LICZBY ZESPOLONE

Działaniem wewnętrznym (krótko będziemy mówić - działaniem) w zbiorze K nazywamy każdą funkcję . Wartość funkcji dla elementów x,y∈K, zapisujemy lub .

Przykład. Odejmowanie jest działaniem w zbiorze liczb całkowitych natomiast nie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych.

Niech będą dane zbiory H i K. Działaniem zewnętrznym w zbiorze K nazywamy każdą funkcję . Wartość funkcji dla elementów zapisujemy: lub .

Grupą nazywamy zbiór G wraz z działaniem (wewnętrznym) , jeśli spełnione są następujące warunki:

1. (łączność)

2. (istnienie elementu neutralnego)

2. (istnienie elementu odwrotnego)

jeśli dodatkowo spełniony jest warunek:

4. (przemienność)

to grupę tę nazywamy grupą przemienną lub abelową.

Przykład.

1. Zbiór liczb rzeczywistych ze (zwykłym) dodawaniem jest grupą abelową.

2. Zbiór liczb rzeczywistych ze (zwykłym) mnożeniem nie jest grupą (0 nie posiada elementu odwrotnego); lecz R\{0} ze (zwykłym) mnożeniem jest grupą abelową.

TWIERDZENIE. W każdej grupie G istnieje dokładnie jeden element neutralny.

Dowód. Przypuśćmy, że w grupie G (z działaniem ⊗) istnieją dwa różne elementy neutralne e i e'. Wówczas e=e⊗e'=e' (równości te zachodzą, gdyż e i e' są elementami neutralnymi).

Zbiór K wraz z działaniami ⊕ (które umownie nazywamy dodawaniem) oraz ⊗ (które umownie nazywamy mnożeniem) nazywamy ciałem, jeśli spełnione są warunki:

1. K wraz z ⊕ stanowi grupę abelową, której elementem neutralnym jest Θ;

2. K\{Θ} wraz z ⊗ stanowi grupę abelową;

3. (rozdzielność ⊗ względem ⊕).

TWIERDZENIE. Ciało nie posiada dzielników zera, tzn.

a⋅b=0 ⇔ a=0 lub b=0.

LICZBY RZECZYWISTE

Z przedstawionych wcześniej faktów wynika, że:

TWIERDZENIE. Zbiór liczb rzeczywistych z działaniami dodawania i mnożenia stanowi ciało.

PRZYPOMNIENIE PEWNYCH FAKTÓW DOTYCZĄCYCH LICZB RZECZYWISTYCH.

Kresy. Niech będzie dany zbiór A⊂R.

Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry (z dołu), jeśli istnieje liczba M (m) taka, że

()

Niech A będzie zbiorem ograniczonym z góry (z dołu). Wówczas kresem górnym (kresem dolnym) zbioru A nazywamy liczbę sup A (inf A) taką, że

()

Jeśli A jest zbiorem nieograniczonym z góry (z dołu) to przyjmujemy: sup A= +∞ (inf A=-∞).

sup A= 3 inf A=-2

sup B=+∞ inf B=2

Zasada ciągłości. Każdy niepusty i ograniczony z góry (z dołu) zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny (dolny).

PODZBIORY ZBIORU LICZB RZECZYWISTYCH.

Liczby naturalne (oznaczamy N), są to liczby 0, 1, 2, ...

Liczby całkowite (oznaczamy Z), są to liczby ... , -2, -1, 0, 1, 2, ...

Liczby wymierne (oznaczamy Q), są to liczby, które można zapisać w postaci ułamka , gdzie p i q są liczbami wymiernymi oraz q≠0.

LICZBY ZESPOLONE.

Dla wielu rozważań matematycznych istotna jest możliwość rozwiązania równania postaci

x² = -1.

Już w XVI wieku matematyk włoski G. Cardano rozwiązał zagadnienie: Znaleźć takie liczby, których suma jest równa 10, a iloczyn równy 40; podając rozwiązanie: oraz . Później wielu matematyków wracało do tego zagadnienia, ale ostateczne matematyczne rozwiązanie sformułowali Gauss i Hamilton (XIX w).

Matematycznie problem ten można sformułować następująco: Znaleźć najmniejsze ciało C spełniające warunki:

1. R⊂C

2. równanie x²=-1 posiada w ciele C co najmniej jedno rozwiązanie.

Skonstruujmy to ciało:

Niech C będzie zbiorem par uporządkowanych liczb rzeczywistych wraz z działaniami:

(x₁,y₁)⊕(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)

(x₁,y₁)⊗(x₂,y₂)=(x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁)

Można sprawdzić, że C wraz z działaniami ⊕ oraz ⊗ stanowi ciało, którego zerem (elementem neutralnym ⊕) jest (0,0) oraz jedynką (elementem neutralnym ⊗) jest (1,0).

