Teoria wzgl. Galileusz

Układ inercjalny-układ odnies,w którym cząstka spoczywa lub porusza się ruchem jedn.prostol. jeśli tylko nie podlega oddzi. z resztą wszechś.

Postulat: Istnieje układ inercjalny.

Wniosek: Istnieje ∞ wiele ukł.inerc,bo każdy układ odnies.porusz.się wzgl. danego ukł. inerc. ruchem jedn.prost. jest układem inercjalnym.

Czasoprzestrz Galileu-struktura czasoprzestrz., w której odległ.przestrz. pomiędzy 2 zdarzeniami określona jest ⇔ zdarz. te są równoczesne.

Relacja równoczesności na zb. zdarzeń to relacja typu równoważności.

(symetryczna(a ρ a),

zwrotna(aρb⇒bρa),przechodnia(aρb∧bρc⇒aρc)

Określenie relacji równoważności w zbio. prow. do rozwarstwienia zb. na klasy równoważn. =warstwy=włókna=poziomice. Taki podział naz. się rozwarstwieniem lub rozwłóknianiem zbioru względ. zadanej relacji równoważności, a zbiór warstw nazywany jest wiązką włóknistą lub snopem.

Do danego włókna należą wszystkie zdarz., które zaszły w tej samej chwili. Oczywiste jest, że włókna są rozmaitoś-ciami 3D. Składają się one z wszystkich możl. położeń cząstek w danej chwili czau.

Wniosek: Czasoprzest. Galileusza M ma strukt. przestrzeni włóknistej. Rozwłóknienie nastąpiło względ. relacji równo-czesności zdarzeń ℜ, która jest relacją równo-ważności. Przestrzeń włóknista jest przest-rzenią ilorazową M/ℜ, która jest izomorficzna z przestrzenią T(czas), na którą nast. rzutowanie.

Odwzoro.surjektywne:

π(rzutowanie):M→M/ℜ naz. się kanonicznym.

Podst.różnica między czasoprzestrz.Galileusza a Arystotelesa polega na tym,że w czasop.G.nie ma naturalnego rzutow. na przestrz. położeń E.

Przestrzeń położeń π^-1(t) odp.danej chwili t jest jednorodna i nie ma naturalnie wyróżnion. początku. W związku z tym jej struktura odpow. przestrzeni afinicznej.

Definicja: Zb. V o elem. A,B,C,... nazywa się przestrzenią afiniczną, jeśli między parami jego elementów i elementami przestrzeni liniowej L istnieje wzajemnie jed-noznaczna odpowied-niość spełn. warunki:

a)∀A∈V i a∈L ∃ dokł. 1 pkt B,taki że AB=a

b)Jeżeli AB=a i BC=b to AC=a+b

Przykład przestrzeni afi-nicznej=zb.wekt.swobo.

Parą (p₀,{e_i}), gdzie p₀-ustal.pkt.,{e_i}-baza w L, nazyw. bazą afiniczną lub reperem.

Para(p₀,{e_i})ustala ukł. odniesienia w przestrz. afinicznej. W praktyce układ odnisienia wiąże się z jakimś ciałem lub układem ciał: ziemia, słońce,ukł.gwia.stałych.

Wprow.ukł.odniesienia pozwala rzutow. czaso-przestrzeń M na przest. euklide. E, tzn. przypo-rządkować każdemu zdarzeniu z M,punktu z przestrz.E,w którym to zdarzenie zaszło. Dzięki takiemu wyborowi ukł. odniesienia nast.trywia-lizacja wiązki,bo czaso-przestrzeń M staje się ilocz.kartezjańskim TiE.

Różnica między czaso-przestrzenią Arystotel. a powyższą strywializow. wiązką M=T×E polega na tym,że teraz rzutow. na E nie jest określone jednoznacznie,a zależy od wuboru reperu w przestrzeni afinicznej.

Zauważmy,że transform Galileusza przekształca każde włókno w siebie.

