WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI

METODĄ DYNAMICZNĄ

1. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ , RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ .

Porównując zachowanie się ciał pod wpływem przyłożonych do nich sił, widzimy istotne różnice pomiędzy ich właściwościami w różnych stanach skupienia . Gazu, ściskane z zewnątrz , zacznie zmniejszają swą objętość , ciecze i ciała stałe bardzo nieznacznie. Po ustąpieniu siły ściskającej objętość tych wszystkich ciał powraca do poprzedniej wartości. Można zatem stwierdzić , że :

ZARÓWNO GAZY, JAK CIECZE I CIAŁA STAŁE , POSIADAJĄ SPRĘŻYSTOŚĆ OBJĘTOŚCI

NATOMIAST WŁAŚCIWOŚCI ODZYSKIWANIA PO USUNIĘCIU SIŁY ODKSZTAŁCAJĄCEJ SWOJEJ PIERWOTNEJ POSTACI NAZYWAMY SPRĘŻYSTOŚCIĄ POSTACI.

Gazy przyjmują zawsze kształt naczynia wypełniając je całkowicie. Ciecze również przyjmują kształt naczynia posiadają jednak w odróżnieniu od gazów powierzchnię swobodną. Ciała stałe posiadają własne kształty . W odróżnieniu od cieczy i gazów :

CIAŁA STAŁE POSIADAJĄ SPRĘŻYSTOŚĆ POSTACI

Pod względem właściwości sprężystych dzielimy zwykle ciała stałe na :

• sprężyste: jeśli nawet stosunkowo duże siły powodują jedynie odkształcenie sprężyste.

• plastyczne: jeśli pod wpływem stosunkowo niewielkich sił ciała ulegają trwałym odkształceniom , ale nie niszczą się.

• kruche : gdy stosunkowo łatwo ciała te ulegają zniszczeniu (skruszeniu) .

2. PRAWO HOOKE'A

Najczęściej spotykane odkształcenia wywołane są rozciąganiem i ściskaniem. Angielski fizyk stwierdził iż,

PRZYROST DŁUGOŚCI JEST WPROST PROPORCJONALNY DO PRZYŁOŻONEJ SIŁY „F” I DO DŁUGOŚCI POCZĄTKOWEJ „L” DANEGO CIAŁA A ODWROTNIE PROPORCJONALNY DO POLA POWIERZCHNI POPRZECZNEGO PRZEKROJU „S” DANEGO CIAŁA

ΔL = K FL / S

W KTÓRYM „K” JEST WSPÓŁCZYNNIKIEM proporcjonalności CHARAKTERYSTYCZNYM DO DANEGO MATERIAŁU

Odkształcenia te są natomiast bezpośrednią przyczyną powstawania naprężeń wewnętrznych. Dlatego prawo to przedstawia się najczęściej w następującej postaci:

p = 1/K∗ ΔL / L

lub podstawiając E = 1 / K

p = E ΔL / L

„p” przedstawia wartość naprężenia wewnętrznego ,”E” jest :

WSPÓŁCZYNNIKIEM proporcjonalności ZWANYM MODUŁEM „YOUNGA''

Δ L / L to wydłużenie względne. Ogólnie definicja brzmi:

MODUŁ YOUNGA WYRAŻA WARTOŚĆ NAPRĘŻENIA WEWNĘTRZNEGO ODPOWIADAJĄCEGO PODWOJENIU DŁUGOŚCI DANEGO CIAŁA.

Wymiarem modułu Younga jest : [E] = Pa

3. SKRĘCENIE PRĘTA . MOMENT KIERUJĄCY :

Na podstawie wahadła torsyjnego , można zdefiniować tak zwany „moment kierujący” . Wahadło torsyjne składa się z krążka sztywno zamocowanego na drucie. Jeśli krążek obrócimy w płaszczyźnie poziomej do położenia Q drut zostanie skręcony. Wtedy na krążek działa moment siły skręconego drutu i stara się przywrócić krążek do położenia P . Moment ten jest momentem siły przywracającej równowagę. Jest on proporcjonalny do wielkości skręcenia , czyli do kątowego przemieszczenia zatem :

F = −ϕ x ϕ stała skręcenia.

Stała zależy od właściwości drutu nazywamy ją stałą STAŁĄ SKRĘCENIA albo MOMENTEM KIERUJĄCYM . Znak minus wskazuje że, siła ma zwrot przeciwny niż przemieszczenie kątowe.

PRZEZ CIAŁO SZTYWNE ROZUMIEMY TAKIE CIAŁO KTÓREGO POSZCZEGÓLNE CZĘŚCI POZOSTAJĄ W NIEZMIENNEJ WZAJEMNEJ ODLEGŁOŚCI NIEZALEŻNIE OD SIŁ DZIAŁAJĄCYCH

• MOMENT SIŁY

Moment siły względem danego punktu definiujemy jako iloczyn wektorowy R × F przy czym wektor R, jest wektorem łączącym wybrany punkt z punktem przyłożenia F .

• MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Momentem bezwładności ciała obracającego się nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów materialnych tego ciała przez kwadrat odległości tych punktów od osi obrotu.

m_i r_i²

Nie można pominąć faktu że, daną bryłę sztywną można podzielić na „n” części , dlatego moment bezwładności brył zazwyczaj opisuje się wzorem;

I = ∫ r² d m

• PRAWO STEINERA

Nieruchoma oś obrotu może przechodzić przez środek masy ciała albo poza środkiem . Udowodniono że , moment bezwładności ciała względem dowolnej osi równa się momentowi bezwładności tego ciała względem osi do niej równoległej przechodzącej przez środek masy ciała , powiększonemu o iloczyn masy ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami.

I = I_z + ma²

ZASADY DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO

ZASADA I

Jeśli na ciało sztywne działają siły , których suma momentów względem osi obrotu jest równą zeru , to ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem

obrotowym jednostajnym.

ZASADA II

Jeśli na punkt materialny działa moment siły, to ten punkt porusza się z prędkością proporcjonalną do siły, a odwrotnie proporcjonalną do momentu bezwładności.

E = M_F / I

RUCH HARMONICZNY

Ruch , który powtarza się w regularnych odstępach czasu , nazywamy „ruchem okresowym”. Jednym z tych ruchów jest ruch harmoniczny prosty. W ruchu tym przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia. Podstawowe równania opisujące ten ruch to:

x = A sin ( ωt + ϕ ) - równanie drogi

V = dx / dt => V = ω A cos ( ω t + ϕ ) - równanie prędkości

a = dv / dt => a = − ω A sin ( ω t + ϕ ) - równanie przyspieszenia

„A”- to amplituda drgań: jest to więc największa wartość wychylenia z punktu równowagi.

( ω t + ϕ ) - jest to faza drgań

Okres ruchu opisuje się wzorem : T = 2Π / ω

Drugim z tych ruchów jest ruch harmoniczny tłumiony. Jest to ruch w którym, amplituda drgań zmniejsza się stopniowo z powodu występującego tarcia . Główne równanie tego ruchu wygląda :

- kx - b dx / dt = m d²x /dt²

Trzecim z tych ruchów jest ruch harmoniczny wymuszony, jest to ruch w którym oprócz sił tarcia , działa zewnętrzna siła okresowa. Równanie opisujące ten ruch ma postać:

- kx - b dx / dt + F cos ω``t = m d²x / dt²

Przemysław Raczyński 27.III.98

4

---