Zadania niestandardowe mają na celu lepsze zrozumienie przez uczniów, czym jest zadanie tekstowe i jaka jest jego struktura, a także przyzwyczajanie ich do uważnego czytania tekstów. Zadania niestandardowe mogą służyć rozwojowi krytycznego myślenia uczniów, doskonalenia analizowania treści zadania, służą rozwojowi myślenia matematycznego. Aby takie zadanie rozwiązać uczeń powinien dostrzec ewentualne błędy w treści zadania, skorygować je, uzupełnić jego treść, przebudować zadanie tak, aby mogło być rozwiązywalne.
Zadania niestandardowe dzielą się na zadania zawierające nadmiar danych, zawierające za mało danych, sprzeczne i zadania o złej treści.
1. Zadania niestandardowe zawierające nadmiar danych.
1.1. Zadania niestandardowe zawierające nadmiar danych niezwiązanych z rozwiązaniem.
Przykład takiego zadania: szkoła zasadziła 6 rzędów drzewek owocowych po 12 drzewek w rzędzie i 50 krzewów agrestu. Ile drzewek owocowych zasadzono?
Informacja o 50 krzewach agrestu nie ma oczywiście związku z rozwiązaniem zadania.
W poniższych zadaniach pewne dane są zbyteczne i nie mają związku z rozwiązaniem. Należy je usunąć i poprawione zadanie rozwiązać.
1. Małgosia kupiła 3 zeszyty i 5 ołówków. Za zeszyty zapłaciła 1zł 50gr, a za ołówki 2zł 50gr . Ile kosztował 1 zeszyt?
2. Piasek na budowę przewożono dwiema wywrotkami. Jedna przewoziła 12 t w jednym kursie, a druga 10 t. Pierwsza wywrotka wykonała 8 kursów. Ile ton piasku przewiozła?
3. Zakład gastronomiczny zmieszał 2 kg kawy I gatunku w cenie 4 zł za 1 kg z 4 kg klawy II gatunku w cenie 3 zł za 1 kg. Ile kilogramów mieszanki otrzymano?
1.2. Zadania niestandardowe zawierające dane dublujące się.
Przykład takiego zadania: Bartek kupił 3 ołówki w cenie 80 gr za sztukę. Dał monetę 5 zł i otrzymał 2 zł 60 gr reszty. Ile zapłacił za ołówki?
Dane o tym, że kupił 3 ołówki po 80 gr dublują się z danymi, że z 5 zł otrzymał reszty 2 zł 60 gr.
W poniższych zadaniach pewne dane dublują się. Należy te zadania poprawić, wykluczając za każdym razem inne ze zbytecznych danych.
1. Do elewatora znajdującego się na stacji kolejowej i mogącego pomieścić 600 t zboża przywieziono 12 piętnastotonowych wagonów pszenicy, a następnie 20 wagonów po 18 t każdy. W elewatorze pozostało wówczas jeszcze miejsce na 60 t zboża. Ile ton zboża przywieziono?
2. Zasadzono 16 rzędów po 30 krzewów w rzędzie agrestu oraz 2 razy tyle krzewów porzeczek-24 rzędy po 40 w każdym. Ile krzewów agrestu i porzeczek posadzono?
3. Do sklepu dostarczono w 3 paczkach 1600 zeszytów, Cena zeszytu wynosiła 1 zł. Jaka jest wartość dostarczonych zeszytów, jeśli w jednej paczce było ich 500, a w drugiej 450, a w trzeciej 650?
4. Do trzech probówek rozlano 40 g płynu, który następnie miano poddać analizie. W pierwszej probówce było 2 razy więcej płynu niż w drugiej, a w drugiej o 4 więcej niż w trzeciej. W pierwszej i trzeciej probówce było razem 29 g płynu. Ile gramów było w każdej probówce?
2. Zadania niestandardowe zawierające za mało danych
Zadanie te dzielą się na takie, których nie można rozwiązać, i na takie, w których rozwiązanie jest niejednoznaczne. Przez zadania, których nie można rozwiązać, rozumie się te, w których brak pewnych danych prowadzi przynajmniej teoretycznie do nieskończenie wielu rozwiązań. Przez zadania, w których rozwiązanie jest niejednoznaczne, rozumie się takie, w których brak pewnych danych prowadzi do więcej niż jednego rozwiązania, przy czym rozwiązań tych jest skończona ilość.
2.1. Zadanie niestandardowe, których nie można rozwiązać wskutek braki pewnych danych.
Przykład takiego zadania: Pociąg przebył trasę z miasta A do miasta B w ciągu 6 godzin. Jaka była średnia prędkość pociągu?
Zadania powyższego nie można rozwiązać wskutek braku pewnych danych. Należy uzupełnić dane tak, aby sformułowane warunki prowadziły do jednoznacznego rozwiązania i rozwiązać poprawione zadania.