Zbiór wszystkich przek-ształceń Galile. w siebie

Uwaga: Zasada akcji i reakcji dotyczy sił od-działywania mierzonych w układzie inercjalnym w tej samej chwili. Są to zatem siły,które rozcho-dzą się z ∞ prędkością. W praktyce zasada akcji i reakcji określona wzorem F₁₂=-F₂₁ obo-wiązuje tylko w przybli-żeniu,gdy prędkość roz-chodzenia się oddziały-wań jest bardzo duża w porówn. z prędkością poruszania się ciała.

V<<c przyb.nierelatywi.

Rozważmy układ n ciał o masach m₁,m₂,...,m_n i wektorach wodzących r₁,...,r_n.Niech p_i-pęd i-tej cząstki; F_i^ext-siła zewnęt. (pochodz. spoza układu) oddział. na i-tą cząstkę. Równanie ruchu dla i-tej cząstki

p_i=F_i^ext+ΣF_ij

Definiujemy

p=Σp_i -pęd ukł.cząstek

F^ext=ΣF_i^ext ⇒

p=Σp_i=ΣF_i^ext+ΣF_ij

p=F^ext-zasada zachowa-nia p dla układu cząstek

F^ext=0⇒p=Σp_i=const

Ukł.odosobniony- ukł., na który nie działa żadna siła zenętrzna

(F_i^ext=0,i=1,2,3,...,n)

R=Σm_ir_i/M-środek masy

M=Σm_i - całk.masa ukł.

W przypadku ciągłego rozkładu mas

R=M^-1∫rdm(r)=M^-1∫rρdV

p=d/dtΣm_iV_i=d²/dt²Σm_ir_i= d²/dt² M (Σm_ir_i / M) =d²/dt²MR

p=MR=F^ext

Wniosek: F^ext=0 środek masy ukł. porusza się ruchem jedn.prostolin.

Wniosek: Pod wpływem sił zewnętrznych środek masy ukł.cząstek (nieza-leżnie od ich rozkładu) porusza się zawsze tak jak punkt materialny o masie M=Σm_i pod wpływem siły F^ext=ΣF_i^ext

Wniosek: Pęd układu cząstek w ukł. związan. ze środkiem masy jest 0.

Dowód: Zakładamy, że R=const; p'-pęd w ukł. środka masy

p'=Σm_iV_i=d/dt(Σm_ir_i)

r_i=r_i-Rt; wtedy p'=d/dt[Σm_i(r_i-Rt)]= =d/dt(MR)-MR=0

Liczymy moment p ukł.

L=Σr_i×p_i

L=Σ[V_i×p_i+r_i×p_i]= =Σr_i×(F^ext+ΣF_ij)=Σr_i×F_i^ext+Σr_i×ΣF_ij

Prawo zach. momentu p dla układu cząstek

M^ext=Σr_i×F^ext=0⇒ L=Σr_i×p_i=const

Rozpiszmy całk.mom. p ukł.cząstek przy pomo. pojęcia środka masy.W tym celu niech: r_i'-wekt. wodzące cząstek w ukł. środka masy; p_i'-pędy cząstek w ukł.środka m

R-wekt.przesunię. Ziemi względem Słońca

L=Σr_i×p_i=Σ(R+r_i)×m_i(R×V_i)=Σ(m_iR×R+R×m_iV_i+m_ir_i×R+r_i×p_i)=R×MR+Σr_i+p_i+[R×d/dtΣm_ir_i+ Σm_ir_i+R]

Całk. mom. pędu ukł. cząstek jest sumą mom. pędu masy M=Σm_i trakt. jako punkt materialny umieszczany w środku masy ukł. względem początku ukł.współrzę. oraz momentu pędu ukł. względem środka masy.

