Ruch drgający
Franciszek Ferdek

Przeglądając pewien podręcznik do fizyki, w rozdziale poświęconym opisowi ruchu drgającego, napotkałem taką notkę⁾: „Wzory na wychylenie, prędkość i przyśpieszenie, ze względu na niedostateczną wiedzę matematyczną większości uczniów szkoły średniej, podajemy bez wyprowadzenia”. Chodzi o rozwiązanie równania różniczkowego:

(r)

określającego ruch drgający harmoniczny.

Uważam, że powinnością matematyka jest dostarczyć nauczycielowi fizyki odpowiednich środków matematycznych, w odpowiednim czasie. Chcę właśnie przedstawić pewną propozycję rozwiązania równania (r). Wystarczy znajomość dwóch wzorów trygonometrycznych:

,
,

oraz wiedzieć, że dla bardzo małego x przyjmujemy:

Rozpatrujemy punkt M poruszający się po okręgu o środku O(0,0) i promieniu r z prędkością kątową
. Zakładamy, że punkt M w chwili początkowej t = 0 znajduje się w położeniu M₀ (patrz rys.) i obserwujemy ruch rzutu (M') punktu M po osi OX.

W czasie t promień wodzący punktu M zakreśli kąt
, wobec tego położenie punktu M' określa równanie:

(1)

Wyznaczmy teraz prędkość i przyśpieszenie w ruchu punktu M' (oczywiście chodzi tu o współrzędne tych wielkości).

Gdy
jest bardzo małe,
jest także małe i możemy przyjąć, że

oraz, że

.

Zatem prędkość chwilowa

.

Uwzględniając (1) mamy

Aby więc rozwiązać (r) wystarczy tak dobrać  w (1), by

,

otrzymujemy wtedy

(2)

Dowodzi się, że każde rozwiązanie (r) da się przedstawić w postaci (2)

Agnieszka Czerwińska, Barbara Sagnowska, FIZYKA DLA SZKÓŁ ŚREDNICH, Wydawnictwo „Zamiast korepetycji” s.c., Kraków

Strona 2

---