Temat: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną

Numer pary: 7

Numer ćwiczenia: 10

I. Opis teoretyczny

1. Prawo Hooke'a

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem :

Naprężenie wewnętrzne (będące skutkiem odkształcenia) jest wprost proporcjonalne do odkształcenia. W omawianym przykładzie ma ono prosty zapis:

τ = G γ

Gdzie:

τ - naprężenie styczne (
)

G - moduł sztywności

γ - kąt odkształcenia postaciowego

Wartość kąta γ podajemy w mierze łukowej, a ponieważ jest to kąt mały, to:

γ ≈ tg γ

Wzór można więc napisać w postaci:

τ = G tg γ

2. Moduł sztywności

Moduł sztywności G liczbowo jest równy naprężeniu stycznemu τ, gdy ciało zostanie odkształcone o taki kąt γ, którego tg jest równy jedności.

Jednostką G jest

3. Wyprowadzenie wzorów roboczych

Czyste odkształcenie postaci obserwuje się podczas skręcenia np. drutu lub pręta o kształcie walca, którego górny koniec jest umocowany, a na dolny działa siła styczna, powodująca jego skręcenie o kąt ∆ φ.

Gdy odkształcenie jest sprężyste, ciało będzie wykonywało drgania obrotowe o okresie: (1)

Gdzie:

I-moment bezwładności ciała

D-moment kierujący

Moment kierujący D zależy od modułu sztywności G i geometrycznych wymiarów ciała: (2)

Podstawiając wartość D do wzoru, otrzymamy:

Widzimy, że okres drgań jest bezpośrednio związany z modułem sztywności G danego ciała. Powyższe wyrażenie posłuży nam do wyznaczania modułu sztywności G. Jednakże obliczenie momentu bezwładności I, który występuje we wzorze nie zawsze jest łatwe, często wręcz jest niemożliwe. Trudność tę możemy wyeliminować stosując następujący rachunek związany z ruchem balansowym układu (rys. 1). Mierzymy okresy drgań dla dwóch różnych momentów bezwładności krzyżaka. W ten sposób znajdujemy różnicę momentów bezwładności, która wystarcza do obliczenia modułu sztywności G.

rys. 1 rys. 2

Drut należy zamocować jednym końcem w uchwycie A, natomiast drugim - w uchwycie krzyżaka B. Jeżeli skręcimy krzyżak o pewien kąt, to na skutek sprężystości drutu krzyżak będzie wykonywał drgania w płaszczyźnie poziomej.

W celu zmiany momentu bezwładności wahadła stosujemy cztery ciężarki o jednakowych masach, które umieszczamy np. w odległości d₁ od osi obrotu krzyżaka (rys.2) i dokonujemy pomiaru okresu T₁ dla tego przypadku. Następnie umieszczamy ciężarki w odległości d₂ i mierzymy okres T₂.

W myśl wzoru nr 1 otrzymujemy dla obydwu przypadków następujące wzory na okres: (3)

oraz (4)

Moment bezwładności układu ciał jest sumą momentów bezwładności ciał tego układu, zatem:

I₁=I_k + 4md₁²

I₂=I_k + 4md₂²

Gdzie:

I_k - moment bezwładności samego krzyżaka,

4md₁² - moment bezwładności czterech dodatkowych mas, umieszczonych w odległości d₁,

4md₂² - moment bezwładności czterech dodatkowych mas, umieszczonych w odległości d_2.

Wyrażenia na I₁ oraz I₂ podstawiamy odpowiednio do równań (3) i (4).

Z powyższych układów równań łatwo jest wyeliminować I_k. Podnosimy je do kwadratu i odejmujemy stronami (od drugiego pierwsze, gdyż T₂>T₁):

Podstawiając D (wzór 2) otrzymujemy:

stąd (5)

Korzystając ze wzoru (5), możemy obliczyć moduł sztywności materiału z którego jest zrobiony użyty drut.

II Opis ćwiczenia

Wykonanie pomiaru:

1. Wyznaczyć masę ciężarków i umieścić je na krzyżaku K w odległości d₁.

2. Wprawić krzyżak w drgania skrętne i stoperem zmierzyć czas 20 okresów. Pomiar wykonać trzy razy i obliczyć średnią wartość okresu T_1śr.

3. Zmienić położenie ciężarków ( na odległość d₂) i zmierzyć okres T_2śr jak w punkcie drugim.

4. Zmierzyć długość drutu miarką milimetrową oraz jego średnicę śrubą mikrometryczną.

5. Dane podstawić do wzoru (5) i obliczyć moduł sztywności.

6. Wyniki umieścić w zamieszczonej tabeli.

T1	T1śr	T2	T2śr	m	l	r	G

5

---