Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Jednostajna ciągłość:f(x)=-7x+2 || By f(x) było jednostajnie ciągłe to: dla dowolnych ciągów xn i yn jeśli |xn-yn|-n niesk->0 to |f(xn)-f(yn)|-n niesk->0 || Niech xn,yn dowolne ciągi ER i |xn-yn|-n niesk->0 || Zatem |f(xn)-f(yn)|=|-7xn+2+7yn-2|=|-7||xn-yn|=7|xn-yn|-n niesk->0 || Odp Z dowolności ciągów xn i yn wynika że f(x)=-7x+2 jest jednostajnie ciągła.
Wykaż że funkcja f(x)=sinx xER jest jednostajnie ciągła: Jeśli f'(x) jest ograniczona dla xEP tzn. istnieje M>0 takie że |f'(x)|=<M dla xEP to funkcja jest jednostajnie ciągła w przedziale P. P=R || f(x)=sinx f'(x)=cosx |cosx|=<1 dla xER=>f(x)=sinx jest jednostajnie ciągła dla xER.
Ciągłość i różniczkowalność: Dla x=/0 funkcja jest ciągła i różniczkowalna jako złożenie i iloraz funkcji ciągłych i różniczkowalnych. || Badamy różniczkowalność dla x=0 || Limh->0f(h)-f(0)/h || f'(0)=0 czyli f(x) jest różniczkowalna dla x-0 => a zatem jest ciągła dla x=0
Wyznacz asymptoty: liczymy f'(x) || Sprawdzamy czy x=… jest asymptotą pionową tej funkcji: Limx->…+-f'(x) || Limx->..+f(x) || Limx->..-f(x) || szukamy asymptot ukośnych y=ax+b || Jeśli funkcja wymierna ma asymptotę ukośną to jest ona asymptotą ukośną obustronną tzn. jest asymptotą w +-nieskończoności || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Przebieg zmienności funkcji: Ponieważ funkcja jest wymierna to x=.. x=.. są asymptotami pionowymi obustronnymi. || Liczymy f'(x) || f'(x)=0 <=> x=0 || Znak f'(x) jest taki sam jak znak wyrażenia y=x bo mianownik>0 dla xEDf. || Wykres do monotoniczności. || Monotoniczności || Ekstrema, f(x) max i min. || Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b. || a=Limx(niesk)f'(x) | b=Limx(niesk)[f(x)-ax] || Prosta y=.. jest asymptotą ukośną funkcji f(x).
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.