Mechanika Lagrangea

Podst.pojęciem jest lag-ranżajn

L(q₁,..,q_n,q₁,..,q_n,t)≡E_k-U

E_k-kinetyczna,U-potenc.

q₁,..,q_n-współrz.uogóln.

q₁,..,q_n-prędko.uogólnio.

przykł.(cząstka w jednor polu grawitacyjnym)

L(q₁,q₃,q₃,q₁,q₂,q₃,t)= m/2(q₁²+q₂²+q₃²)-mgq₃

Działanie:

S=∫dtL(q,q,t)

q=q₁,..,q_n; q=q₁,..,q_n;t₁-chwila rozp.ruchu;t₂-chwila zakończ.ruchu

Zasada najmn działania: Dla wszystkich możliw. ruchów w przedziale czasu(t₁,t₂) takich, że q₁ⁱ=q₁ⁱ(t₁),q₂ⁱ=q₂ⁱ(t₂) w przyrodzie realizuje się tylko taki, dla którego działan S=∫L(q(t),q(t))dt przyjmuje wartość min.

W naszym przypadku: D≡M-zbiór ruchów; W≡R-zbór liczb rzecz.

ℑ(D,W)≡ℑ(M,R)-zbór funkcjonałów na zbiorze ruchów.Jeżli ponadto strumieńφ_ε wybierzemy w postaci (φ_ε^*S)[q]=

zachow.strukt.czasoprz. nosi nazwę grupy Galileusza. Jest to 10-cio param. grupa Liego.

Przekształcenie Galileu. tworzy tzw.właściwą podgrupę Galileusza.

Wniosek1:

Prawo składa. prędkości

Wniosek2: Odległość 2 pkt.(zdarzeń równoczes-nych) oraz interwał czasowy między zdarz. są niezmiennikiem transformac. Galileusza.

Wniosek3: Przyspie. jest niezmiennikiem transfo-rmacji Galileusza

Zasada względności G.

Wszystkie prawa mech. klasycznej są niezmien-nicze względem tarnsfo-rmacji Galileusza. lub

Nie można za pomocą dośw.mech.wykryć jed-nostajnego ruchu (lub spoczynku)układu wzg. innego inercjalnego ukł. odniesienia.

DYNAMIKA

Czy istnieją wielkości zachowane gdy F≠0?

r×F=r×dp/dt=r×dp/dt+ dr/dt×p=d/dt(r×p)

Jeżeli M = r × F = 0 ⇒ L = r × p =const (zasada zachowania pędu)

M=dL/dt

M = r × F = m r × a = m r × (a_t+a_n)

Zakładamy,że ruch jest po okręgu,wtedy

M=mr×a_t bo r||a_n

a_t=ε×r

M = m r × (ε×r)=m[εr²- r(ε r)]

M = m r² ε ⇒ M = I ε moment siły w ruchu po okręgu

L=r×p=mr×V=mr(ϖ×r)=m[ϖr²-r(ϖ r)]=mϖr²

L=Iϖ - moment siły w ruchu po okręgu

Wprowadzamy pojęcie pracy jaką sila F wykonuje na drodze dr

ĐW=F·dr=F_xdx+F_ydy+ F_zdz (na pracę patrzymy jak na formę różniczkową)

W=∫F·dr=limΣF_iΔr_i Δr_i→0

đW=Fdr=dp/dt·dr= m(dV/dt)·dr=mdV·dr/dt=m V dV = m/2 · d (V V)=d(mV²/2)

đW=0⇒mV²/2=const - Zasada zachowania energii kinetycznej

Załóżmy,że đW≠0

Okazuje się, że w tym przyp.istnieje wielkość zachowana pod warun., że istnieje taka funkcja położenia Ep(r),że

Fdr=-dEp (*)

Wtedy

-dEp=d(mV²/2)

d(Ep(r)+mV²/2)=0

stąd Ep(r)+mV²/2=const

Zasada zachowania energii całkowitej

Jeżeli siła spełnia warunek (*) to tę siłę nazywamy potencjalną.

