WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ funkcji

Niech

Def.1 Funkcję f nazywamy wypukłą w przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych argumentów x, x₁, x₂ spełniających nierówność

zachodzi nierówność

Punkt
leży poniżej lub na siecznej przechodzącej przez punkty

.

Krótko, ale mniej precyzyjnie

Odcinek łączący dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży nad tym wykresem z wyjątkiem końców odcinka.

Def.2 Funkcję
nazywamy wklęsłą na przedziale (a,b), jeżeli funkcja -f jest wypukła.

To znaczy

Def.2 Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych argumentów x, x₁, x₂ spełniających nierówność

zachodzi nierówność

Tw:

Funkcja f mająca pochodną w przedziale (a,b) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji f leży nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie o odciętej z tego przedziału lub na tej stycznej.

Warunek wystarczający wklęsłości, wypukłości

Tw:

Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w przedziale (a, b) oraz

, to funkcja f jest wypukła w tym przedziale.

Tw:

Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w przedziale (a, b) oraz

, to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale

PUNKT PRZEGIĘCIA

Zakładamy, że funkcja f jest ciągła w (a, b) oraz
.

Def:

Punkt
nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja ta jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu P i wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót.

Załóżmy, że funkcja f ma w pewnym otoczeniu
pochodną rzędu drugiego.

Tw: (Warunek konieczny)

Jeżeli punkt
jest punktem przegięcia funkcji f to
.

Tw: (Warunek wystarczający)

Jeżeli druga pochodna
jest:

albo

to punkt
jest punktem przegięcia funkcji f.

Twierdzenie to można sformułować krótko

Jeżeli
i
zmienia znak przy przejściu przez punkt x₀, to punkt
jest punktem przegięcia funkcji f.

TEMPO ZMIAN WARTOŚCI FUNKCJI

Jeśli dla każdego x∈(a,b)

1.
,

to funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale (a,b),

2.
,

to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (a,b),

3.
,

to funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale (a,b),

4.
,

to funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale (a,b).

ASYMPTOTY UKOŚNE (POCHYŁE ) I POZIOME

Zakładamy, że funkcja f jest określona na przedziale (-∞, a).

Prostą o równaniu y=mx+k nazywamy asymptotą ukośną ( gdy m=0 asymptotą poziomą) lewostronną krzywej y=f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy

Analogicznie określamy asymptotę ukośną (albo poziomą) prawostronną dla funkcji f określonej w przedziale (a,∞).

Jeżeli prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną krzywej y=f(x), to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną tej krzywej.

Tw.

Prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej y=f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice

Zauważ, że jeżeli f jest różniczkowalna i ma asymptotę ukośną to z reguły H

---