Całkowani przez podstawianie

Tw. Jeżeli f(x) jest ciągła w (a,b) i … jest ciągła w … i istnieje ciągła … to zachodzi wzór

Należy przy tym pamiętać, że podstawienie ma całkę upraszczać

Np.

1. Metoda tożsamościowego przekształcenia

a)

2. Metoda przez podstawienie:

a)

b)

c)

d)

w tym przykładzie można obliczyć całkę bez podstawiania korzystając ze wzoru:

Jeżeli

Wówczas

3. Jeżeli mamy
to można korzystać ze wzoru:

nie wykorzystując za każdym razem podstawienia za f(x) np.

4.

Do wyniku tego dojdziemy też ze wzoru

Mamy

Całkowanie przez części

Tw. Jeżeli funkcje
i
mają ciągłe pochodne w X to zachodzi wzór

Dowód: Obliczamy pochodne obydwu stron

L:

P:

Stąd wynika L=P

Przykład

1. 
   
   

2. 
   
   

Czasami obliczenie całki będzie łączyć te dwie metody jednocześnie:

Są przykłady gdzie stosowanie metody całkowania przez części przerywamy w momencie gdy wrócimy do całki wyjściowej np.:

;
;
;

mgr Barbara Pakleza Matematyka 23.02.08

Wykład 1

- 1 -