1. Ola i Henia kupiły swoim mamom na Dzień Matki róże,. Ola kupiła 5 róż. Ile róż kupiła Henia?
2. Woda do zbiornika wlewała się przez dwa krany. Jeden z nich wlewał w ciągu minuty 600 l wody. Ile wody wlewały w ciągu minuty oba krany?
3. Sklep filatelistyczny zakupił 15 jednakowych kolekcji znaczków polskich i 12 jednakowych kolekcji znaczków zagranicznych. Ile znaczków zakupił sklep?
4. Trzy pompy wlewają wodę do basenu. Pierwsza wlewa w ciągu minuty 800 l wody, druga 1200 l, trzecia 1400 l. W ciągu jakiego czasu napełnią te pompy basen?
5. Mamusia Janki kupiła 3 kg jabłek po 2 zł za 1 kg i 2 kg gruszek. Ile zapłaciła za cały sprawunek?
6. Zakłady mleczarskie zaopatrywały dwa sklepy-sklep przy ulicy Mlecznej i sklep przy ulicy Śmietankowej. Sklep przy ulicy Mlecznej otrzymywał dziennie o 250 kostek masła mniej niż sklep przy Śmietankowej. Ile kostek masła otrzymywał każdy sklep dziennie?7. Jaś, Staś i Michaś zbierali grzyby. Jaś zebrał o 16 grzybów więcej niż Staś, a Michaś tyle, ile Jaś i Staś razem. Ile grzybów zebrał każdy z nich?
8. Tadzio ma 6 lat i jest starszy od Miecia. Ile lat ma Miecio?
9. Do kiosku przywieziono 200 zeszytów rozłożonych w paczki, z których każda zawiera taką samą ilość zeszytów. Ile zeszytów było w każdej paczce?
10. Kredki sprzedawano w pudełkach dużych, średnich i małych W dużym pudełku były 24 kredki, a w małym 6. Ile kredek było w pudełku średniej wielkości?
2.2. Zadanie niestandardowe, w których rozwiązanie jest niejednoznaczne wskutek braku pewnych danych.
Wskutek braku pewnych danych sformułowanie w poniższych zadaniach warunki prowadza do wieloznacznych rozwiązań. Należy rozwiązania te podać, a następnie tak uzupełnić dane, aby sformułowane warunki prowadziły do jednoznacznego rozwiązania. Poprawione zadania należy rozwiązać.
1. Tadzio ma 6 lat jest starszy od Zbyszka. Ile lat ma Zbyszek?
2. Rzucając dwukrotnie kostką do gry Maciek wyrzucił w sumie 10 oczek. Ile oczek wyrzucił za drugim razem?
3. Do kiosku przywieziono 200 zeszytów rozłożonych w paczki, z których każda zawierała taką samą ilość zeszytów. Ile zeszytów było w każdej paczce?
4. Franek hodował króliki. Miał ich 8. Kilka podarował koledze na imieniny, a potem, gdy tatuś dał mu inne, miał ich 10. Ile królików dostał od tatusia?
5. Pięcioro dzieci łowiło ryby. Złowili ich 18, ale część wrzucili z powrotem do wody, bo były zbyt małe. Pozostałe podzielili między sobą tak, że każdy dostał tyle samo. Ile ryb dostał każdy?
6. Na trzech poletkach doświadczalnych posadzono 16 krzewów. Na drugim poletku posadzono 2 razy więcej niż na pierwszym. Ile krzewów posadzono na trzecim poletku?
7. Kredki sprzedawano w pudełeczkach dużych, średnich i małych. W dużym pudełeczku było ich 12 sztuk, a w małym 6. Ile kredek było w pudełeczku średniej wielkości?
3. Zadania niestandardowe sprzeczne.
Zadanie te dzielimy na takie, w których dane są sprzeczne z treścią zadania lub z pytaniami w zadaniu oraz takie, w których warunki zadania są sprzeczne algebraicznie.
W zadaniach, w których dane są sprzeczne z treścią lub pytaniem w zadaniu, rozwiązania wychodzą poza zbiór liczb naturalnych.
3.1. Zadanie niestandardowe, w których dane są sprzeczne z treścią bądź z pytaniem w zadaniu.
Przykład:
1) Z naczynia odlano 7 l wody, a potem jeszcze 5 l. Ile litrów wody zostało w naczyniu, jeśli początkowo było jej 10l?
2) Na poczet wycieczki, której koszt wynosił 230 zł, jej przyszły uczestnik wpłacił 300 zł. Ile miał jeszcze dopłacić?
Zadania można poprawić zmieniając w odpowiedzi sposób jedną z danych lub zmieniając pytanie na następujące: Ile złotych należało zwrócić uczestnikowi wycieczki?
