RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie różniczkowe, którym występuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej zmiennych i jej pochodne cząstkowe.

Rzędem równania różniczkowego cząstkowego nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w danym równaniu.

Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego:

(1)

Rozwiązaniem lub całką równania (1) nazywamy każdą taka funkcję

(2)

n zmiennych niezależnych x₁, x₂, …, x_n mającą drugie pochodne w pewnym n-wymiarowym obszarze Ω,

która po podstawieniu wraz ze swymi pochodnymi do wyrażenia F w zależności (1), spowoduje,

że wyrażenie F będzie tożsamościowo równe zeru w obszarze Ω.

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego cząstkowego nazywamy związek funkcyjny określający klasę rozwiązań.

Zagadnieniem o warunku początkowym (zagadnieniem Cauchy'ego)

nazywamy problem poszukiwania takiego rozwiązania
równania (1),

które dla pewnej wartości x₁=a₁ jest równe z góry zadanej funkcji
n-1 zmiennych x₂, x₃,…,x_n,

tzn. u(a₁,x₂,x₃,…,x_n)=

KLASYFIKACJA RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA ZMIENNYMI

Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu drugiego o niewiadomej funkcji u(x,y) dwóch zmiennych niezależnych x i y nazywamy następujące równanie:

(3)

gdzie A, B, C, a, b, c są danymi funkcjami dwóch zmiennych x i y o ciągłych pochodnych w pewnym obszarze płaskim D,

przy czym

KLASYFIKACJA

Obliczamy

Jeżeli
>0 to równanie (3) nazywamy hiperbolicznym

Jeżeli
=0 to równanie (3) nazywamy parabolicznym

Jeżeli
<0 to równanie (3) nazywamy eliptycznym

Z każdym z typów równania (3) jest związana pewna

postać kanoniczna

dla

dla

dla

dla

Można tak dobrać funkcje f i g, by po przejściu do zmiennych

i
w równaniu (3) otrzymać jedną z wyżej podanych postaci kanonicznych

Charakterystykami równania (3) nazywamy krzywe całkowe równań różniczkowych zwyczajnych:

które możemy zapisać w postaci:

gdy

lub

gdy
Przykład 1.

Sprawdzić, czy funkcja

jest rozwiązaniem równania:

Przykład 2.

Wyznaczyć ogólne rozwiązanie u(x,y) równania

Przykład 3.

Wyznaczyć rozwiązanie u(x,y) równania

spełniające następujące warunki:

Przykład 4.

Sprawdzić typ równania:

4

---