Rozkłady
Poissona
Używamy, gdy prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia jest mniejsze niż 0,2 (P<0,2) i gdy jednocześnie ilość elementów jest równa lub większa od 20 (n>=20).
P(X=k) = (mk Ⴗ e-m) / k!
gdzie:
k - wartość zmiennej losowej X
m - wartość oczekiwana
k! -silnia z k
Wzory dodatkowe:
Wartość oczekiwana - m=E(x)=n Ⴗ P
Przykład:
Co 20 wyrób jest zły, oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 120 wylosowanych są 4 złe wyroby: P(X=4) = (64 Ⴗ e-6) / 4! = 3,212 / 24 = 0,134. W przypadku gdy w treści mamy podany przedział np. więcej złych wyrobów niż 3, ale mniej niż 7 wtedy liczymy i dodajemy każdy element z przedziału: P(3>X>7) = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6).
Powyższe zadanie rozwiązaliśmy za pomocą rozkładu Poissona zgodnie z założeniami, ponieważ: P=0,05, n=120. E(X)=0.05 Ⴗ 120 = 6.
Geometryczny
P(X=k) = p Ⴗ qk-1
gdzie:
k - wartość zmiennej losowej X
p - prawdopodobieństwo sukcesu
q - prawdopodobieństwo porażki
Wzory dodatkowe:
Wartość oczekiwana - E(X)=1/p
Wariancja - V(X)=q/p2
Odchylenie - ၳ=pierwiastek z V(X)
Przykład:
Co 5 los jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo, że dopiero za 6 razem wylosujemy wygrywający los:
p=0,2; q=0,8; k=6
P(X=6) = 0,2 Ⴗ 0,85 = 0,065
Normalny
P(X=k) = T = (X-m) / ၳ
gdzie:
X - zmienna losowa (wartość k)
m - wartość oczekiwana E(X)
ၳ - odchylenie (pierwiastek z V(X))
Wzory dodatkowe:
E(X) = X Ⴗ P
V(X) = n Ⴗ p Ⴗ q
Rozkład normalny oznaczamy także tak: N(E(X), ၳ)
Wykładniczy
Funkcja gęstości:
/ 0 dla x<0
f(x)=<
\ ၬe-2x dla x>=0
Dystrybuanta:
/ 0 dla x<0
F(x)=<
\ 1-e-2x dla x>=0
gdzie:
ၬ - współczynnik Lambda = 1/E(x)
Dodatkowe wzory:
E(x) = 1/ၬ
V(x) = 1/ၬ2
Mediana Me = ln0,5 / ၬ
Przykład:
Czas oczekiwania ma rozkład wykładniczy i E(x)=0,5. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie większy od 1.
P(X>1) = 1-e-2x1=0,865.
Dwumianowy
P(X=k) = Cnk Ⴗ pk Ⴗ qn-k
gdzie:
Cnk - kombinacja - wzór: n! / (n-k)!Ⴗ k!
Dodatkowe wzory:
E(x)=n Ⴗ p
V(x)=n Ⴗ p Ⴗ q
Przykład:
W grupie studentów 20% jest wysokich. Oblicz prawdopodobieństwo, że gdy wybierzemy 5 to 3 z nich będzie wysokich:
P(X=3) = C53 Ⴗ 0,23 Ⴗ 0,82 = 0,05.
Jednostajny
Oznaczamy: X[a,b].
Dystrybuanta:
/ 0 dla x<a
F(x)=<
\ (x-a)/(b-a) dla a<=x<=b
\ 1 dla x>b
Funkcja gęstości:
/ 0 dla x<a
f(x)=<
\ 1/(b-a) dla a<=x<=b
\ 0 dla x>b
Dodatkowe wzory:
E(x) = (a+b)/2
V(x) = (b-a)2/12
Szukasz gotowej pracy ?
To pewna droga do poważnych kłopotów.
Plagiat jest przestępstwem !
Nie ryzykuj ! Nie warto !
Powierz swoje sprawy profesjonalistom.