Metoda  eliminacji  Gaussa.

      Metoda eliminacji Gaussa jest bardzo powszechnym sposobem rozwiązywania układów równań liniowych. Polega ona na przekształceniu rozwiązywanego układu równań  AX = B do równoważnego układu o macierzy trójkątnej górnej.

Dany jest układ równań postaci

                                      
                        (1.30)

w której macierz układu A została oznaczona jako A⁽⁰), a wyrazy wolne zostały umieszczone w dodatkowej  ( n+1 )-szej kolumnie macierzy A⁽⁰⁾. Zakładając, że
  i odejmując pierwsze równanie pomnożone przez  
 od pozostałych równań ( i = 2, 3, ..., n ) otrzymujemy pierwszy układ zredukowany:

                                   
                           (1.31)

gdzie

                                                 
        ( i, j 
 2 ).

Następnie, jeśli 
, to odejmujemy drugie równanie układu (1.31)  pomnożone przez
 od dalszych równań tego układu. Uzyskujemy w ten sposób drugi układ zredukowany:

                        
                      (1.32)

gdzie

                                            
    ( i, j 
 3 ).

Kontynuując ten sposób obliczeń po wykonaniu n-1 kroków eliminacyjnych otrzymujemy układ równań o górnej macierzy trójkątnej  A^(n-1)

                             
                               (1.33)

którego współczynniki dla każdego k=1, 2, ..., n-1 są określone zależnościami:

                                                   

                                                             ( j = k+1, ..., n+1;                                          (1.34)

                                                                   i = k+1, ..., n).

Rozwiązanie układu (1.33) wyznaczamy na podstawie wzorów:

                                         

                                        
                                          (1.35)

                                                         ( i = n-1, n-2, ..., 1 )

Etap pierwszy obliczeń prowadzący do układu (1.33) nazywamy eliminacją zmiennych, a etap drugi - postępowaniem odwrotnym.

Przykład 2.   Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa.

Rozwiązać układ równań:

                                                          3x₁+2x₂+  x₃=11

                                             2x₁+3x₂+  x₃=13                                                ( 2.1)

                                               x₁+  x₂+4x₃=12

Układ jest określony. Jego wyznacznik główny jest różny od zera ( det = 18).

Dzielimy pierwsze równanie układu ( 2.1 ) przez a₁₁=3.

W wyniku dzielenia otrzymujemy równanie:

                                          
                                            (2.2 ) 

Mnożymy równanie (2.2 ) przez a₂₁=2 , a następnie otrzymane w wyniku tego działania równanie odejmujemy stronami od równania drugiego w układzie równań ( 2.1 ).

Otrzymujemy równanie:

                                             
                                                ( 2.3

Następnie mnożymy równanie ( 2.2 ) przez a₃₁=1 i odejmujemy stronami od równania trzeciego w układzie równań ( 2.1 ).

Otrzymujemy równanie:

                                             
                                               ( 2.4

W wyniku tych działań otrzymujemy układ równań z wyeliminowaną zmienną x₁ z drugiego i trzeciego równania .

                                                   

                                                          
   (2.5

W podobny sposób eliminujemy x₂ z trzeciego równania układu równań ( 2.5 ).

Dzielimy drugie równanie przez a₂₂=
, a następnie mnożymy przez a₃₂=
i odejmujemy stronami od równania trzeciego.

W wyniku działań otrzymujemy układ równań:

                                      

                                                             
                                                ( 2.6 )

                                                                 

W wyniku podzielenia trzeciego równania przez a₃₃  otrzymujemy układ równań:
                                        

 

Jak widać mamy już obliczone x₃. Podstawiając x₃ do drugiego równania obliczamy x₂, a następnie podstawiając x₂ i x₃ do pierwszego obliczamy x₁.

Otrzymujemy rozwiązanie układu równań:

                                                            x₁=1 x₂=3   x₃=2