II kolokwium (wykładowe) z algebry

1. Definicja podgrupy. Warunek konieczny i dostateczny na to, aby podzbiór h grupy G był jej podgrupą. Jak można to osłabić, gdy G jest zbiorem skończonym?

2. Definicja ideału. Przykład podpierścienia nie będącego ideałem. Definicja ideału pierwszego i maksymalnego. Twierdzenia wiążące własności ideału J pierścienia P z własnościami pierścienia ilorazowego P/J.

3. Twierdzenia o pierwiastku wielomianu. Na podstawie schematu Hornera podzielić f(x)=x⁴+3x³+5x²+2x+1 przez x+2 w pierścieniu Z₆.

4. Wykazać, że R⁴/J, gdzie J={(x₁,x₂,x₃,x₄) € (należy do) R⁴: x₁=x₂=0} izomorficzne z R². Uzasadnić, że J nie jest ideałem pierwszym. Przykład ideału pierwszego w R⁴.

5. Elementy odwracalne i dzielniki zera w Z₄xZ. Przykład elementu niebędącego elementem odwracalnym i dzielnikiem zera w tym pierścieniu.

__________________________________________________________________________________________

Kolokwium poprawkowe z algebry (zadania z * to rozbójnik)

Część I

Zadanie 1.*

Wykazać, że grupy (R,+) i (R₊,*) (* jest to mnożenie) są, a grupy (Q ,+) i (Q₊, *) nie są izomorficzne.

Zadanie 2.

Wykazać, że grupa C*/H (pierścień ilorazowy: zespolone z gwiazdką przez H), gdzie H={z: |z|=1} jest izomorficzna z (R⁺, *).

Zadanie 3.*

Znaleźć rzędy liczby (pierwiastek z dwóch przez dwa dodać „i” razy pierwiastek z dwóch przez dwa) w C* oraz elementu „6” w Z₈.

Zadanie 4.*

Stosując algorytm Euklidesa znaleźć (108,78) i współczynniki całkowite równania (108,78)=x*108+y*78.

Zadanie 5.

Rozwiązać równanie f (kółeczko - złożenie) x= g dla f= (¹₃ ²₁ ³₂ ⁴₅ ⁵₄) i g=(¹₅ ²₁ ³₄ ⁴₃ ⁵₂) to są permutacje. Rozłożyć h=(¹₂ ²₄ ³₁ ⁴₇ ⁵₆ ⁶₅ ⁷₃ ⁸₉ ⁹₈) na cykle i transpozycje.

Część II

Zadanie 1.

Definicja dzielnika normalnego grupy G oraz warunki równoważne tej definicji. Podaj przykład podgrupy pewnej grupy niebędącej dzielnikiem normalnym.

Zadanie 2.*
Sformułuj znane ci twierdzenia, uzupełniając: „Pierścień ilorazowy P/J … <=> J ...”. Jakich założeń od P wymagają te twierdzenia.

Zadanie 3.*
Sformułuj twierdzenia o ilości pierwiastków wielomianu  n-tego stopnia w pierścieniu całkowitym. Podaj przykład wskazujący, że założenie całkowitości jest istotne.

Zadanie 4.*
Wskaż dzielniki zera i elementy odwrotne w pierścieniu ZxZ₆.

Zadanie 5.
Wykaż, że pierścień ilorazowy C[0,1]/J, gdzie J={f należy do tego pierścienia : f(1/3)=f(2/3)=0} jest izomorficzny z RxR. Uzasadnij, że J nie jest ideałem maksymalnym.

---