzie równa 0	T
Odchylenie standardowe nie zmieniło się	T		Średnia z funkcji błędu będzie równa średniej.	N
Wariancja wzrosła	N		Średnia z funkcji błędu będzie równa wariancji.	T
Mediana wzrosła	N		Średnia z funkcji błędu jest najmniejsza przy tym przewidywaniu.	T
Odchylenie przeciętne nie zmieniło się	T
Modalna wieku zmalała	N
Zmalał błąd modalnej	N