18. Równanie fali poprzecznej, długość i okres fali, częstotliwość, liczba falowa, prędkość fali biegnącej.

Fale możemy rozróżniać obserwując jaki kąt tworzy kierunek ruchu cząstek materii z kierunkiem rozchodzenia się samych fal. Gdy cząsteczki drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia fal to jest to fala poprzeczna. Rozchodzenie się fali poprzecznej jest związane ze zmianą kształtu ośrodka, w którym fala się przemieszcza, a więc wymaga ono sprężystości postaci ośrodka. Z tego powodu fala poprzeczna może się rozchodzić w ciałach stałych i na powierzchni cieczy, gdzie sprężystość powierzchni cieczy zapewniają siły napięcia powierzchniowego.

Równanie fali poprzecznej:

y(x,t)=Asin2π(x/λ - t/T)

gdzie A - amplituda sinusoidy, maksymalne wychylenie

x - odległość, przesunięcie

t - czas trwania przesunięcia

T - okres w czasie którego fala przebywa drogę równą swej długości

λ - całkowita długość jednej fali

Liczba falowa - k - parametr fali harmonicznej zdefiniowany wzorem:

k=2π/λ [1/m]

Liczby falowej używamy do uproszczenia równania fali - przyjmujemy, że k=2π/x.

Dodając do tego jeszcze przekształcenie: ω=2π/T, ostatecznie otrzymujemy takie równanie fali:

y(x,t)=Asin(kx -/+ ωt)

[z “minusem” gdy fala sinusoidalna przesuwa się w prawo, a z “plusem” gdy przesuwa się w lewo)

Długość fali można wyrazić wzorem: λ=v·T [m] - iloczyn prędkości fazowej rozchodzenia się fali i okresu trwania fali

Okresem fali nazywamy czas, w którym fala przebędzie w ośrodku drogę równą swej długości, określamy go wzorem: T= λ/v [s]

Częstotliwość fali to odwrotność okresu, oznaczamy ją f=1/T [1/s]

Prędkość fali biegnącej:

Jeśli za podstawowe wymiary przyjmiemy wymiar masy M, długości L i czasu T, wymiarem siły będzie ML/T a wymiarem jednostki masy przypadającej na jednostkę długości falującej liny µ będzie M/L to jedyną kombinacją dającą prędkość (L/T) jest:

v=
[m/s]

19 .Fale stojące. Przykłady fal stojących w instrumentach muzycznych. Częstotliwość podstawowa i kolejne harmoniczne.

Fala stojąca - fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w takim samym kierunku, ale mających przeciwne zwroty. Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca nie jest, więc falą - drgania się nie propagują. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa węzłami fali stojące
W wielu instrumentach muzycznych zamiast strun wykorzystuje się słupy powietrza np. puzon, trąbka, saksofon, itp. Strumień powietrza (z płuc grającego) trafia na układ szczelin (rys 1 i 2) co prowadzi do powstania dźwięków o różnych częstotliwościach w zależności od długości słupa powietrza (długość np. piszczałki).
Równocześnie mogą powstać fale o częstotliwościach wyższych.

a) ton podstawowy ma częstotliwość:

b) ton wyższy ma częstotliwość:

V jest w tym przypadku prędkością dźwięku w powietrzu.

Częstotliwości podstawowe i kolejne harmoniczne:

Częstotliwość podstawowa jest obok barwy dźwięku i uczucia głośności podstawowym atrybutem dźwięku. W instrumentach muzycznych podczas wydobycia dźwięku dla odpowiedniego progu, czy długości kolumny drgającego powietrza generuje się szereg tonów prostych. Najniższy z nich to główna składowa harmoniczna, której odpowiada częstotliwość podstawowa.

Ton podstawowy (składowa podstawowa, składowa główna) szeregu harmonicznego jest to najniższy ton dźwięku, czyli fala harmoniczna o najmniejszej częstotliwości w szeregu harmonicznym. Jego częstotliwość oznacza się zwykle indeksem 0 (f0). Kolejne harmoniczne odpowiadają (ilość oraz wielkość amplitud) za barwę dźwięku, wzbogacają brzmienie. Z tego też powodu różne instrumenty pomimo wytwarzania tego samego dźwięku brzmią inaczej.

Przykłady tonu podstawowego

W instrumentach muzycznych i innych źródłach wytwarzających dźwięki o określonej wysokości przyczyną powstawania fali akustycznej są drgania struny, pręta, membrany lub słupa powietrza. Drgania te mają charakter fali stojącej, ponieważ budowa instrumentu wymusza powstawanie węzłów i strzałek na granicach drgającego ośrodka.

Struna

O wysokości tonu podstawowego generowanego przez strunę decyduje naprężenie struny i jej długość. Ponieważ struna jest umocowana na końcach, powstają tam węzły fali stojącej. Fala poprzeczna o największej długości, jaka może powstać na strunie, ma długość dwukrotnie większą od długości struny. Częstotliwość drgań takiej fali równa jest częstotliwości emitowanego dźwięku, czyli częstotliwości tonu podstawowego. Częstotliwość tę można obliczyć wychodząc ze wzoru

gdzie

v - prędkość fali poprzecznej na strunie,

λ - długość tej fali.

Piszczałka organowa

Jeżeli piszczałka organowa będzie miała zamkniętą klapkę, wówczas na jej końcu powstanie węzeł - cząsteczki powietrza nie będą się tam poruszać. Natomiast przy wlocie piszczałki drgania cząsteczek powietrza osiągają maksymalną amplitudę - powstaje tam strzałka fali stojącej. Wynika stąd, że w piszczałce może mieścić się 1/4 długości fali stojącej. Długość fali odpowiadającej tonowi podstawowemu będzie czterokrotnie dłuższa od długości piszczałki, co można zapisać wzorem

gdzie

d - długość piszczałki;

λ - długość fali dźwiękowej.

Znając prędkość dźwięku w powietrzu c i długość fali można obliczyć częstotliwość tonu podstawowego

W tym przypadku, inaczej niż to miało miejsce w przypadku struny, długość fali w piszczałce jest równocześnie długością emitowanej fali dźwiękowej. Jest to skutkiem tego, że w piszczałce ośrodkiem drgającym jest powietrze.

---