W poniższych zadaniach dane są sprzeczne z treścią zadania bądź z pytaniem w zadaniu. Należy je poprawić, zmieniając jedną lub kilka danych bądź pytanie. Poprawione zadanie należy rozwiązać.
1. Sklep sportowy otrzymał 60 par obuwia-buty turystyczne, trampki, tenisówki i adidasy. Dostarczono mu 25 par butów turystycznych, 20par trampek i 30 par tenisówek. Pozostałe pary to adidasy. Ile par adidasów dostarczono?
2. Centrala importowa sprowadziła dwie partie cytryn-85 t i 145 t oraz trzy partie mandarynek po 70 t każda. O ile więcej sprowadzono mandarynek niż cytryn?
3. Dla wycieczki szkolnej liczącej 270 dzieci podstawiono 5 autokarów, z których każdy mógł pomieścić 50 dzieci. Ile wolnych miejsc zostało w ostatnim z podstawionych autokarów?
4. Postawiono na wagę worek z pszenicą, ważył 80 kg. Następnie dosypano do worka pszenicy i powtórnie zważono. Teraz ważył 65 kg. Ile pszenicy dosypano?
5. Z naczynia odlano 7 l wody, a potem jeszcze 5 l. Ile l wody zostało w naczyniu jeśli początkowo było jej 10 l?
6. Koszt wycieczki wynosił 150 zł. Jej przyszły uczestnik wpłacił 200 zł. Ile miał jeszcze dopłacić?
7. Na wagę postawiono worek z pszenica. Ważył 80 kg. Dosypano do worka pszenicy o powtórnie zważono. Teraz ważył 65 kg. Ile pszenicy dosypano?
3.2. Zadanie niestandardowe, w których warunki są sprzeczne algebraicznie.
Przykład takiego zadania: Tereska kupiła 5 zeszytów i 2 ołówki, płacąc 6,4 zł. Jej koleżanka Lucynka kupiła tę samą ilość zeszytów i ołówków, płacąc przy tych samych cenach 7 zł. Ile kosztował zeszyt a ile ołówek?
Warunki zadania są sprzeczne algebraicznie (milcząc zakłada się, że ani sprzedawczyni, ani żadna z dziewczynek nie omyliły się). Nie można za tę samą ilość kupionych przedmiotów, gdy cena nie uległa zmianie, raz zapłacić 6,4 zł, a raz 7 zł. Modelem matematycznym zadania jest układ:
5x+2y=6,4 zł 5x+2y=7 zł
Jest to układ sprzeczny, nie mający rozwiązania. Z równości lewych stron tych równań wynikałaby równość ich prawych stron, a więc musiałoby być 6,4=7
To zadanie należy zmienić: Tereska kupiła 5 zeszytów i 2 ołówki, płacąc za to 6,4 zł. Jej koleżanka Lucynka kupiła 6 zeszytów i 4 ołówki i zapłaciła przy tych samych cenach 9,6 zł. Ile kosztował zeszyt, a ile ołówek?
W poniższych zadaniach warunki są sprzeczne algebraicznie. Należy je zmienić tak, aby warunki poprawionego zadania prowadziły do jednoznacznego rozwiązania, a poprawione zadanie rozwiązać.
1. Tolek kupił 5 znaczków pocztowych. Po kilku dniach kupił taką samą ilość takich znaczków, płacąc za nie 10 zł więcej. Ile kosztował znaczek?
2. Mamusia i ciocia poszły na targowisko, gdzie kupiły truskawki i czereśnie. Za 2 kg truskawek i 3 kg czereśni mamusia zapłaciła 33 zł. Ciocia za 4 kg truskawek i 6 kg czereśni zapłaciła-przy tych samych cenach-70 zł. Ile kosztował kilogram truskawek a ile czereśni?
4. Zadania niestandardowe o złej treści.
Są to zadania, w których nie ma związku między danymi a pytaniem lub, które są bezsensowne życiowo, lub zadania o nie dość precyzyjnej treści, lub wreszcie zadanie poddające się matematyzacji arytmetycznej.
4.1. Zadanie niestandardowe, w których nie ma związku między danymi a pytaniem.
Przykład takiego zadania: Kamienica ma 12 pięter, obsługiwanych przez 2 windy. Na każdym piętrze jest 10 okien i 4 balkony. Ile wynosi czynsz za mieszkanie dwupokojowe, a ile za trzypokojowe?
Zadania tego typu nie da się rozwiązać ani poprawić w naturalny sposób. Poniższe zadania są przykładami tego rodzaju zadań.
1. 30 uczniów należy do kółka matematycznego, a 42 do kółka plastycznego. Ilu uczniów ma wydelegować szkoła na wojewódzkie zawody sportowe?
