Istotnym elementem kształtowania właściwych pojęć matematycznych są własności operacji, takie jak:

a) łączność operacji, a więc dochodzenie do rozwiązań różnymi drogami (dla przykładu, różne sposoby obliczania obwodu prostokąta: Obw. = a + b + a + b, lub Obw. = 2a + 2b albo Obw. = 2(a + b);

b) odwracalność operacji, a więc dochodzenie do rozwiązań, a potem myślowy powrót do danych początkowych (np. nakrycie pola prostokąta innymi polami, a potem jeszcze mniejszymi prostokątami i na końcu kwadratami). Po zliczeniu liczby kwadratów (obliczeniu pola) kolejne myślowe odkrywanie pól aż do stanu wyjściowego, które można sprawdzić praktycznie;

c) łączenie operacji w całościowe systemy, a więc uwzględnianie łączności i odwracalności operacji jednocześnie oraz tworzenie całych struktur operacji umysłowych (np. mierzenie obwodu czworokąta różnymi sposobami, m.in. rozkład na prostej odcinków i z kolei myślowy powrót do złożenia tego czworokąta itp.).

Etapy kształtowania pojęć:

Najważniejszym okresem kształtowania pojęć są pierwsze lata nauki w szkole. W. Okoń wyróżnia trzy zasadnicze etapy kształtowania pojęć, mianowicie:

1.Kojarzenie nazw z odpowiadającymi im przedmiotami. W etapie tym następuje łączenie odpowiednich słów z rzeczami lub zjawiskami, które są jakby ich sygnałami. Jest to najczęściej kojarzenie nazw i rzeczy. Uczniowie dostrzegają przedmioty najbliższego otoczenia, w tym też geometryczne (koło, trójkąt itp.), ich barwy i kształty oraz mogą wykonywać z nimi najprostsze czynności.

Kojarzenie nazwy z tymi przedmiotami może odbywać się kilkoma sposobami:

• I sposób. Nauczyciel wprowadza nowy wyraz i sam określa jego znaczenie, posługując się oglądaną przez uczniów rzeczą, Uczniowie słyszą nową dla siebie nazwę (np. czworokąt) bezpośrednio oglądając przedmioty.

• II sposób. Nauczyciel wyjaśnia znaczenie nowego słowa za pomocą innych słów, znanych uczniom, np. kwadrat jest to prostokąt o równych bokach.

2. Tworzenie przed pojęć na podstawie znajomości wewnętrznych cech rzeczy i zdarzeń. W etapie tym następuje tworzenie się pojęć elementarnych jako uogólnionych wyobrażeń, jeszcze w części obrazowych i werbalnych informacji o cechach zewnętrznych rzeczywistości.

3. Nabywanie pojęć naukowych. Uogólnianie w tym etapie obejmuje cechy zewnętrzne przedmiotów i zjawisk, a także stosunki między nimi i całą wiedzę o rzeczywistości. Obejmuje ono takie same momenty jak w kształtowaniu pojęć elementarnych, z tym jednak, że mogą one wystąpić w różnej kolejności i mieć różny zakres poznawania, ćwiczenia, operowania, wykonywania obliczeń itp. W etapie tym W. Okoń wyróżnia:

a) zestawienie danego przedmiotu lub zjawiska z innymi w celu wyodrębnienia go, np. zestawienie czworokąta dowolnego z kwadratem i prostokątem,

b) wyszukiwanie cech podobnych (wspólnych), np. 4 boki i 4 kąty,

c) poszukiwanie cech różniących (istotnych i nieistotnych), np. 4 boki, ale nie są parami równe i równoległe,

d) wytworzenie sobie pojęcia na podstawie znajomości istotnych cech danej kategorii rzeczy, np. czworokąta,

e) zastosowanie poznanego pojęcia w nowych sytuacjach, np. rysowanie, mierzenie boków, obliczanie obwodów itp.