=S[φ_εq]=S[q+εh], gdzie h jest dowolną funkcją z przestrzeni ruchów to ten szczególny przypadek pochodnej Liego-Ślebodzińskiego oznacza się (δ_hS)[q]= =lim(S[q+εh]-S[q])/ε

i nazywa się kierunkową funkcjonału w kierunku funkcji h; pochodną Gateaux; wariacją G; różniczką G; wariacją funkcjonalną. Można pokazać, że pochodna funkcjonalna w przestrzeni funkcjonałów odgrywa tę samą rolę co pochodna zwykła w przestrzeni funkcji. Pochodną funkcjonalną możemy użyć do wyliczenia extremum funkcjonału S[q] w zbiorze ruchów, takich, że początek i koniec są ustalone. S[q]=∫L(q(t),q(t))dt

S[q+εh]=∫dtL(q(t)+εh(t),q(t)+εh(t))

Równanie Eulera-Lag-range'a (dla t∈(t₁,t₂))

∂L/∂q-d/dt(∂L/∂q)=0

ruch rzeczyw.=extrem

Różnicę między ruchem porówn a rzeczyw q(t) nazywa się wariacją δq.

δ - nie jest ∞ mała

dq=q(t+dt)-q(t)

dq+δ(q+dq)=δq+d(q+δq

δ(dq)=d(δq)

Niech teraz h(t₁)≠0≠h(t₂)

oraz strumień φ_ε ma postać (φ_εq)(t)=q(t-εΔt)+εh(t-εΔt)

0=lim(S[φ_εq]-S[q])/ε

S[q]=∫dtL(q,q)

S[φ_εq]=∫dtL(q(t-εΔt)+ +εh(t-εΔt),q(t-εΔt)+ +εh(t-εΔt))

0=∫dt[∂L/∂q-d/dt(∂L/∂q)](h-qΔt)+[∂L/∂qh+(L-∂L/∂qq)Δt]|_t1^t2

Dla rzecz(fizycz) ruchu

wyrażenie podstaw =0. Stąd ∂L/∂qh+(L-∂L/∂qq)Δt=const -prawo zachowania

Gdy liczba stopni swob. wynosi N wyraż. powyż można przepisać w postaci:

∂L/∂qⁱhⁱ+(L-∂L/∂qⁱqⁱ)Δt=const

Twierdzenie Noether

Jeżeli działanie jest niezmienni. względem pewnej grupy symetrii, to w teorii istnieje pewna liczba praw zachowania wielkości określonych powyższym wzorem, równa jest liczbie paramet. grupy.

Wniosek: Zasada zach. energii całkowitej jest konsek. niezmiennicz. działania względem translacji w czasie (jednorodność czasu).

Wniosek: Zasada zach. pędu jest konsek. niez-mienniczości działania względem translacji współrz. każdej cząstki (jednorod. przestrzeni).

Wniosek: Izotropowość przestrzeni

Równania Hamiltona

Teoria Lagrange'a -zmiennymi są położenie prędkość czas(q,q,t)

Teoria Hamiltona -zmiennymi są położenie pęd czas(q,p,t)

W mech.kwant. wygodniej stosować jest teorię H. Tylko w mech. klasycz.p=mV,w teorii pola pęd jest bardziej skomplikowany. Szczeg w teoriach, które nie wykorzystują masy.

Przekształc. Lagrange'a

(z „lagranżjanu” można uzyskać „hamiltonian”)

H=qp-L; H=qⁱp_i-L(ogół)

Różniczk, aby wiedzieć od czego zależy H:

dH=pdq+qdp-dL

dL(q,q,t)=∂L/∂qdq+ +∂L/∂qdq+∂L/∂tdt

Definicja: p=∂L/∂q

∂L/∂q-d/dt(∂L/∂q)=0 ⇒∂L/∂q=p

dH=pdq+qdp-pdq-pdq-∂L/∂tdt

dH=qdp-pdq-∂L/∂tdt

stąd H=H(q,p,t)

dH=∂H/∂qdq+∂H/∂pdp+∂H/∂tdt; ↓ równania Hamiltona ∂H/∂q=-p; ∂H/∂p=q; ∂H/∂t=-∂L/∂t

---