CAŁKA NIEOZNACZONA

Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, jeżeli

.

Tw. (o funkcjach pierwotnych)

1. Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, a symbol C oznacza dowolną stałą, to funkcja Φ określona wzorem

dla

jest także funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P.

2. Jeżeli funkcje F, Φ są funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P, to różnica tych funkcji jest pewną stałą

dla
.

Wniosek. Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, to wyrażenie F(x)+C dla
przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji f w przedziale P.

Wystarczy znaleźć jedną funkcję pierwotną, aby wyznaczyć wszystkie inne; różnią się one o pewną stałą.

Def.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w tym przedziale i oznaczamy symbolem

Zachodzi więc równoważność

Z definicji otrzymujemy

1.

(pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji podcałkowej).

2.

Funkcję f dla której istnieje całka nieoznaczona nazywamy całkowalną (w sensie Newtona).

TW. (warunek wystarczający całkowalności)

Każda funkcja ciągła w pewnym przedziale jest całkowalna w tym przedziale.

Własności

Tw: (liniowość całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale P, to

(całka sumy jest równa sumie całek)

Tw:

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale P, a stała a jest różna od zera, to

(stały czynnik można wyłączyć przed znak całki)

,

Wzory podstawowe

Całkowanie przez części

Tw. (dowód)

Jeżeli funkcje f, g mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne
, to

Całkowanie przez podstawienie

TW.

Jeżeli funkcja
ma ciągłą pochodną na przedziale P i przekształca go na przedział T, na którym określona jest ciągła funkcja g, to

gdzie G jest dowolną funkcją pierwotną funkcji g.