2. Statek pasażerski ma 135 m długości i 48 m szerokości. Na statku jest 100 kabin I klasy i 140 kabin II klasy, 4 sale jadalne oraz 2 klubowe. Wysokość komina wynosi 11 m. Statek jest wyposażony w 12 dużych i 16 małych łodzi ratunkowych. Ile lat ma kapitan statku?
3. Piwnica pod dwupiętrowym domkiem jednorodzinnym ma 3 m wysokości. Jaką ilość pieczarek hoduje się w tej piwnicy?
4.2. Zadanie niestandardowe bezsensowne z punktu widzenia życiowego.
Przykład takiego zadania: W miasteczku zamieszkałym przez 3000 mieszkańców dzienne spożycie oranżady wynosi 15000 butelek. Ile butelek oranżady wypija średnio dziennie jeden mieszkaniec tego miasteczka?
Bezsens życiowy zadania jest oczywisty: czy mogą ludzie wypijać dziennie 50 butelek oranżady?
Poniższe zadania są bezsensowne z punktu widzenia życiowego. Należy je poprawić, zmieniając odpowiednio dane, a poprawione zadanie rozwiązać.
1. Turysta pieszy miał do przejścia trasę długości 380 km. Pierwszego dnia przeszedł 240 km. Ile kilometrów pozostało mu jeszcze do przejścia?
2. Odległość między dwoma miastami, wynoszącą 1800 km, pociąg osobowy przebywa w ciągu 2 godzin. Jaka jest średnia prędkość pociągu?
3. Tatuś Kazika zamówił dla niego w zakładzie krawieckim ubranie i palto. Za ubranie zapłacił 65 zł, za palto 82 zł. Ile zapłacił za obie te rzeczy razem?
4. Do stacji benzynowej przywożono benzynę dwoma samochodami-cysternami. Jeden z samochodów przewoził w jednym rejsie 80 t paliwa, drugi-150 kg. Ile przywiozły benzyny, jeśli pierwszy z nich wykonał 6 rejsów, a drugi 20?
5. Basen pływacki o długości 220 m, szerokości 60 m i głębokości 6 m napełniają dwa krany, z których pierwszy wlewa w ciągu godziny 80 l wody, drugi-120 l wody. Jak długo będą te krany napełniały basen?
6. Robert jest młodszy od swojej siostry Teresy o 8 lat. Ojciec ich jest starszy od Roberta o 18 lat i ma 32 lata. Ile lat ma Teresa?
4.3. Zadania niestandardowe o nie dość precyzyjnych warunkach.
Przykład takiego zadania: Dwa dźwigi rozładowały barkę z piaskiem. Pierwszy dźwig pracował 5 godzin, drugi 3 godziny. Jak długo trwał rozładunek?
Zadania tego nie można rozwiązać wskutek nieprecyzyjności warunków. Nie wiadomo czy dźwigi pracowały jeden po drugim, czy też jakiś czas pracowały razem i jak długo.
W poniższych zadaniach warunki nie są zbyt precyzyjne. Należy podać objaśnienie tego faktu.
1. Dwaj zawiadowcy wojsk przeciwlotniczych obserwowali podczas manewrów niebo. Jeden z nich zauważył 7 lecących samolotów, a drugi 9. Ile samolotów pojawiło się na niebie?
2. Na polowanie pojechali dwaj ojcowie, dwaj synowie, dziadek i wnuk. Ilu pojechało na polowanie?
3. Grzegorz stojąc w kolejce do kasy kina zauważył, że przed nim znajduje się 10 osób, Łukasz zaś policzył, że za nim stoi 12 osób. Ile osób było w kolejce do kasy?
4.4. Zadania niestandardowe nie podające się matematyzacji arytmetycznej.
W poniższych zadaniach problem nie poddaje się matematyzacji arytmetycznej. Należy objaśnić ten fakt.
1. Janek ma 13 lat i mierzy 1 m 50 cm wzrostu. Jaki będzie miał wzrost w wieku 26 lat?
2. Lekkoatleta przebiegł 100 m w ciągu 10 s. W jakim czasie przebiegnie 10 km?
3. Ogrodnik zebrał w lipcu ze swoich grządek 85 kg poziomek. Ile kilogramów poziomek zbierze w ciągu roku?
4. Termometr wskazywał o godzinie 6 rano temperaturę 5°C, a o godzinie 12 w południe 17°C. Jaką temperaturę wskazywał termometr o godzinie 9 rano?
5. Górska kolejka zębata na każdych 100 metrach swej trasy podnosi się o 3 m. Jaki jest kąt nachylenia toru kolejki do powierzchni Ziemi.?
6. Piętnastoletni członek szkolnego klubu sportowego skacze wzwyż 1 m 50 cm. Ile będzie skakał, mając 30 lat?