Zauważmy ponadto, że

(x₁,0)⊕(x₂,0)=(x₁+x₂,0) i (x₁,0)⊗(x₂,0)=(x₁x₂,0)

więc każdą parę postaci (x,0) możemy utożsamiać z liczbą rzeczywistą x (zamiast pisać (x,0) będziemy pisali krótko x). W ten sposób spełniony został warunek (i).

UWAGA. W dalszym ciągu zamiast ⊕ będziemy używać zwykłego znaku dodawania + oraz zamiast ⊗ zwykłego znaku mnożenia ⋅, z możliwością jego opuszczania, tam, gdzie nie prowadzi to do nieporozumień.

Elementy zbioru C nazywamy liczbami zespolonymi. Liczby te można przedstawiać w różnej postaci.

Wprowadźmy oznaczenie: (0,1)= i .

Obliczmy i ⋅i =(0,1)⋅(0,1)=(-1,0)=-1, czyli i ²=-1, a zatem spełniony jest warunek (ii).

POSTAĆ KANONICZNA LICZBY ZESPOLONEJ.

Zauważmy obecnie, że: (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+i y, więc dowolną liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci:

(x,y)=x+i y (postać kanoniczna liczby zespolonej).

Wówczas x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z (zapisujemy x= Re z), a y częścią urojoną liczby zespolonej z (zapisujemy y=Im z).

Uwaga: Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Tzn.

z₁ = z₂ ⇔ Re z₁ = Re z₂ ∧ Im z₁ = Im z₂.

Przyjmując z₁=x₁+i y₁ oraz z₂=x₂+i y₂ działania możemy zapisać:

z₁+z₂= (x₁+x₂)+ i (y₁+y₂) z₁-z₂=(x₁-x₂)+i (y₁-y₂) z₁z₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i (x₁y₂+x₂y₁)

przy założeniu, że z₂≠0 .

Liczbą sprzężoną do liczby z=x+i y nazywamy liczbę =x-i y.

GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA LICZB ZESPOLONYCH.

Liczy zespolone, to pary uporządkowane liczb rzeczywistych, a zatem każdą liczbę zespoloną z=x+iy=(x,y) można interpretować geometrycznie, jako punkt o współrzędnych x i y.

Odległością punku z od początku układu współrzędnych jest liczba |z|=, którą nazywamy modułem liczby z.

Jeśli z≠0, to każdą liczbę rzeczywistą ϕ określoną układem równości

oraz

nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy arg z (jest to zatem miara kąta wyrażona w radianach). Każda liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów różniących się o całkowitą wielokrotność liczby 2π. Dla każdej liczby zespolonej z istnieje dokładnie jeden jej argument należący do przedziału [0,2π), który nazywamy jej argumentem głównym i oznaczamy Arg z.

Z powyższego wynika, że każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci trygonometrycznej:

z= |z|(cos ϕ+i sin ϕ), gdzie ϕ jest argumentem liczby z, jeśli z≠0 oraz jest dowolną liczbą, jeśli z=0(=0+i 0).

WŁASNOŚCI LICZB ZESPOLONYCH.

TWIERDZENIE.

(Zakładamy, że liczby występujące w mianownikach ułamków są różne od 0)

1. ; ; ; .

3. , , .

4. .

Dowód. Przedstawimy tylko dowód b). Niech z=a+i b

= (a+i b)(a-i b)=a²+b² = |z|².

TWIERDZENIE (wzór de Moivre'a).

(cos ϕ + i sin ϕ)ⁿ = cos(nϕ) + i sin(nϕ).

Przykład wykorzystania tego wzoru.

Chcemy znaleźć wzór określający cos(2α) oraz sin(2α). Na podstawie wzoru de Moivre'a mamy:

cos(2α) + i sin(2α)= (cos α + i sin α)²= cos²α + i 2cos αsin α + i ²sin²α=

                                                                   = cos²α + i 2cos αsin α - sin²α

Porównując części rzeczywiste i urojone otrzymujemy:

cos(2α)=cos²α - sin²α oraz sin(2α)=2cos α⋅sin α.

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że wⁿ=z.

TWIERDZENIE.

Jeśli z=|z|(cos ϕ + i sin ϕ)≠0, to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z; pierwiastki te wyrażają się wzorem:

, k=0,1,2,...,n-1.

FUNKCJE ZESPOLONE.

Jeśli f:X→C (gdzie X jest dowolnym zbiorem), to funkcję taką nazywamy funkcją zespoloną. Każdą taką funkcję można utożsamiać z parą funkcji f(x)=u(x) + i v(x) (dla każdego x∈X), co zapisujemy:

f = u + i v.

Funkcję u nazywamy częścią rzeczywistą funkcji f (oznaczamy Re f), a funkcję v - częścią urojoną funkcji f (oznaczamy Im f).

4

-2

3

A

2

B

z=x+i y

x

y

|z|

ϕ

Dodawanie liczb zespolonych

z

t

z+t

---