Kształtowanie pojęć może również przebiegać według pięciu etapów Cz. Kupisiewicza , mianowicie:

1. Analiza wstępna (zestawienie danego przedmiotu i zjawiska z inymi w celu wyodrębnienia go).

2. Generalizacja (wyszukiwanie cech wspólnych dla danych przedmiotów i zjawisk).

3. Różnicowanie (wyszukiwanie cech różniących dane przedmioty lub zjawiska).

4. Synteza (zdefiniowanie przez uczniów danego pojęcia na podstawie znajomości cech określonego przedmiotu lub zjawiska).

5. Zastosowanie (wykorzystanie przez uczniów poznanego pojęcia w nowych sytuacjach w celu utrwalenia go i wdrożenia do posługiwania się nim w życiu).

Kształtowanie pojęć u uczniów w klasach niższych przebiega prawidłowo wtedy, jeżeli w procesie uczenia się spełnione są następujące warunki:

1) opiera się na poznawaniu zmysłowym, tj. na spostrzeganiu i wyobrażaniu przedmiotów, ich cech oraz stosunków i zależności między nimi,

2) wiąże się te przedmioty, ich elementy, stosunki i układy ze słowami i utrwala je w wyrażeniach języka,

3) stwarza się warunki do procesu uogólnień, czyli do przyswajania pojęć ogólnych, wychodząc najczęściej poza dane bezpośrednie,

4) opracowuje się uzyskane treści w spójny system wiedzy,

5) dostarcza się wielu okazji do sprawdzania i wykorzystania zdobytej wiedzy w działaniu,

6) sprzyja się wartościowaniu i ocenianiu działań,

7) stwarza się warunki do zapamiętania czynności i rezultatów poznania,

8) uwzględnia się pełną aktywność i samodzielność uczniów.

Klasa I stanowi okres kształtowania się w umysłach uczniów podstawowych pojęć arytmetycznych, które uczniowie muszą tak opanować, aby stały się one podstawą trwałej i operatywnej wiedzy. Stosunki jakościowe przechodzące stopniowo w stosunki ilościowe stanowią w tej klasie treść podstawowych pojęć matematycznych, takich jak: pojęcie liczby i działania arytmetycznego oraz odpowiadających im symboli, cyfr i znaków działań.

W czasie opanowywania tych pojęć pojawiają się trudności. Do podstawowych sposobów zapobiegania trudnościom w kształtowaniu pojęć możliwych do zastosowania przez nauczycieli L. Bandura zalicza:

1) utrwalenie właściwych związków między przedmiotami i odpowiadającymi im nazwami,

2) określanie realnych celów lekcji i wyraźnych planów wszelkich zajęć,

3) unikanie odbiegania od właściwego celu lekcji,

4) dopilnowanie, aby uczniowie opanowali pojęcia niezbędne do prawidłowego przebiegu nowego poznania,

5) właściwe formułowanie pytań i żądanie pełnych odpowiedzi,

6) właściwe kierowanie i organizowanie obserwacji uczniów,

7) niedoprowadzanie do uogólnień na podstawie jednego przykładu, chyba, że towarzyszy temu ogromne zabarwienie emocjonalne,

8) unikanie dokonywania uogólnień na podstawie cech nieistotnych,

9) niedoprowadzenie do uogólnień, jeżeli brak odpowiedniego materiału porównawczego,

10) podsumowywanie istoty treściowej lekcji,

11) ustosunkowanie się do odpowiedzi uczniów i ich ocena,

12) unikanie wyręczania uczniów w pokonywaniu trudności w myśleniu,

13) unikanie wyciągania wniosków za uczniów,

14) unikanie kształtowania zbyt wielu pojęć na jednej lekcji.

Z zasygnalizowanych, z konieczności w skrócie, problemów wynika, iż proces kształtowania pojęć u dzieci jest złożony i wymaga od nauczyciela stosowania bardzo skutecznych metod pracy i przestrzegania wszystkich etapów pracy nad nimi. Należy więc systematycznie sięgać do wszelkiej literatury związanej z tą problematyką.

---