Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

W doświadczeniu tym potrzebne nam będą następujące rekwizyty: wahadło rewersyjne, wahadło matematyczne oraz układ czasowo-zaliczający.

Do jego przeprowadzenia powinniśmy znać poniższe pojęcia oraz prawa:

• Wahadło matematyczne - jest to punktowy ciężar zawieszony na nierozciągliwej, bezmasowej nici o długości d. W przypadku małych drgań wahadła matematycznego są one (w przybliżeniu) harmoniczne. Jego okres wyraża wzór:

T = 2π·(d/g)^1/2,

gdzie g - przyspieszenie ziemskie, d - długość nici.

• Wahadło fizyczne - jest to ciało sztywne wykonujące wahania wokół poziomej osi zawieszenia przechodzącej przez nie. Jego drgania są również w przybliżeniu harmoniczne, o okresie:

T = 2π·(I/mzg)^1/2,

gdzie I - moment bezwładności względem osi zawieszenia, z - odległość środka ciężkości od punktu zawieszenia, g - przyspieszenie ziemskie. Wielkość d = I/mz nosi nazwę długości zredukowanej wahadła fizycznego.

• Okres wahań - czas dla ruchu periodycznego, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

• Moment siły - nazywamy nim wektor osiowy:

,

gdzie: r - promień wodzący zaczepiony w pewnym wybranym punkcie (względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły.

• Moment bezwładności punktu materialnego o masie m względem osi odległej o r definiuje się następującym równaniem:

I = m · r².

• Ruch harmoniczny - ruch nazywamy takowym, gdy siła działająca na ciało jest skierowana do jednego punktu, będącego położeniem równowagi i jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi:

F = - k · (x - x₀),

gdzie: x₀ jest położeniem równowagi, a k - stałą sprężystości.

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy taki przypadek, kiedy amplituda drgań jest stała w czasie, natomiast z ruchem harmonicznym tłumionym mamy do czynienia, gdy amplituda zmniejsza się w sposób wykładniczy.

• Wahadło rewersyjne - rodzaj wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy (przesuwny obciążnik). Dzięki temu możliwe jest osiągnięcie identyczności okresu drgań przy obu sposobach zawieszenia.

• Środek ciężkości - jest to punkt ciała lub układu ciał, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości działająca na ciało. W jednorodnym polu grawitacyjnym położenie środka ciężkości pokrywa się z położeniem środka masy.

• Długość zredukowana - możemy ją wyznaczyć mając wahadło fizyczne o danej długości oraz matematyczne, którego długość możemy regulować. Oczywiście możemy tak dobrać długość tego drugiego, aby okresy drgań obu wahadeł były równe. W ten sposób określamy długość zredukowaną wahadła fizycznego. Jest ona równa długości posiadającego taki sam okres wahadła matematycznego.

Pomiary i obliczenia:

1. wahadło matematyczne:

Po przekształceniu równania na okres w wahadle matematycznym, otrzymujemy wzór na przyspieszenie ziemskie:

Obliczanie błędu:

Błędy pomiaru:

ΔT = ± 0,001 [s]

Δl = ± 0,001 [m]

l.p.	długość [m]	10 okresów [s]	okres [s]
1	0,20	9,016	0,902
2	0,25	9,973	0,997
3	0,30	11,009	1,101

g₁ = 9,7045 ± 0,0030 [m/s²]

g₂ = 9,7705 ± 0,0030 [m/s²]

g₃ = 9,9291 ± 0,0027 [m/s²]

Średnie przyspieszenie ziemskie wynosi:
[m/s²].

Odchylenie standardowe wynosi:
[m/s²], co stanowi ok. 1,8% całkowitej wartości.

2. wahadło rewersyjne:

Przyspieszenie ziemskie wyliczamy z następującego wzoru:

'

gdzie l_r = 1,11 [m].

Błąd obliczamy z tego samego wzoru, z którego korzystaliśmy w przypadku wahadła matematycznego.

Błędy pomiaru:

ΔT = ± 0,001 [s]

Δl = ± 0,01 [m]

l.p.	długość [m]	10 okresów (I) [s]	okres(I) [s]	10 okresów (II) [s]	okres(II) [s]
1	0,20	19,527	1,953	17,220	1,722
2	0,25	19,368	1,937	16,650	1,665
3	0,30	19,193	1,919	16,306	1,631
4	0,35	19,057	1,906	16,181	1,618
5	0,40	18,944	1,894	16,100	1,610
6	0,50	18,763	1,876	16,314	1,631
7	0,60	18,677	1,868	16,777	1,677
8	0,70	18,773	1,877	17,378	1,738
9	0,80	18,994	1,899	18,075	1,808
10	0,90	19,476	1,948	18,827	1,883

Z wykresu odczytujemy T dla punktu przecięcia - wynika stąd, iż T = 2,1 [s].

W następujący sposób obliczamy przyspieszenie ziemskie:

[m/s²]

Błąd wyliczamy poprzez zastosowanie tego samego wzoru, co w przypadku wahadła matematycznego:

Δg = ±0,002 [m/s²]

Ostateczny wynik pomiaru:

g = 9,940 ± 0,002 [m/s²]

Wnioski:

Jak widać po przeprowadzeniu doświadczenia - dokładniejsze pomiary uzyskaliśmy posługując się wahadłem matematycznym. Przyjmuje się, iż faktyczne przyspieszenie ziemskie wynosi g = 9,80665 [m/s²], tak więc wyniki przez nas otrzymane są całkiem poprawne. Jedynie w przypadku wahadła rewersyjnego widać trochę większe odchylenie od realnej wartości. Wpływ na to mógł mieć fakt, iż wartość T odczytywaliśmy z wykresu., posługując się metodą tzw. ekstrapolacji (prognozowania), stosowaną w dziedzinach takich, jak statystyka czy ekonometria.

---